MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem6 24410
Description: Lemma for abelth 24415. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
abelth.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
abelthlem6.1 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
Assertion
Ref Expression
abelthlem6 (𝜑 → (𝐹𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑧,𝑀   𝑛,𝑋,𝑥,𝑧   𝐴,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem6
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelthlem6.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
21eldifad 3735 . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
3 oveq1 6800 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑛) = (𝑋𝑛))
43oveq2d 6809 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
54sumeq2sdv 14643 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
6 abelth.6 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
7 sumex 14626 . . . 4 Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6424 . . 3 (𝑋𝑆 → (𝐹𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
92, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
10 nn0uz 11924 . . 3 0 = (ℤ‘0)
11 0zd 11591 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑛))
13 oveq2 6801 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑛))
1412, 13oveq12d 6811 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
15 eqid 2771 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
16 ovex 6823 . . . . 5 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 6424 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
1817adantl 467 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
19 abelth.1 . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2019ffvelrnda 6502 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
21 abelth.5 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
22 ssrab2 3836 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))} ⊆ ℂ
2321, 22eqsstri 3784 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ℂ
2423, 2sseldi 3750 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
25 expcl 13085 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑛) ∈ ℂ)
2624, 25sylan 561 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑛) ∈ ℂ)
2720, 26mulcld 10262 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
28 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
2928, 13oveq12d 6811 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
30 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))
31 ovex 6823 . . . . . . . 8 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ V
3229, 30, 31fvmpt 6424 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
3332adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
3410, 11, 20serf 13036 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
3534ffvelrnda 6502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) ∈ ℂ)
3635, 26mulcld 10262 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
37 abelth.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
38 abelth.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
39 abelth.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
4019, 37, 38, 39, 21abelthlem2 24406 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
4140simprd 477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
4241, 1sseldd 3753 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
43 abelth.7 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
4419, 37, 38, 39, 21, 6, 43abelthlem5 24409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
4542, 44mpdan 659 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
4610, 11, 33, 36, 45isumclim2 14697 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ⇝ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
47 seqex 13010 . . . . . 6 seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ V
4847a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ V)
49 0nn0 11509 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
5049a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
51 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 − 1) = (𝑖 − 1))
5251oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑖 − 1)))
5352sumeq1d 14639 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚))
54 oveq2 6801 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑖))
5553, 54oveq12d 6811 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)))
56 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))
57 ovex 6823 . . . . . . . . . 10 𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)) ∈ V
5855, 56, 57fvmpt 6424 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)))
5958adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)))
60 fzfid 12980 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (0...(𝑖 − 1)) ∈ Fin)
6119adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
62 elfznn0 12640 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
63 ffvelrn 6500 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
6461, 62, 63syl2an 575 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
6560, 64fsumcl 14672 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) ∈ ℂ)
66 expcl 13085 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
6724, 66sylan 561 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
6865, 67mulcld 10262 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)) ∈ ℂ)
6959, 68eqeltrd 2850 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
7011peano2zd 11687 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
71 nnuz 11925 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
72 1e0p1 11754 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
7372fveq2i 6335 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
7471, 73eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
7574eleq2i 2842 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
76 nnm1nn0 11536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
7776adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
78 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑛 − 1) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
79 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋𝑘) = (𝑋↑(𝑛 − 1)))
8078, 79oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑛 − 1) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
8180oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
82 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))
83 ovex 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
8481, 82, 83fvmpt 6424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
8577, 84syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
86 ax-1cn 10196 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
87 nncn 11230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
8887adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
89 nn0ex 11500 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
9089mptex 6630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ V
9190shftval 14022 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
9286, 88, 91sylancr 567 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
93 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑚))
9477, 10syl6eleq 2860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ (ℤ‘0))
9519adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
96 elfznn0 12640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
9795, 96, 63syl2an 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
9893, 94, 97fsumser 14669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
99 expm1t 13095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
10024, 99sylan 561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
10124adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℂ)
102 expcl 13085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
10324, 76, 102syl2an 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
104101, 103mulcomd 10263 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
105100, 104eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋𝑛) = (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
10698, 105oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
107 nnnn0 11501 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
108107adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
109 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
110109oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑛 − 1)))
111110sumeq1d 14639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚))
112111, 13oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
113 ovex 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)) ∈ V
114112, 56, 113fvmpt 6424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
115108, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
116 ffvelrn 6500 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
11734, 76, 116syl2an 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
118101, 117, 103mul12d 10447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
