MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftlem 15019
Description: Two ways to write a shifted set (𝐵 + 𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
shftlem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem shftlem
StepHypRef Expression
1 df-rab 3427 . 2 {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)}
2 npcan 11470 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
32ancoms 458 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
43eqcomd 2732 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 = ((𝑥𝐴) + 𝐴))
5 oveq1 7411 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐴) → (𝑦 + 𝐴) = ((𝑥𝐴) + 𝐴))
65rspceeqv 3628 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴) ∈ 𝐵𝑥 = ((𝑥𝐴) + 𝐴)) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴))
76expcom 413 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑥𝐴) + 𝐴) → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
84, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
98expimpd 453 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
109adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
11 ssel2 3972 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
12 addcl 11191 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
1311, 12sylan 579 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
14 pncan 11467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
1511, 14sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
16 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑦𝐵)
1715, 16eqeltrd 2827 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)
1813, 17jca 511 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
1918ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵)) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
2019anassrs 467 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
21 eleq1 2815 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ↔ (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ))
22 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥𝐴) = ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴))
2322eleq1d 2812 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
2421, 23anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)))
2520, 24syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)))
2625rexlimdva 3149 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)))
2710, 26impbid 211 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
2827abbidv 2795 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
291, 28eqtrid 2778 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2703  wrex 3064  {crab 3426  wss 3943  (class class class)co 7404  cc 11107   + caddc 11112  cmin 11445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator