Theorem shftlem 15092

Description: Two ways to write a shifted set (𝐵 + 𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
shftlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem shftlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3421	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)}
2		npcan 11496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
3	2	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
4	3	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴))
5		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐴) → (𝑦 + 𝐴) = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴))
6	5	rspceeqv 3629	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴))
7	6	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) → ((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
9	8	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
11		ssel2 3958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
12		addcl 11216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
13	11, 12	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
14		pncan 11493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
15	11, 14	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
16		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	15, 16	eqeltrd 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)
18	13, 17	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
19	18	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
20	19	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
21		eleq1 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ↔ (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ))
22		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 − 𝐴) = ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴))
23	22	eleq1d 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
24	21, 23	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)))
25	20, 24	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)))
26	25	rexlimdva 3142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)))
27	10, 26	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
28	27	abbidv 2802	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
29	1, 28	eqtrid 2783	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2714  ∃wrex 3061  {crab 3420   ⊆ wss 3931  (class class class)co 7410  ℂcc 11132   + caddc 11137   − cmin 11471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473

This theorem is referenced by: (None)