MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scottexs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scottexs 9882
Description: Theorem scheme version of scottex 9880. The collection of all π‘₯ of minimum rank such that πœ‘(π‘₯) is true, is a set. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
scottexs {π‘₯ ∣ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))} ∈ V
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘₯)

Proof of Theorem scottexs
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑧{π‘₯ ∣ πœ‘}
2 nfab1 2906 . . . 4 β„²π‘₯{π‘₯ ∣ πœ‘}
3 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘₯(rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)
42, 3nfralw 3309 . . . 4 β„²π‘₯βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)
5 nfv 1918 . . . 4 β„²π‘§βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)
6 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ (rankβ€˜π‘§) = (rankβ€˜π‘₯))
76sseq1d 4014 . . . . 5 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘¦) ↔ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))
87ralbidv 3178 . . . 4 (𝑧 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))
91, 2, 4, 5, 8cbvrabw 3468 . . 3 {𝑧 ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)}
10 df-rab 3434 . . 3 {π‘₯ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦))}
11 abid 2714 . . . . 5 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ↔ πœ‘)
12 df-ral 3063 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))
13 df-sbc 3779 . . . . . . . 8 ([𝑦 / π‘₯]πœ‘ ↔ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘})
1413imbi1i 350 . . . . . . 7 (([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)) ↔ (𝑦 ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))
1514albii 1822 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))
1612, 15bitr4i 278 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))
1711, 16anbi12i 628 . . . 4 ((π‘₯ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)) ↔ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦))))
1817abbii 2803 . . 3 {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦))} = {π‘₯ ∣ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))}
199, 10, 183eqtri 2765 . 2 {𝑧 ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∣ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))}
20 scottex 9880 . 2 {𝑧 ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)} ∈ V
2119, 20eqeltrri 2831 1 {π‘₯ ∣ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))} ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  [wsbc 3778   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  rankcrnk 9758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-reg 9587  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-r1 9759  df-rank 9760
This theorem is referenced by:  hta  9892
  Copyright terms: Public domain W3C validator