MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scottexs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scottexs 9884
Description: Theorem scheme version of scottex 9882. The collection of all π‘₯ of minimum rank such that πœ‘(π‘₯) is true, is a set. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
scottexs {π‘₯ ∣ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))} ∈ V
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘₯)

Proof of Theorem scottexs
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2903 . . . 4 Ⅎ𝑧{π‘₯ ∣ πœ‘}
2 nfab1 2905 . . . 4 β„²π‘₯{π‘₯ ∣ πœ‘}
3 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘₯(rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)
42, 3nfralw 3308 . . . 4 β„²π‘₯βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)
5 nfv 1917 . . . 4 β„²π‘§βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)
6 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ (rankβ€˜π‘§) = (rankβ€˜π‘₯))
76sseq1d 4013 . . . . 5 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘¦) ↔ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))
87ralbidv 3177 . . . 4 (𝑧 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))
91, 2, 4, 5, 8cbvrabw 3467 . . 3 {𝑧 ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)}
10 df-rab 3433 . . 3 {π‘₯ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦))}
11 abid 2713 . . . . 5 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ↔ πœ‘)
12 df-ral 3062 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))
13 df-sbc 3778 . . . . . . . 8 ([𝑦 / π‘₯]πœ‘ ↔ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘})
1413imbi1i 349 . . . . . . 7 (([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)) ↔ (𝑦 ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))
1514albii 1821 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))
1612, 15bitr4i 277 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))
1711, 16anbi12i 627 . . . 4 ((π‘₯ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)) ↔ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦))))
1817abbii 2802 . . 3 {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦))} = {π‘₯ ∣ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))}
199, 10, 183eqtri 2764 . 2 {𝑧 ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∣ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))}
20 scottex 9882 . 2 {𝑧 ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∣ πœ‘} (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)} ∈ V
2119, 20eqeltrri 2830 1 {π‘₯ ∣ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ (rankβ€˜π‘₯) βŠ† (rankβ€˜π‘¦)))} ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396  βˆ€wal 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  [wsbc 3777   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  rankcrnk 9760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-reg 9589  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-r1 9761  df-rank 9762
This theorem is referenced by:  hta  9894
  Copyright terms: Public domain W3C validator