Theorem abelthlem6 26414

Description: Lemma for abelth 26419. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
abelth.7	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
abelthlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))

Assertion

Ref	Expression
abelthlem6	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑧,𝑀   𝑛,𝑋,𝑥,𝑧   𝐴,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem6

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelthlem6.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
2	1	eldifad 3915	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
3		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
4	3	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
5	4	sumeq2sdv 15638	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
6		abelth.6	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
7		sumex 15623	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6949	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
9	2, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
10		nn0uz 12801	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
11		0zd 12512	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑛))
13		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑛))
14	12, 13	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
16		ovex 7401	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
17	14, 15, 16	fvmpt 6949	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
19		abelth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
20	19	ffvelcdmda 7038	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
21		abelth.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
22	21	ssrab3 4036	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
23	22, 2	sselid 3933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
24		expcl 14014	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
25	23, 24	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
26	20, 25	mulcld 11164	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
27		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
28	27, 13	oveq12d 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
29		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
30		ovex 7401	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
31	28, 29, 30	fvmpt 6949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
32	31	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
33	10, 11, 20	serf 13965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
34	33	ffvelcdmda 7038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) ∈ ℂ)
35	34, 25	mulcld 11164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
36		abelth.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
37		abelth.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
38		abelth.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
39	19, 36, 37, 38, 21	abelthlem2 26410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
40	39	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
41	40, 1	sseldd 3936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
42		abelth.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
43	19, 36, 37, 38, 21, 6, 42	abelthlem5 26413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
44	41, 43	mpdan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
45	10, 11, 32, 35, 44	isumclim2 15693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
46		seqex 13938	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ V)
48		0nn0 12428	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
50		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 − 1) = (𝑖 − 1))
51	50	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑖 − 1)))
52	51	sumeq1d 15635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚))
53		oveq2 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑖))
54	52, 53	oveq12d 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)))
55		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))
56		ovex 7401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)) ∈ V
57	54, 55, 56	fvmpt 6949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)))
58	57	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)))
59		fzfid 13908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (0...(𝑖 − 1)) ∈ Fin)
60	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
61		elfznn0 13548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
62		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
63	60, 61, 62	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
64	59, 63	fsumcl 15668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
65		expcl 14014	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑖) ∈ ℂ)
66	23, 65	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑖) ∈ ℂ)
67	64, 66	mulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)) ∈ ℂ)
68	58, 67	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
69	11	peano2zd 12611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
70		nnuz 12802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
71		1e0p1 12661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (0 + 1)
72	71	fveq2i 6845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘(0 + 1))
73	70, 72	eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
74	73	eleq2i 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
75		nnm1nn0 12454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
77		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
78		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑(𝑛 − 1)))
79	77, 78	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
80	79	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
81		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))
82		ovex 7401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
83	80, 81, 82	fvmpt 6949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
84	76, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
85		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
86		nncn 12165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
88		nn0ex 12419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 ∈ V
89	88	mptex 7179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ V
90	89	shftval 15009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
91	85, 87, 90	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
92		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑚))
93	76, 10	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
94	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
95		elfznn0 13548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
96	94, 95, 62	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
97	92, 93, 96	fsumser 15665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
98		expm1t 14025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
99	23, 98	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
100	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℂ)
101		expcl 14014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
102	23, 75, 101	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
103	100, 102	mulcomd 11165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
104	99, 103	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑛) = (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
105	97, 104	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
106		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
107	106	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
108		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
109	108	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑛 − 1)))
110	109	sumeq1d 15635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚))
111	110, 13	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
112		ovex 7401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
113	111, 55, 112	fvmpt 6949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
114	107, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
115		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
116	33, 75, 115	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
117	100, 116, 102	mul12d 11354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
118	105, 114, 117	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
119	84, 91, 118	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛))
120	74, 119	sylan2br 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛))
121	69, 120	seqfeq 13962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))))
122		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑖))
123	122, 53	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)))
124		ovex 7401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)) ∈ V
125	123, 29, 124	fvmpt 6949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)))
126	125	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)))
127	33	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
128	127, 66	mulcld 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)) ∈ ℂ)
129	126, 128	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
130	123	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
131		ovex 7401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))) ∈ V
132	130, 81, 131	fvmpt 6949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
133	132	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
134	126	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
135	133, 134	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖)))
136	10, 11, 23, 45, 129, 135	isermulc2 15593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
137		0z 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
138		1z 12533	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
139	89	isershft 15599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
140	137, 138, 139	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
141	136, 140	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
142	121, 141	eqbrtrrd 5124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
143	10, 49, 68, 142	clim2ser2 15591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0)))
144		seq1 13949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0))
145	137, 144	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0)
146		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
147	146	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(0 − 1)))
148		risefall0lem 15961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0...(0 − 1)) = ∅
149	147, 148	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = ∅)
150	149	sumeq1d 15635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴‘𝑚))
151		sum0 15656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴‘𝑚) = 0
152	150, 151	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = 0)
153		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑0))
154	152, 153	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)) = (0 · (𝑋↑0)))
155		ovex 7401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 · (𝑋↑0)) ∈ V
156	154, 55, 155	fvmpt 6949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0)))
157	48, 156	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
158	145, 157	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
159		expcl 14014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
160	23, 48, 159	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
161	160	mul02d 11343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝑋↑0)) = 0)
162	158, 161	eqtrid 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = 0)
163	162	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0)) = ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + 0))
164	10, 11, 32, 35, 44	isumcl 15696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
165	23, 164	mulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
166	165	addridd 11345	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + 0) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
167	163, 166	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0)) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
168	143, 167	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
169	10, 11, 129	serf 13965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
170	169	ffvelcdmda 7038	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
171	10, 11, 68	serf 13965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
172	171	ffvelcdmda 7038	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
173		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
174	173, 10	eleqtrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
175		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝜑)
176		elfznn0 13548	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑖) → 𝑛 ∈ ℕ0)
177	32, 35	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
178	175, 176, 177	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
179	113	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
180		fzfid 13908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
181	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
182	181, 95, 62	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
183	180, 182	fsumcl 15668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
184	183, 25	mulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
185	179, 184	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
186	175, 176, 185	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
187		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑚))
188		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
189	188, 10	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
190		elfznn0 13548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (0...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ0)
191	181, 190, 62	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
192	187, 189, 191	fsumser 15665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴‘𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
193		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑛))
194	189, 191, 193	fsumm1 15686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴‘𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)))
195	192, 194	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)))
196	195	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) = ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)))
197	183, 20	pncan2d 11506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) = (𝐴‘𝑛))
198	196, 197	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)))
199	198	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) · (𝑋↑𝑛)))
200	34, 183, 25	subdird 11606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) · (𝑋↑𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛))))
201	199, 200	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛))))
202	32, 179	oveq12d 7386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛))))
203	201, 18, 202	3eqtr4d 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)))
204	175, 176, 203	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)))
205	174, 178, 186, 204	sersub 13980	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = ((seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖)))
206	10, 11, 45, 47, 168, 170, 172, 205	climsub 15569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
207		1cnd 11139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
208	207, 23, 164	subdird 11606	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
209	164	mullidd 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
210	209	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
211	208, 210	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
212	206, 211	breqtrrd 5128	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
213	10, 11, 18, 26, 212	isumclim 15692	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
214	9, 213	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  seqcseq 13936  ↑cexp 13996   shift cshi 15001  abscabs 15169   ⇝ cli 15419  Σcsu 15621  ballcbl 21308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-xadd 13039  df-ico 13279  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316

This theorem is referenced by:  abelthlem7  26416