Theorem shftlem 14991

Description: Two ways to write a shifted set (𝐵 + 𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
shftlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem shftlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3400	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)}
2		npcan 11389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
3	2	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
4	3	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴))
5		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐴) → (𝑦 + 𝐴) = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴))
6	5	rspceeqv 3599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴))
7	6	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) → ((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
9	8	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
11		ssel2 3928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
12		addcl 11108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
13	11, 12	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
14		pncan 11386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
15	11, 14	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
16		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	15, 16	eqeltrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)
18	13, 17	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
19	18	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
20	19	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
21		eleq1 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ↔ (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ))
22		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 − 𝐴) = ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴))
23	22	eleq1d 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
24	21, 23	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)))
25	20, 24	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)))
26	25	rexlimdva 3137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)))
27	10, 26	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
28	27	abbidv 2802	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
29	1, 28	eqtrid 2783	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2714  ∃wrex 3060  {crab 3399   ⊆ wss 3901  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366

This theorem is referenced by: (None)