MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftuz 14418
Description: A shift of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
shftuz ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)} = (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftuz
StepHypRef Expression
1 df-rab 3152 . 2 {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵))}
2 simp2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3 zcn 11975 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
433ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
52, 4npcand 10990 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
6 eluzadd 12262 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
76ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
873adant2 1125 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
95, 8eqeltrrd 2919 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
1093expib 1116 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴))))
1110adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴))))
12 eluzelcn 12244 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1312a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ))
14 eluzsub 12263 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴))) → (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵))
15143expia 1115 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)))
1615ancoms 459 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)))
1713, 16jcad 513 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵))))
1811, 17impbid 213 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐵 + 𝐴))))
1918abbi1dv 2957 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵))} = (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
201, 19syl5eq 2873 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ (ℤ𝐵)} = (ℤ‘(𝐵 + 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  {cab 2804  {crab 3147  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524   + caddc 10529  cmin 10859  cz 11970  cuz 12232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233
This theorem is referenced by:  seqshft  14434  uzmptshftfval  40543
  Copyright terms: Public domain W3C validator