MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftlem 14962
Description: Two ways to write a shifted set (𝐵 + 𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
shftlem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem shftlem
StepHypRef Expression
1 df-rab 3407 . 2 {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)}
2 npcan 11418 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
32ancoms 460 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
43eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 = ((𝑥𝐴) + 𝐴))
5 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐴) → (𝑦 + 𝐴) = ((𝑥𝐴) + 𝐴))
65rspceeqv 3599 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴) ∈ 𝐵𝑥 = ((𝑥𝐴) + 𝐴)) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴))
76expcom 415 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑥𝐴) + 𝐴) → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
84, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
98expimpd 455 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
109adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
11 ssel2 3943 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
12 addcl 11141 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
1311, 12sylan 581 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
14 pncan 11415 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
1511, 14sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
16 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑦𝐵)
1715, 16eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)
1813, 17jca 513 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
1918ancoms 460 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵)) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
2019anassrs 469 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
21 eleq1 2822 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ↔ (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ))
22 oveq1 7368 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥𝐴) = ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴))
2322eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
2421, 23anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)))
2520, 24syl5ibrcom 247 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)))
2625rexlimdva 3149 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)))
2710, 26impbid 211 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
2827abbidv 2802 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
291, 28eqtrid 2785 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wrex 3070  {crab 3406  wss 3914  (class class class)co 7361  cc 11057   + caddc 11062  cmin 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sub 11395
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator