Theorem restfpw 21931

Description: The restriction of the set of finite subsets of 𝐴 is the set of finite subsets of 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restfpw	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = (𝒫 𝐵 ∩ Fin))

Proof of Theorem restfpw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5246	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3		inex1g 5188	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
5		ssexg 5192	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ V)
6	5	ancoms 462	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
7		restval 16804	. . . 4 ⊢ (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)))
8	4, 6, 7	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)))
9		inss2 4121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
11		elinel2 4087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
12	11	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
13		inss1 4120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥
14		ssfi 8773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
15	12, 13, 14	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
16		elfpw 8900	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ ((𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ Fin))
17	10, 15, 16	sylanbrc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
18	17	fmpttd 6890	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐵 ∩ Fin))
19	18	frnd 6513	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
20	8, 19	eqsstrd 3916	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
21		elfpw 8900	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Fin))
22	21	simplbi 501	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
23	22	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
24		df-ss 3861	. . . 4 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑥 ∩ 𝐵) = 𝑥)
25	23, 24	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 𝑥)
26	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
27	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ V)
28		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
29	23, 28	sstrd 3888	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
30		elinel2 4087	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
31	30	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
32		elfpw 8900	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin))
33	29, 31, 32	sylanbrc 586	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
34		elrestr 16806	. . . 4 ⊢ (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
35	26, 27, 33, 34	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
36	25, 35	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
37	20, 36	eqelssd 3899	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = (𝒫 𝐵 ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  Vcvv 3398   ∩ cin 3843   ⊆ wss 3844  𝒫 cpw 4489   ↦ cmpt 5111  ran crn 5527  (class class class)co 7171  Fincfn 8556   ↾_t crest 16798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1o 8132  df-en 8557  df-fin 8560  df-rest 16800

This theorem is referenced by: (None)