Theorem abelthlem6 26486

Description: Lemma for abelth 26491. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
abelth.7	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
abelthlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))

Assertion

Ref	Expression
abelthlem6	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑧,𝑀   𝑛,𝑋,𝑥,𝑧   𝐴,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem6

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelthlem6.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
2	1	eldifad 3914	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
3		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
4	3	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
5	4	sumeq2sdv 15720	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
6		abelth.6	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
7		sumex 15705	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6969	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
9	2, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
10		nn0uz 12870	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
11		0zd 12573	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑛))
13		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑛))
14	12, 13	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
15		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
16		ovex 7423	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
17	14, 15, 16	fvmpt 6969	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
18	17	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
19		abelth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
20	19	ffvelcdmda 7059	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
21		abelth.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
22	21	ssrab3 4033	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
23	22, 2	sselid 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
24		expcl 14085	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
25	23, 24	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
26	20, 25	mulcld 11195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
27		fveq2 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
28	27, 13	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
29		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
30		ovex 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
31	28, 29, 30	fvmpt 6969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
32	31	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
33	10, 11, 20	serf 14036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
34	33	ffvelcdmda 7059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) ∈ ℂ)
35	34, 25	mulcld 11195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
36		abelth.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
37		abelth.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
38		abelth.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
39	19, 36, 37, 38, 21	abelthlem2 26482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
40	39	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
41	40, 1	sseldd 3935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
42		abelth.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
43	19, 36, 37, 38, 21, 6, 42	abelthlem5 26485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
44	41, 43	mpdan 697	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
45	10, 11, 32, 35, 44	isumclim2 15775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
46		seqex 14009	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ V)
48		0nn0 12489	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
50		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 − 1) = (𝑖 − 1))
51	50	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑖 − 1)))
52	51	sumeq1d 15717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚))
53		oveq2 7398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑖))
54	52, 53	oveq12d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)))
55		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))
56		ovex 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)) ∈ V
57	54, 55, 56	fvmpt 6969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)))
58	57	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)))
59		fzfid 13979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (0...(𝑖 − 1)) ∈ Fin)
60	19	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
61		elfznn0 13618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
62		ffvelcdm 7056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
63	60, 61, 62	syl2an 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
64	59, 63	fsumcl 15750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
65		expcl 14085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑖) ∈ ℂ)
66	23, 65	sylan 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑖) ∈ ℂ)
67	64, 66	mulcld 11195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)) ∈ ℂ)
68	58, 67	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
69	11	peano2zd 12673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
70		nnuz 12871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
71		1e0p1 12728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (0 + 1)
72	71	fveq2i 6864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘(0 + 1))
73	70, 72	eqtri 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
74	73	eleq2i 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
75		nnm1nn0 12515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
76	75	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
77		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
78		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑(𝑛 − 1)))
79	77, 78	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
80	79	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
81		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))
82		ovex 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
83	80, 81, 82	fvmpt 6969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
84	76, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
85		ax-1cn 11124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
86		nncn 12211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
87	86	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
88		nn0ex 12480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 ∈ V
89	88	mptex 7201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ V
90	89	shftval 15080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
91	85, 87, 90	sylancr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
92		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑚))
93	76, 10	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
94	19	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
95		elfznn0 13618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
96	94, 95, 62	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
97	92, 93, 96	fsumser 15747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
98		expm1t 14096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
99	23, 98	sylan 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
100	23	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℂ)
101		expcl 14085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
102	23, 75, 101	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
103	100, 102	mulcomd 11196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
104	99, 103	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑛) = (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
105	97, 104	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
106		nnnn0 12481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
107	106	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
108		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
109	108	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑛 − 1)))
110	109	sumeq1d 15717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚))
111	110, 13	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
112		ovex 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
113	111, 55, 112	fvmpt 6969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
114	107, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
115		ffvelcdm 7056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
116	33, 75, 115	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
117	100, 116, 102	mul12d 11385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
118	105, 114, 117	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
119	84, 91, 118	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛))
120	74, 119	sylan2br 604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛))
121	69, 120	seqfeq 14033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))))
122		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑖))
123	122, 53	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)))
124		ovex 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)) ∈ V
125	123, 29, 124	fvmpt 6969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)))
126	125	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)))
127	33	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
128	127, 66	mulcld 11195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)) ∈ ℂ)
129	126, 128	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
130	123	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
131		ovex 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))) ∈ V
132	130, 81, 131	fvmpt 6969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
133	132	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
134	126	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
135	133, 134	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖)))
136	10, 11, 23, 45, 129, 135	isermulc2 15675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
137		0z 12572	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
138		1z 12594	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
139	89	isershft 15681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
140	137, 138, 139	mp2an 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
141	136, 140	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
142	121, 141	eqbrtrrd 5121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
143	10, 49, 68, 142	clim2ser2 15673	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0)))
144		seq1 14020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0))
145	137, 144	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0)
146		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
147	146	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(0 − 1)))
148		risefall0lem 16046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0...(0 − 1)) = ∅
149	147, 148	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = ∅)
150	149	sumeq1d 15717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴‘𝑚))
151		sum0 15738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴‘𝑚) = 0
152	150, 151	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = 0)
153		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑0))
154	152, 153	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)) = (0 · (𝑋↑0)))
155		ovex 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 · (𝑋↑0)) ∈ V
156	154, 55, 155	fvmpt 6969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0)))
157	48, 156	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
158	145, 157	eqtri 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
159		expcl 14085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
160	23, 48, 159	sylancl 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
161	160	mul02d 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝑋↑0)) = 0)
162	158, 161	eqtrid 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = 0)
163	162	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0)) = ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + 0))
164	10, 11, 32, 35, 44	isumcl 15778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
165	23, 164	mulcld 11195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
166	165	addridd 11376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + 0) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
167	163, 166	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0)) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
168	143, 167	breqtrd 5123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
169	10, 11, 129	serf 14036	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
170	169	ffvelcdmda 7059	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
171	10, 11, 68	serf 14036	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
172	171	ffvelcdmda 7059	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
173		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
174	173, 10	eleqtrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
175		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝜑)
176		elfznn0 13618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑖) → 𝑛 ∈ ℕ0)
177	32, 35	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
178	175, 176, 177	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
179	113	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
180		fzfid 13979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
181	19	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
182	181, 95, 62	syl2an 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
183	180, 182	fsumcl 15750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
184	183, 25	mulcld 11195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
185	179, 184	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
186	175, 176, 185	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
187		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑚))
188		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
189	188, 10	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
190		elfznn0 13618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (0...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ0)
191	181, 190, 62	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
192	187, 189, 191	fsumser 15747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴‘𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
193		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑛))
194	189, 191, 193	fsumm1 15768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴‘𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)))
195	192, 194	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)))
196	195	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) = ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)))
197	183, 20	pncan2d 11537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) = (𝐴‘𝑛))
198	196, 197	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)))
199	198	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) · (𝑋↑𝑛)))
200	34, 183, 25	subdird 11637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) · (𝑋↑𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛))))
201	199, 200	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛))))
202	32, 179	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛))))
203	201, 18, 202	3eqtr4d 2806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)))
204	175, 176, 203	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)))
205	174, 178, 186, 204	sersub 14051	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = ((seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖)))
206	10, 11, 45, 47, 168, 170, 172, 205	climsub 15651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
207		1cnd 11168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
208	207, 23, 164	subdird 11637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
209	164	mullidd 11193	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
210	209	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
211	208, 210	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
212	206, 211	breqtrrd 5125	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
213	10, 11, 18, 26, 212	isumclim 15774	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
214	9, 213	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {csn 4579   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  dom cdm 5643   ∘ ccom 5647  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℂcc 11064  ℝcr 11065  0cc0 11066  1c1 11067   + caddc 11069   · cmul 11071   ≤ cle 11210   − cmin 11407  ℕcn 12203  ℕ₀cn0 12474  ℤcz 12561  ℤ_≥cuz 12832  ...cfz 13505  seqcseq 14007  ↑cexp 14067   shift cshi 15072  abscabs 15251   ⇝ cli 15501  Σcsu 15703  ballcbl 21398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-rp 12987  df-xadd 13108  df-ico 13348  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14337  df-shft 15073  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15488  df-clim 15505  df-rlim 15506  df-sum 15704  df-psmet 21403  df-xmet 21404  df-met 21405  df-bl 21406

This theorem is referenced by:  abelthlem7  26488