119106, 115, 1183eqtr4d 2815 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
12085, 92, 1193eqtr4d 2815 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛))
12175, 120sylan2br 574 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛))
12270, 121seqfeq 13033 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))))
123 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑖))
124123, 54oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
125 ovex 6823 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ V
126124, 30, 125fvmpt 6424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
127126adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
12834ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
129128, 67mulcld 10262 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ ℂ)
130127, 129eqeltrd 2850 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
131124oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
132 ovex 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) ∈ V
133131, 82, 132fvmpt 6424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
134133adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
135127oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
136134, 135eqtr4d 2808 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)))
13710, 11, 24, 46, 130, 136isermulc2 14596 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
138 0z 11590 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
139 1z 11609 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
14090isershft 14602 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
141138, 139, 140mp2an 664 . . . . . . . . 9 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
142137, 141sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
143122, 142eqbrtrrd 4810 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
14410, 50, 69, 143clim2ser2 14594 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))) ⇝ ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0)))
145 seq1 13021 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0))
146138, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0)
147 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
148147oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(0 − 1)))
149 0re 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
150 ltm1 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
151149, 150ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 − 1) < 0
152 peano2zm 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
153138, 152ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 − 1) ∈ ℤ
154 fzn 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅))
155138, 153, 154mp2an 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅)
156151, 155mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0...(0 − 1)) = ∅
157148, 156syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = ∅)
158157sumeq1d 14639 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴𝑚))
159 sum0 14660 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴𝑚) = 0
160158, 159syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = 0)
161 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑋𝑘) = (𝑋↑0))
162160, 161oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)) = (0 · (𝑋↑0)))
163 ovex 6823 . . . . . . . . . . . 12 (0 · (𝑋↑0)) ∈ V
164162, 56, 163fvmpt 6424 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0)))
16549, 164ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
166146, 165eqtri 2793 . . . . . . . . 9 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
167 expcl 13085 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
16824, 49, 167sylancl 566 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
169168mul02d 10436 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 · (𝑋↑0)) = 0)
170166, 169syl5eq 2817 . . . . . . . 8 (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = 0)
171170oveq2d 6809 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0)) = ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + 0))
17210, 11, 33, 36, 45isumcl 14700 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
17324, 172mulcld 10262 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ ℂ)
174173addid1d 10438 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + 0) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
175171, 174eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0)) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
176144, 175breqtrd 4812 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
17710, 11, 130serf 13036 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
178177ffvelrnda 6502 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
17910, 11, 69serf 13036 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
180179ffvelrnda 6502 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
181 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
182181, 10syl6eleq 2860 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ (ℤ‘0))
183 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝜑)
184 elfznn0 12640 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...𝑖) → 𝑛 ∈ ℕ0)
18533, 36eqeltrd 2850 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
186183, 184, 185syl2an 575 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
187114adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
188 fzfid 12980 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (0...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
18919adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
190189, 96, 63syl2an 575 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
191188, 190fsumcl 14672 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) ∈ ℂ)
192191, 26mulcld 10262 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
193187, 192eqeltrd 2850 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
194183, 184, 193syl2an 575 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
195 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑚))
196 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
197196, 10syl6eleq 2860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ (ℤ‘0))
198 elfznn0 12640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (0...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ0)
199189, 198, 63syl2an 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
200195, 197, 199fsumser 14669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
201 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑛))
202197, 199, 201fsumm1 14688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)))
203200, 202eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)))
204203oveq1d 6808 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) = ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)))
205191, 20pncan2d 10596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) = (𝐴𝑛))
206204, 205eqtr2d 2806 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)))
207206oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) · (𝑋𝑛)))
20835, 191, 26subdird 10689 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) · (𝑋𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛))))
209207, 208eqtrd 2805 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛))))
21033, 187oveq12d 6811 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛))))
211209, 18, 2103eqtr4d 2815 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛)))
212183, 184, 211syl2an 575 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛)))
213182, 186, 194, 212sersub 13051 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = ((seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘𝑖)))
21410, 11, 46, 48, 176, 178, 180, 213climsub 14572 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ⇝ (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
215 1cnd 10258 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
216215, 24, 172subdird 10689 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
217172mulid2d 10260 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
218217oveq1d 6808 . . . . 5 (𝜑 → ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
219216, 218eqtrd 2805 . . . 4 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
220214, 219breqtrrd 4814 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ⇝ ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
22110, 11, 18, 27, 220isumclim 14696 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
2229, 221eqtrd 2805 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351  cdif 3720  wss 3723  c0 4063  {csn 4316   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  ccom 5253  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533  seqcseq 13008  cexp 13067   shift cshi 14014  abscabs 14182  cli 14423  Σcsu 14624  ballcbl 19948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956
This theorem is referenced by:  abelthlem7  24412
  Copyright terms: Public domain W3C validator