Theorem shftuz 15254

Description: A shift of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
shftuz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)} = (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3417	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))}
2		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		zcn 12728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	npcand 11703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
6		eluzadd 13024	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
7	6	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
8	7	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
9	5, 8	eqeltrrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
10	9	3expib 1140	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))))
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))))
12		eluzelcn 13007	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ))
14		eluzsub 13025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))) → (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
15	14	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
16	15	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
17	13, 16	jcad 522	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))))
18	11, 17	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴))))
19	18	eqabcdv 2898	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵))} = (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))
20	1, 19	eqtrid 2810	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐵)} = (ℤ≥‘(𝐵 + 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  {crab 3416  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228   + caddc 11233   − cmin 11571  ℤcz 12723  ℤ_≥cuz 12995

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996

This theorem is used by:  seqshft  15270  uzmptshftfval  45533