MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem6 26481
Description: Lemma for abelth 26486. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
abelth.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
abelthlem6.1 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
Assertion
Ref Expression
abelthlem6 (𝜑 → (𝐹𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑧,𝑀   𝑛,𝑋,𝑥,𝑧   𝐴,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem6
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelthlem6.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
21eldifad 3962 . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
3 oveq1 7439 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑛) = (𝑋𝑛))
43oveq2d 7448 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
54sumeq2sdv 15740 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
6 abelth.6 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
7 sumex 15725 . . . 4 Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 7015 . . 3 (𝑋𝑆 → (𝐹𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
92, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
10 nn0uz 12921 . . 3 0 = (ℤ‘0)
11 0zd 12627 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12 fveq2 6905 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑛))
13 oveq2 7440 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑛))
1412, 13oveq12d 7450 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
15 eqid 2736 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
16 ovex 7465 . . . . 5 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 7015 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
1817adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
19 abelth.1 . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2019ffvelcdmda 7103 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
21 abelth.5 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
2221ssrab3 4081 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ℂ
2322, 2sselid 3980 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
24 expcl 14121 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑛) ∈ ℂ)
2523, 24sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑛) ∈ ℂ)
2620, 25mulcld 11282 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
27 fveq2 6905 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
2827, 13oveq12d 7450 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
29 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))
30 ovex 7465 . . . . . . . 8 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 7015 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
3231adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
3310, 11, 20serf 14072 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
3433ffvelcdmda 7103 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) ∈ ℂ)
3534, 25mulcld 11282 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
36 abelth.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
37 abelth.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
38 abelth.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
3919, 36, 37, 38, 21abelthlem2 26477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
4039simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
4140, 1sseldd 3983 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
42 abelth.7 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
4319, 36, 37, 38, 21, 6, 42abelthlem5 26480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
4441, 43mpdan 687 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
4510, 11, 32, 35, 44isumclim2 15795 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ⇝ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
46 seqex 14045 . . . . . 6 seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ V
4746a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ V)
48 0nn0 12543 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
50 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 − 1) = (𝑖 − 1))
5150oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑖 − 1)))
5251sumeq1d 15737 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚))
53 oveq2 7440 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑖))
5452, 53oveq12d 7450 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)))
55 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))
56 ovex 7465 . . . . . . . . . 10 𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)) ∈ V
5754, 55, 56fvmpt 7015 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)))
5857adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)))
59 fzfid 14015 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (0...(𝑖 − 1)) ∈ Fin)
6019adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
61 elfznn0 13661 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
62 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
6360, 61, 62syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
6459, 63fsumcl 15770 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) ∈ ℂ)
65 expcl 14121 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
6623, 65sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
6764, 66mulcld 11282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)) ∈ ℂ)
6858, 67eqeltrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
6911peano2zd 12727 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
70 nnuz 12922 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
71 1e0p1 12777 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
7271fveq2i 6908 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
7370, 72eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
7473eleq2i 2832 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
75 nnm1nn0 12569 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
7675adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
77 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑛 − 1) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
78 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋𝑘) = (𝑋↑(𝑛 − 1)))
7977, 78oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑛 − 1) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
8079oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
81 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))
82 ovex 7465 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
8380, 81, 82fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
8476, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
85 ax-1cn 11214 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
86 nncn 12275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
8786adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
88 nn0ex 12534 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
8988mptex 7244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ V
9089shftval 15114 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
9185, 87, 90sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
92 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑚))
9376, 10eleqtrdi 2850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ (ℤ‘0))
9419adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
95 elfznn0 13661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
9694, 95, 62syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
9792, 93, 96fsumser 15767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
98 expm1t 14132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
9923, 98sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
10023adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℂ)
101 expcl 14121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
10223, 75, 101syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
103100, 102mulcomd 11283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
10499, 103eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋𝑛) = (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
10597, 104oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
106 nnnn0 12535 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
107106adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
108 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
109108oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑛 − 1)))
110109sumeq1d 15737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚))
111110, 13oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
112 ovex 7465 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)) ∈ V
113111, 55, 112fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
114107, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
115 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
