Theorem abelthlem6 26495

Description: Lemma for abelth 26500. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
abelth.7	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
abelthlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))

Assertion

Ref	Expression
abelthlem6	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑧,𝑀   𝑛,𝑋,𝑥,𝑧   𝐴,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem6

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelthlem6.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
2	1	eldifad 3975	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
3		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
4	3	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
5	4	sumeq2sdv 15736	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
6		abelth.6	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
7		sumex 15721	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 7016	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
9	2, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
10		nn0uz 12918	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
11		0zd 12623	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑛))
13		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑛))
14	12, 13	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
15		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
16		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
17	14, 15, 16	fvmpt 7016	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
19		abelth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
20	19	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
21		abelth.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
22	21	ssrab3 4092	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
23	22, 2	sselid 3993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
24		expcl 14117	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
25	23, 24	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
26	20, 25	mulcld 11279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
27		fveq2 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
28	27, 13	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
29		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
30		ovex 7464	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
31	28, 29, 30	fvmpt 7016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
32	31	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
33	10, 11, 20	serf 14068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
34	33	ffvelcdmda 7104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) ∈ ℂ)
35	34, 25	mulcld 11279	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
36		abelth.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
37		abelth.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
38		abelth.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
39	19, 36, 37, 38, 21	abelthlem2 26491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
40	39	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
41	40, 1	sseldd 3996	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
42		abelth.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
43	19, 36, 37, 38, 21, 6, 42	abelthlem5 26494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
44	41, 43	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
45	10, 11, 32, 35, 44	isumclim2 15791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
46		seqex 14041	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ V)
48		0nn0 12539	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
50		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 − 1) = (𝑖 − 1))
51	50	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑖 − 1)))
52	51	sumeq1d 15733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚))
53		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑖))
54	52, 53	oveq12d 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)))
55		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))
56		ovex 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)) ∈ V
57	54, 55, 56	fvmpt 7016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)))
58	57	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)))
59		fzfid 14011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (0...(𝑖 − 1)) ∈ Fin)
60	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
61		elfznn0 13657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
62		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
63	60, 61, 62	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
64	59, 63	fsumcl 15766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
65		expcl 14117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑖) ∈ ℂ)
66	23, 65	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑖) ∈ ℂ)
67	64, 66	mulcld 11279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)) ∈ ℂ)
68	58, 67	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
69	11	peano2zd 12723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
70		nnuz 12919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
71		1e0p1 12773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (0 + 1)
72	71	fveq2i 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘(0 + 1))
73	70, 72	eqtri 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
74	73	eleq2i 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
75		nnm1nn0 12565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
77		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
78		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑(𝑛 − 1)))
79	77, 78	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
80	79	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
81		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))
82		ovex 7464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
83	80, 81, 82	fvmpt 7016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
84	76, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
85		ax-1cn 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
86		nncn 12272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
88		nn0ex 12530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 ∈ V
89	88	mptex 7243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ V
90	89	shftval 15110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
91	85, 87, 90	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
92		eqidd 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑚))
93	76, 10	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
94	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
95		elfznn0 13657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
96	94, 95, 62	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
97	92, 93, 96	fsumser 15763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
98		expm1t 14128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
99	23, 98	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
100	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℂ)
101		expcl 14117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
102	23, 75, 101	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
103	100, 102	mulcomd 11280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
104	99, 103	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑛) = (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
105	97, 104	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
106		nnnn0 12531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
107	106	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
108		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
109	108	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑛 − 1)))
110	109	sumeq1d 15733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚))
111	110, 13	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
112		ovex 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
113	111, 55, 112	fvmpt 7016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
114	107, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
115		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
116	33, 75, 115	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
117	100, 116, 102	mul12d 11468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
118	105, 114, 117	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
119	84, 91, 118	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛))
120	74, 119	sylan2br 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛))
121	69, 120	seqfeq 14065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))))
122		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑖))
123	122, 53	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)))
124		ovex 7464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)) ∈ V
125	123, 29, 124	fvmpt 7016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)))
126	125	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)))
127	33	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
128	127, 66	mulcld 11279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)) ∈ ℂ)
129	126, 128	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
130	123	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
131		ovex 7464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))) ∈ V
132	130, 81, 131	fvmpt 7016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
133	132	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
134	126	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
135	133, 134	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖)))
136	10, 11, 23, 45, 129, 135	isermulc2 15691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
137		0z 12622	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
138		1z 12645	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
139	89	isershft 15697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
140	137, 138, 139	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
141	136, 140	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
142	121, 141	eqbrtrrd 5172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
143	10, 49, 68, 142	clim2ser2 15689	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0)))
144		seq1 14052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0))
145	137, 144	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0)
146		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
147	146	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(0 − 1)))
148		risefall0lem 16059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0...(0 − 1)) = ∅
149	147, 148	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = ∅)
150	149	sumeq1d 15733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴‘𝑚))
151		sum0 15754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴‘𝑚) = 0
152	150, 151	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = 0)
153		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑0))
154	152, 153	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)) = (0 · (𝑋↑0)))
155		ovex 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 · (𝑋↑0)) ∈ V
156	154, 55, 155	fvmpt 7016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0)))
157	48, 156	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
158	145, 157	eqtri 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
159		expcl 14117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
160	23, 48, 159	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
161	160	mul02d 11457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝑋↑0)) = 0)
162	158, 161	eqtrid 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = 0)
163	162	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0)) = ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + 0))
164	10, 11, 32, 35, 44	isumcl 15794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
165	23, 164	mulcld 11279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
166	165	addridd 11459	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + 0) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
167	163, 166	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0)) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
168	143, 167	breqtrd 5174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
169	10, 11, 129	serf 14068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
170	169	ffvelcdmda 7104	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
171	10, 11, 68	serf 14068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
172	171	ffvelcdmda 7104	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
173		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
174	173, 10	eleqtrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
175		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝜑)
176		elfznn0 13657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑖) → 𝑛 ∈ ℕ0)
177	32, 35	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
178	175, 176, 177	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
179	113	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
180		fzfid 14011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
181	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
182	181, 95, 62	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
183	180, 182	fsumcl 15766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
184	183, 25	mulcld 11279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
185	179, 184	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
186	175, 176, 185	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
187		eqidd 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑚))
188		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
189	188, 10	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
190		elfznn0 13657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (0...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ0)
191	181, 190, 62	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
192	187, 189, 191	fsumser 15763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴‘𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
193		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑛))
194	189, 191, 193	fsumm1 15784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴‘𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)))
195	192, 194	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)))
196	195	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) = ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)))
197	183, 20	pncan2d 11620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) = (𝐴‘𝑛))
198	196, 197	eqtr2d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)))
199	198	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) · (𝑋↑𝑛)))
200	34, 183, 25	subdird 11718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) · (𝑋↑𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛))))
201	199, 200	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛))))
202	32, 179	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛))))
203	201, 18, 202	3eqtr4d 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)))
204	175, 176, 203	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)))
205	174, 178, 186, 204	sersub 14083	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = ((seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖)))
206	10, 11, 45, 47, 168, 170, 172, 205	climsub 15667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
207		1cnd 11254	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
208	207, 23, 164	subdird 11718	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
209	164	mullidd 11277	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
210	209	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
211	208, 210	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
212	206, 211	breqtrrd 5176	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
213	10, 11, 18, 26, 212	isumclim 15790	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
214	9, 213	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689   ∘ ccom 5693  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544  seqcseq 14039  ↑cexp 14099   shift cshi 15102  abscabs 15270   ⇝ cli 15517  Σcsu 15719  ballcbl 21369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377

This theorem is referenced by:  abelthlem7  26497