Theorem restfpw 23477

Description: The restriction of the set of finite subsets of 𝐴 is the set of finite subsets of 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restfpw	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = (𝒫 𝐵 ∩ Fin))

Proof of Theorem restfpw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5340	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3		inex1g 5279	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
5		ssexg 5281	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ V)
6	5	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
7		restval 17577	. . . 4 ⊢ (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)))
8	4, 6, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)))
9		inss2 4183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
11		elinel2 4148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
12	11	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
13		inss1 4182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥
14		ssfi 9172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
15	12, 13, 14	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
16		elfpw 9327	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ ((𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ Fin))
17	10, 15, 16	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
18	17	fmpttd 7107	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐵 ∩ Fin))
19	18	frnd 6710	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
20	8, 19	eqsstrd 3965	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
21		elfpw 9327	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Fin))
22	21	simplbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
23	22	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
24		dfss2 3917	. . . 4 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑥 ∩ 𝐵) = 𝑥)
25	23, 24	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 𝑥)
26	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
27	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ V)
28		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
29	23, 28	sstrd 3941	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
30		elinel2 4148	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
31	30	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
32		elfpw 9327	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin))
33	29, 31, 32	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
34		elrestr 17579	. . . 4 ⊢ (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
35	26, 27, 33, 34	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
36	25, 35	eqeltrrd 2862	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
37	20, 36	eqelssd 3952	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = (𝒫 𝐵 ∩ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652  (class class class)co 7412  Fincfn 8957   ↾_t crest 17571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1o 8460  df-en 8958  df-fin 8961  df-rest 17573

This theorem is used by: (None)