Theorem negne0d 11488

Description: The negative of a nonzero number is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
negne0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
negne0d	⊢ (𝜑 → -𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem negne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negne0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		negidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	negne0bd 11483	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0))
4	1, 3	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ℂcc 11022  0cc0 11024  -cneg 11363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-sub 11364  df-neg 11365

This theorem is referenced by:  mul2lt0rlt0  13007  cosangneg2d  26771  isosctrlem2  26783  isosctrlem3  26784  dcubic2  26808  mcubic  26811  atancj  26874  cxplim  26936  lgsneg  27286  bcm1n  32824  divnumden2  32845  sgn0bi  32870  constrremulcl  33873  cos9thpiminply  33894  fourierdlem43  46336  etransclem47  46467  oexpnegnz  47866