11633, 75, 115syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
117100, 116, 102mul12d 11471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
118105, 114, 1173eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
11984, 91, 1183eqtr4d 2786 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛))
12074, 119sylan2br 595 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛))
12169, 120seqfeq 14069 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))))
122 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑖))
123122, 53oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
124 ovex 7465 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ V
125123, 29, 124fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
126125adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
12733ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
128127, 66mulcld 11282 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ ℂ)
129126, 128eqeltrd 2840 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
130123oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
131 ovex 7465 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) ∈ V
132130, 81, 131fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
133132adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
134126oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
135133, 134eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)))
13610, 11, 23, 45, 129, 135isermulc2 15695 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
137 0z 12626 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
138 1z 12649 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
13989isershft 15701 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
140137, 138, 139mp2an 692 . . . . . . . . 9 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
141136, 140sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
142121, 141eqbrtrrd 5166 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
14310, 49, 68, 142clim2ser2 15693 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))) ⇝ ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0)))
144 seq1 14056 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0))
145137, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0)
146 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
147146oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(0 − 1)))
148 risefall0lem 16063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0...(0 − 1)) = ∅
149147, 148eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = ∅)
150149sumeq1d 15737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴𝑚))
151 sum0 15758 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴𝑚) = 0
152150, 151eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = 0)
153 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑋𝑘) = (𝑋↑0))
154152, 153oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)) = (0 · (𝑋↑0)))
155 ovex 7465 . . . . . . . . . . . 12 (0 · (𝑋↑0)) ∈ V
156154, 55, 155fvmpt 7015 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0)))
15748, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
158145, 157eqtri 2764 . . . . . . . . 9 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
159 expcl 14121 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
16023, 48, 159sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
161160mul02d 11460 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 · (𝑋↑0)) = 0)
162158, 161eqtrid 2788 . . . . . . . 8 (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = 0)
163162oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0)) = ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + 0))
16410, 11, 32, 35, 44isumcl 15798 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
16523, 164mulcld 11282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ ℂ)
166165addridd 11462 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + 0) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
167163, 166eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0)) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
168143, 167breqtrd 5168 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
16910, 11, 129serf 14072 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
170169ffvelcdmda 7103 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
17110, 11, 68serf 14072 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
172171ffvelcdmda 7103 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
173 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
174173, 10eleqtrdi 2850 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ (ℤ‘0))
175 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝜑)
176 elfznn0 13661 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...𝑖) → 𝑛 ∈ ℕ0)
17732, 35eqeltrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
178175, 176, 177syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
179113adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
180 fzfid 14015 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (0...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
18119adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
182181, 95, 62syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
183180, 182fsumcl 15770 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) ∈ ℂ)
184183, 25mulcld 11282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
185179, 184eqeltrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
186175, 176, 185syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
187 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑚))
188 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
189188, 10eleqtrdi 2850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ (ℤ‘0))
190 elfznn0 13661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (0...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ0)
191181, 190, 62syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
192187, 189, 191fsumser 15767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
193 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑛))
194189, 191, 193fsumm1 15788 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)))
195192, 194eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)))
196195oveq1d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) = ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)))
197183, 20pncan2d 11623 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) = (𝐴𝑛))
198196, 197eqtr2d 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)))
199198oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) · (𝑋𝑛)))
20034, 183, 25subdird 11721 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) · (𝑋𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛))))
201199, 200eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛))))
20232, 179oveq12d 7450 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛))))
203201, 18, 2023eqtr4d 2786 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛)))
204175, 176, 203syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛)))
205174, 178, 186, 204sersub 14087 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = ((seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘𝑖)))
20610, 11, 45, 47, 168, 170, 172, 205climsub 15671 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ⇝ (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
207 1cnd 11257 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
208207, 23, 164subdird 11721 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
209164mullidd 11280 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
210209oveq1d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
211208, 210eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
212206, 211breqtrrd 5170 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ⇝ ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
21310, 11, 18, 26, 212isumclim 15794 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
2149, 213eqtrd 2776 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  {crab 3435  Vcvv 3479  cdif 3947  wss 3950  c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  ccom 5688  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  cle 11297  cmin 11493  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  seqcseq 14043  cexp 14103   shift cshi 15106  abscabs 15274  cli 15521  Σcsu 15723  ballcbl 21352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-xadd 13156  df-ico 13394  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360
This theorem is referenced by:  abelthlem7  26483
  Copyright terms: Public domain W3C validator