Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftuz 14476
 Description: A shift of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
shftuz ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)} = (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftuz
StepHypRef Expression
1 df-rab 3079 . 2 {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵))}
2 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3 zcn 12025 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
433ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
52, 4npcand 11039 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
6 eluzadd 12313 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
76ancoms 462 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
873adant2 1128 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
95, 8eqeltrrd 2853 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
1093expib 1119 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴))))
1110adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴))))
12 eluzelcn 12294 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1312a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ))
14 eluzsub 12314 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴))) → (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵))
15143expia 1118 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)))
1615ancoms 462 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)))
1713, 16jcad 516 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵))))
1811, 17impbid 215 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴))))
1918abbi1dv 2890 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵))} = (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
201, 19syl5eq 2805 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)} = (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2735  {crab 3074  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573   + caddc 10578   − cmin 10908  ℤcz 12020  ℤ≥cuz 12282 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283 This theorem is referenced by:  seqshft  14492  uzmptshftfval  41445
 Copyright terms: Public domain W3C validator