MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem6 24495
Description: Lemma for abelth 24500. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
abelth.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
abelthlem6.1 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
Assertion
Ref Expression
abelthlem6 (𝜑 → (𝐹𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑧,𝑀   𝑛,𝑋,𝑥,𝑧   𝐴,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem6
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelthlem6.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
21eldifad 3746 . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
3 oveq1 6853 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑛) = (𝑋𝑛))
43oveq2d 6862 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
54sumeq2sdv 14734 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
6 abelth.6 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
7 sumex 14717 . . . 4 Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6475 . . 3 (𝑋𝑆 → (𝐹𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
92, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
10 nn0uz 11927 . . 3 0 = (ℤ‘0)
11 0zd 11640 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12 fveq2 6379 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑛))
13 oveq2 6854 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑛))
1412, 13oveq12d 6864 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
15 eqid 2765 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
16 ovex 6878 . . . . 5 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 6475 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
1817adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
19 abelth.1 . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2019ffvelrnda 6553 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
21 abelth.5 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
22 ssrab2 3849 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))} ⊆ ℂ
2321, 22eqsstri 3797 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ℂ
2423, 2sseldi 3761 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
25 expcl 13090 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑛) ∈ ℂ)
2624, 25sylan 575 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑛) ∈ ℂ)
2720, 26mulcld 10318 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
28 fveq2 6379 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
2928, 13oveq12d 6864 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
30 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))
31 ovex 6878 . . . . . . . 8 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ V
3229, 30, 31fvmpt 6475 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
3332adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
3410, 11, 20serf 13041 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
3534ffvelrnda 6553 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) ∈ ℂ)
3635, 26mulcld 10318 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
37 abelth.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
38 abelth.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
39 abelth.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
4019, 37, 38, 39, 21abelthlem2 24491 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
4140simprd 489 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
4241, 1sseldd 3764 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
43 abelth.7 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
4419, 37, 38, 39, 21, 6, 43abelthlem5 24494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
4542, 44mpdan 678 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
4610, 11, 33, 36, 45isumclim2 14788 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ⇝ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
47 seqex 13015 . . . . . 6 seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ V
4847a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ V)
49 0nn0 11559 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
5049a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
51 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 − 1) = (𝑖 − 1))
5251oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑖 − 1)))
5352sumeq1d 14730 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚))
54 oveq2 6854 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑖))
5553, 54oveq12d 6864 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)))
56 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))
57 ovex 6878 . . . . . . . . . 10 𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)) ∈ V
5855, 56, 57fvmpt 6475 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)))
5958adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)))
60 fzfid 12985 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (0...(𝑖 − 1)) ∈ Fin)
6119adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
62 elfznn0 12645 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
63 ffvelrn 6551 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
6461, 62, 63syl2an 589 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
6560, 64fsumcl 14763 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) ∈ ℂ)
66 expcl 13090 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
6724, 66sylan 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
6865, 67mulcld 10318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)) ∈ ℂ)
6959, 68eqeltrd 2844 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
7011peano2zd 11737 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
71 nnuz 11928 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
72 1e0p1 11788 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
7372fveq2i 6382 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
7471, 73eqtri 2787 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
7574eleq2i 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
76 nnm1nn0 11585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
7776adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
78 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑛 − 1) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
79 oveq2 6854 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋𝑘) = (𝑋↑(𝑛 − 1)))
8078, 79oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑛 − 1) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
8180oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
82 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))
83 ovex 6878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
8481, 82, 83fvmpt 6475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
8577, 84syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
86 ax-1cn 10251 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
87 nncn 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
8887adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
89 nn0ex 11549 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
9089mptex 6683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ V
9190shftval 14113 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
9286, 88, 91sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
93 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑚))
9477, 10syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ (ℤ‘0))
9519adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
96 elfznn0 12645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
9795, 96, 63syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
9893, 94, 97fsumser 14760 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
99 expm1t 13100 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
10024, 99sylan 575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
10124adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℂ)
102 expcl 13090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
10324, 76, 102syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
104101, 103mulcomd 10319 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
105100, 104eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋𝑛) = (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
10698, 105oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
107 nnnn0 11550 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
108107adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
109 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
110109oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑛 − 1)))
111110sumeq1d 14730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚))
112111, 13oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
113 ovex 6878 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)) ∈ V
114112, 56, 113fvmpt 6475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
115108, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
116 ffvelrn 6551 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
11734, 76, 116syl2an 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
118101, 117, 103mul12d 10503 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
119106, 115, 1183eqtr4d 2809 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
12085, 92, 1193eqtr4d 2809 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛))
12175, 120sylan2br 588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛))
12270, 121seqfeq 13038 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))))
123 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑖))
124123, 54oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
125 ovex 6878 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ V
126124, 30, 125fvmpt 6475 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
127126adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
12834ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
129128, 67mulcld 10318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ ℂ)
130127, 129eqeltrd 2844 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
131124oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
132 ovex 6878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) ∈ V
133131, 82, 132fvmpt 6475 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
134133adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
135127oveq2d 6862 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
136134, 135eqtr4d 2802 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)))
13710, 11, 24, 46, 130, 136isermulc2 14687 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
138 0z 11639 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
139 1z 11659 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
14090isershft 14693 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
141138, 139, 140mp2an 683 . . . . . . . . 9 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
142137, 141sylib 209 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
143122, 142eqbrtrrd 4835 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
14410, 50, 69, 143clim2ser2 14685 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))) ⇝ ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0)))
145 seq1 13026 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0))
146138, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0)
147 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
148147oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(0 − 1)))
149 0re 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
150 ltm1 11121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
151149, 150ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 − 1) < 0
152 peano2zm 11672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
153138, 152ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 − 1) ∈ ℤ
154 fzn 12569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅))
155138, 153, 154mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅)
156151, 155mpbi 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0...(0 − 1)) = ∅
157148, 156syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = ∅)
158157sumeq1d 14730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴𝑚))
159 sum0 14751 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴𝑚) = 0
160158, 159syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = 0)
161 oveq2 6854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑋𝑘) = (𝑋↑0))
162160, 161oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)) = (0 · (𝑋↑0)))
163 ovex 6878 . . . . . . . . . . . 12 (0 · (𝑋↑0)) ∈ V
164162, 56, 163fvmpt 6475 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0)))
16549, 164ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
166146, 165eqtri 2787 . . . . . . . . 9 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
167 expcl 13090 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
16824, 49, 167sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
169168mul02d 10492 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 · (𝑋↑0)) = 0)
170166, 169syl5eq 2811 . . . . . . . 8 (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = 0)
171170oveq2d 6862 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0)) = ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + 0))
17210, 11, 33, 36, 45isumcl 14791 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
17324, 172mulcld 10318 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ ℂ)
174173addid1d 10494 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + 0) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
175171, 174eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0)) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
176144, 175breqtrd 4837 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
17710, 11, 130serf 13041 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
178177ffvelrnda 6553 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
17910, 11, 69serf 13041 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
180179ffvelrnda 6553 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
181 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
182181, 10syl6eleq 2854 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ (ℤ‘0))
183 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝜑)
184 elfznn0 12645 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...𝑖) → 𝑛 ∈ ℕ0)
18533, 36eqeltrd 2844 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
186183, 184, 185syl2an 589 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
187114adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
188 fzfid 12985 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (0...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
18919adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
190189, 96, 63syl2an 589 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
191188, 190fsumcl 14763 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) ∈ ℂ)
192191, 26mulcld 10318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
193187, 192eqeltrd 2844 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
194183, 184, 193syl2an 589 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
195 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑚))
196 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
197196, 10syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ (ℤ‘0))
198 elfznn0 12645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (0...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ0)
199189, 198, 63syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
200195, 197, 199fsumser 14760 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
201 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑛))
202197, 199, 201fsumm1 14779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)))
203200, 202eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)))
204203oveq1d 6861 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) = ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)))
205191, 20pncan2d 10652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) = (𝐴𝑛))
206204, 205eqtr2d 2800 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)))
207206oveq1d 6861 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) · (𝑋𝑛)))
20835, 191, 26subdird 10745 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) · (𝑋𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛))))
209207, 208eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛))))
21033, 187oveq12d 6864 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛))))
211209, 18, 2103eqtr4d 2809 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛)))
212183, 184, 211syl2an 589 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛)))
213182, 186, 194, 212sersub 13056 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = ((seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘𝑖)))
21410, 11, 46, 48, 176, 178, 180, 213climsub 14663 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ⇝ (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
215 1cnd 10292 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
216215, 24, 172subdird 10745 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
217172mulid2d 10316 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
218217oveq1d 6861 . . . . 5 (𝜑 → ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
219216, 218eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
220214, 219breqtrrd 4839 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ⇝ ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
22110, 11, 18, 27, 220isumclim 14787 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
2229, 221eqtrd 2799 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  {crab 3059  Vcvv 3350  cdif 3731  wss 3734  c0 4081  {csn 4336   class class class wbr 4811  cmpt 4890  dom cdm 5279  ccom 5283  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198   < clt 10332  cle 10333  cmin 10524  cn 11278  0cn0 11542  cz 11628  cuz 11891  ...cfz 12538  seqcseq 13013  cexp 13072   shift cshi 14105  abscabs 14273  cli 14514  Σcsu 14715  ballcbl 20020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-rp 12034  df-xadd 12152  df-ico 12388  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-shft 14106  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-limsup 14501  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-sum 14716  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028
This theorem is referenced by:  abelthlem7  24497
  Copyright terms: Public domain W3C validator