MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restfpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restfpw 21931
Description: The restriction of the set of finite subsets of 𝐴 is the set of finite subsets of 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
restfpw ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = (𝒫 𝐵 ∩ Fin))

Proof of Theorem restfpw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 5246 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21adantr 484 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3 inex1g 5188 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
5 ssexg 5192 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → 𝐵 ∈ V)
65ancoms 462 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
7 restval 16804 . . . 4 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)))
84, 6, 7syl2anc 587 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)))
9 inss2 4121 . . . . . . 7 (𝑥𝐵) ⊆ 𝐵
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ⊆ 𝐵)
11 elinel2 4087 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1211adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
13 inss1 4120 . . . . . . 7 (𝑥𝐵) ⊆ 𝑥
14 ssfi 8773 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥𝐵) ⊆ 𝑥) → (𝑥𝐵) ∈ Fin)
1512, 13, 14sylancl 589 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ Fin)
16 elfpw 8900 . . . . . 6 ((𝑥𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ ((𝑥𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥𝐵) ∈ Fin))
1710, 15, 16sylanbrc 586 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
1817fmpttd 6890 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐵 ∩ Fin))
1918frnd 6513 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
208, 19eqsstrd 3916 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
21 elfpw 8900 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑥𝐵𝑥 ∈ Fin))
2221simplbi 501 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥𝐵)
2322adantl 485 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥𝐵)
24 df-ss 3861 . . . 4 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐵) = 𝑥)
2523, 24sylib 221 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) = 𝑥)
264adantr 484 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
276adantr 484 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ V)
28 simplr 769 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐵𝐴)
2923, 28sstrd 3888 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
30 elinel2 4087 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
3130adantl 485 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
32 elfpw 8900 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ Fin))
3329, 31, 32sylanbrc 586 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
34 elrestr 16806 . . . 4 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
3526, 27, 33, 34syl3anc 1372 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
3625, 35eqeltrrd 2834 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
3720, 36eqelssd 3899 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  Vcvv 3398  cin 3843  wss 3844  𝒫 cpw 4489  cmpt 5111  ran crn 5527  (class class class)co 7171  Fincfn 8556  t crest 16798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1o 8132  df-en 8557  df-fin 8560  df-rest 16800
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator