MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem6 25940
Description: Lemma for abelth 25945. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
abelth.2 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
abelth.6 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)))
abelth.7 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
abelthlem6.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑆 βˆ– {1}))
Assertion
Ref Expression
abelthlem6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = ((1 βˆ’ 𝑋) Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑧,𝑀   𝑛,𝑋,π‘₯,𝑧   𝐴,𝑛,π‘₯,𝑧   πœ‘,𝑛,π‘₯   𝑆,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(π‘₯,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem6
Dummy variables 𝑖 π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelthlem6.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑆 βˆ– {1}))
21eldifad 3960 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
3 oveq1 7413 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
43oveq2d 7422 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)) = ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))
54sumeq2sdv 15647 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)) = Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))
6 abelth.6 . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)))
7 sumex 15631 . . . 4 Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6996 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))
92, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))
10 nn0uz 12861 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
11 0zd 12567 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
12 fveq2 6889 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘›))
13 oveq2 7414 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘‹β†‘π‘˜) = (𝑋↑𝑛))
1412, 13oveq12d 7424 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))
15 eqid 2733 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
16 ovex 7439 . . . . 5 ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 6996 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))
1817adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))
19 abelth.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2019ffvelcdmda 7084 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„‚)
21 abelth.5 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
2221ssrab3 4080 . . . . . 6 𝑆 βŠ† β„‚
2322, 2sselid 3980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
24 expcl 14042 . . . . 5 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑𝑛) ∈ β„‚)
2523, 24sylan 581 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑𝑛) ∈ β„‚)
2620, 25mulcld 11231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) ∈ β„‚)
27 fveq2 6889 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) = (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›))
2827, 13oveq12d 7424 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))
29 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
30 ovex 7439 . . . . . . . 8 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 6996 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))
3231adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))
3310, 11, 20serf 13993 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴):β„•0βŸΆβ„‚)
3433ffvelcdmda 7084 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
3534, 25mulcld 11231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) ∈ β„‚)
36 abelth.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
37 abelth.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
38 abelth.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
3919, 36, 37, 38, 21abelthlem2 25936 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
4039simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
4140, 1sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
42 abelth.7 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
4319, 36, 37, 38, 21, 6, 42abelthlem5 25939 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ∈ dom ⇝ )
4441, 43mpdan 686 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ∈ dom ⇝ )
4510, 11, 32, 35, 44isumclim2 15701 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ⇝ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))
46 seqex 13965 . . . . . 6 seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ∈ V
4746a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ∈ V)
48 0nn0 12484 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
4948a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
50 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (𝑖 βˆ’ 1))
5150oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (0...(π‘˜ βˆ’ 1)) = (0...(𝑖 βˆ’ 1)))
5251sumeq1d 15644 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑖 β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š))
53 oveq2 7414 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘‹β†‘π‘˜) = (𝑋↑𝑖))
5452, 53oveq12d 7424 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (𝑋↑𝑖)))
55 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
56 ovex 7439 . . . . . . . . . 10 (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (𝑋↑𝑖)) ∈ V
5754, 55, 56fvmpt 6996 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (𝑋↑𝑖)))
5857adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (𝑋↑𝑖)))
59 fzfid 13935 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (0...(𝑖 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
6019adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
61 elfznn0 13591 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
62 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
6360, 61, 62syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ (π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
6459, 63fsumcl 15676 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
65 expcl 14042 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑𝑖) ∈ β„‚)
6623, 65sylan 581 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑𝑖) ∈ β„‚)
6764, 66mulcld 11231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (𝑋↑𝑖)) ∈ β„‚)
6858, 67eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
6911peano2zd 12666 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 + 1) ∈ β„€)
70 nnuz 12862 . . . . . . . . . . . 12 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
71 1e0p1 12716 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
7271fveq2i 6892 . . . . . . . . . . . 12 (β„€β‰₯β€˜1) = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
7370, 72eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 β„• = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
7473eleq2i 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↔ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)))
75 nnm1nn0 12510 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
7675adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
77 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = (𝑛 βˆ’ 1) β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) = (seq0( + , 𝐴)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)))
78 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = (𝑛 βˆ’ 1) β†’ (π‘‹β†‘π‘˜) = (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)))
7977, 78oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = (𝑛 βˆ’ 1) β†’ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1))))
8079oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (𝑛 βˆ’ 1) β†’ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))) = (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)))))
81 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))
82 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)))) ∈ V
8380, 81, 82fvmpt 6996 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) = (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)))))
8476, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) = (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)))))
85 ax-1cn 11165 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
86 nncn 12217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
8786adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
88 nn0ex 12475 . . . . . . . . . . . . . 14 β„•0 ∈ V
8988mptex 7222 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ∈ V
9089shftval 15018 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) shift 1)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜(𝑛 βˆ’ 1)))
9185, 87, 90sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) shift 1)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜(𝑛 βˆ’ 1)))
92 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))) β†’ (π΄β€˜π‘š) = (π΄β€˜π‘š))
9376, 10eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
9419adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
95 elfznn0 13591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
9694, 95, 62syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))) β†’ (π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
9792, 93, 96fsumser 15673 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) = (seq0( + , 𝐴)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)))
98 expm1t 14053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑋↑𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)) Β· 𝑋))
9923, 98sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑋↑𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)) Β· 𝑋))
10023adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
101 expcl 14042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
10223, 75, 101syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
103100, 102mulcomd 11232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1))) = ((𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)) Β· 𝑋))
10499, 103eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑋↑𝑛) = (𝑋 Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1))))
10597, 104oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (𝑋↑𝑛)) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) Β· (𝑋 Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)))))
106 nnnn0 12476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
107106adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
108 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (𝑛 βˆ’ 1))
109108oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (0...(π‘˜ βˆ’ 1)) = (0...(𝑛 βˆ’ 1)))
110109sumeq1d 15644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š))
111110, 13oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (𝑋↑𝑛)))
112 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (𝑋↑𝑛)) ∈ V
113111, 55, 112fvmpt 6996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) = (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (𝑋↑𝑛)))
114107, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) = (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (𝑋↑𝑛)))
115 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq0( + , 𝐴):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
11633, 75, 115syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
117100, 116, 102mul12d 11420 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)))) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) Β· (𝑋 Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)))))
118105, 114, 1173eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) = (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)))))
11984, 91, 1183eqtr4d 2783 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) shift 1)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›))
12074, 119sylan2br 596 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) shift 1)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›))
12169, 120seqfeq 13990 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ seq(0 + 1)( + , ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) shift 1)) = seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))))
122 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) = (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–))
123122, 53oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)))
124 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)) ∈ V
125123, 29, 124fvmpt 6996 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)))
126125adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)))
12733ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) ∈ β„‚)
128127, 66mulcld 11231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)) ∈ β„‚)
129126, 128eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
130123oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))) = (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖))))
131 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖))) ∈ V
132130, 81, 131fvmpt 6996 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜π‘–) = (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖))))
133132adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜π‘–) = (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖))))
134126oveq2d 7422 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑋 Β· ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–)) = (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖))))
135133, 134eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜π‘–) = (𝑋 Β· ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–)))
13610, 11, 23, 45, 129, 135isermulc2 15601 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))) ⇝ (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
137 0z 12566 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„€
138 1z 12589 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„€
13989isershft 15607 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))) ⇝ (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))))
140137, 138, 139mp2an 691 . . . . . . . . 9 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))) ⇝ (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
141136, 140sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ seq(0 + 1)( + , ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
142121, 141eqbrtrrd 5172 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ⇝ (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
14310, 49, 68, 142clim2ser2 15599 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ⇝ ((𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) + (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜0)))
144 seq1 13976 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ β„€ β†’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜0) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜0))
145137, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜0) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜0)
146 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (0 βˆ’ 1))
147146oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 0 β†’ (0...(π‘˜ βˆ’ 1)) = (0...(0 βˆ’ 1)))
148 risefall0lem 15967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0...(0 βˆ’ 1)) = βˆ…
149147, 148eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 0 β†’ (0...(π‘˜ βˆ’ 1)) = βˆ…)
150149sumeq1d 15644 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 0 β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ βˆ… (π΄β€˜π‘š))
151 sum0 15664 . . . . . . . . . . . . . 14 Ξ£π‘š ∈ βˆ… (π΄β€˜π‘š) = 0
152150, 151eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 0 β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) = 0)
153 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘‹β†‘π‘˜) = (𝑋↑0))
154152, 153oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 0 β†’ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = (0 Β· (𝑋↑0)))
155 ovex 7439 . . . . . . . . . . . 12 (0 Β· (𝑋↑0)) ∈ V
156154, 55, 155fvmpt 6996 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜0) = (0 Β· (𝑋↑0)))
15748, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜0) = (0 Β· (𝑋↑0))
158145, 157eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜0) = (0 Β· (𝑋↑0))
159 expcl 14042 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑0) ∈ β„‚)
16023, 48, 159sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋↑0) ∈ β„‚)
161160mul02d 11409 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 Β· (𝑋↑0)) = 0)
162158, 161eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜0) = 0)
163162oveq2d 7422 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) + (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜0)) = ((𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) + 0))
16410, 11, 32, 35, 44isumcl 15704 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) ∈ β„‚)
16523, 164mulcld 11231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) ∈ β„‚)
166165addridd 11411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) + 0) = (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
167163, 166eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) + (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜0)) = (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
168143, 167breqtrd 5174 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ⇝ (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
16910, 11, 129serf 13993 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))):β„•0βŸΆβ„‚)
170169ffvelcdmda 7084 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
17110, 11, 68serf 13993 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))):β„•0βŸΆβ„‚)
172171ffvelcdmda 7084 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
173 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
174173, 10eleqtrdi 2844 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
175 simpl 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ πœ‘)
176 elfznn0 13591 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...𝑖) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
17732, 35eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
178175, 176, 177syl2an 597 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
179113adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) = (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (𝑋↑𝑛)))
180 fzfid 13935 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (0...(𝑛 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
18119adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
182181, 95, 62syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))) β†’ (π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
183180, 182fsumcl 15676 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
184183, 25mulcld 11231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (𝑋↑𝑛)) ∈ β„‚)
185179, 184eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
186175, 176, 185syl2an 597 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
187 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (0...𝑛)) β†’ (π΄β€˜π‘š) = (π΄β€˜π‘š))
188 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
189188, 10eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
190 elfznn0 13591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (0...𝑛) β†’ π‘š ∈ β„•0)
191181, 190, 62syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (0...𝑛)) β†’ (π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
192187, 189, 191fsumser 15673 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)(π΄β€˜π‘š) = (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›))
193 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑛 β†’ (π΄β€˜π‘š) = (π΄β€˜π‘›))
194189, 191, 193fsumm1 15694 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)(π΄β€˜π‘š) = (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) + (π΄β€˜π‘›)))
195192, 194eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) = (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) + (π΄β€˜π‘›)))
196195oveq1d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š)) = ((Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) + (π΄β€˜π‘›)) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š)))
197183, 20pncan2d 11570 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) + (π΄β€˜π‘›)) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š)) = (π΄β€˜π‘›))
198196, 197eqtr2d 2774 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘›) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š)))
199198oveq1d 7421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š)) Β· (𝑋↑𝑛)))
20034, 183, 25subdird 11668 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š)) Β· (𝑋↑𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) βˆ’ (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (𝑋↑𝑛))))
201199, 200eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) βˆ’ (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (𝑋↑𝑛))))
20232, 179oveq12d 7424 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) βˆ’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›)) = (((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) βˆ’ (Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑛 βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (𝑋↑𝑛))))
203201, 18, 2023eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) βˆ’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›)))
204175, 176, 203syl2an 597 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›) βˆ’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘›)))
205174, 178, 186, 204sersub 14008 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜π‘–) = ((seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜π‘–) βˆ’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘š ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))(π΄β€˜π‘š) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))))β€˜π‘–)))
20610, 11, 45, 47, 168, 170, 172, 205climsub 15575 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ⇝ (Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) βˆ’ (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))))
207 1cnd 11206 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
208207, 23, 164subdird 11668 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ 𝑋) Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) = ((1 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) βˆ’ (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))))
209164mullidd 11229 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))
210209oveq1d 7421 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) βˆ’ (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) βˆ’ (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))))
211208, 210eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ 𝑋) Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) βˆ’ (𝑋 Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)))))
212206, 211breqtrrd 5176 . . 3 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ⇝ ((1 βˆ’ 𝑋) Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
21310, 11, 18, 26, 212isumclim 15700 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛)) = ((1 βˆ’ 𝑋) Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
2149, 213eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = ((1 βˆ’ 𝑋) Β· Σ𝑛 ∈ β„•0 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›) Β· (𝑋↑𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  ...cfz 13481  seqcseq 13963  β†‘cexp 14024   shift cshi 15010  abscabs 15178   ⇝ cli 15425  Ξ£csu 15629  ballcbl 20924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-xadd 13090  df-ico 13327  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932
This theorem is referenced by:  abelthlem7  25942
  Copyright terms: Public domain W3C validator