MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftuz 14963
Description: A shift of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
shftuz ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)} = (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftuz
StepHypRef Expression
1 df-rab 3407 . 2 {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵))}
2 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3 zcn 12512 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
433ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
52, 4npcand 11524 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
6 eluzadd 12800 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
76ancoms 460 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
873adant2 1132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
95, 8eqeltrrd 2835 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
1093expib 1123 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴))))
1110adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴))))
12 eluzelcn 12783 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1312a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ))
14 eluzsub 12801 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴))) → (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵))
15143expia 1122 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)))
1615ancoms 460 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)))
1713, 16jcad 514 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵))))
1811, 17impbid 211 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴))))
1918abbi1dv 2869 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵))} = (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
201, 19eqtrid 2785 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)} = (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  {crab 3406  cfv 6500  (class class class)co 7361  cc 11057   + caddc 11062  cmin 11393  cz 12507  cuz 12771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772
This theorem is referenced by:  seqshft  14979  uzmptshftfval  42718
  Copyright terms: Public domain W3C validator