MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restfpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restfpw 23202
Description: The restriction of the set of finite subsets of 𝐴 is the set of finite subsets of 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
restfpw ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = (𝒫 𝐵 ∩ Fin))

Proof of Theorem restfpw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 5383 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3 inex1g 5324 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
5 ssexg 5328 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → 𝐵 ∈ V)
65ancoms 458 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
7 restval 17472 . . . 4 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)))
84, 6, 7syl2anc 584 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)))
9 inss2 4245 . . . . . . 7 (𝑥𝐵) ⊆ 𝐵
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ⊆ 𝐵)
11 elinel2 4211 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1211adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
13 inss1 4244 . . . . . . 7 (𝑥𝐵) ⊆ 𝑥
14 ssfi 9211 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥𝐵) ⊆ 𝑥) → (𝑥𝐵) ∈ Fin)
1512, 13, 14sylancl 586 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ Fin)
16 elfpw 9391 . . . . . 6 ((𝑥𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ ((𝑥𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥𝐵) ∈ Fin))
1710, 15, 16sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
1817fmpttd 7134 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐵 ∩ Fin))
1918frnd 6744 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
208, 19eqsstrd 4033 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
21 elfpw 9391 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑥𝐵𝑥 ∈ Fin))
2221simplbi 497 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥𝐵)
2322adantl 481 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥𝐵)
24 dfss2 3980 . . . 4 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐵) = 𝑥)
2523, 24sylib 218 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) = 𝑥)
264adantr 480 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
276adantr 480 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ V)
28 simplr 769 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐵𝐴)
2923, 28sstrd 4005 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
30 elinel2 4211 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
3130adantl 481 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
32 elfpw 9391 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ Fin))
3329, 31, 32sylanbrc 583 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
34 elrestr 17474 . . . 4 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
3526, 27, 33, 34syl3anc 1370 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
3625, 35eqeltrrd 2839 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
3720, 36eqelssd 4016 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  𝒫 cpw 4604  cmpt 5230  ran crn 5689  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  t crest 17466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1o 8504  df-en 8984  df-fin 8987  df-rest 17468
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator