Theorem isumshft 15724

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumshft.2	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
isumshft.3	⊢ (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
isumshft.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
isumshft.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumshft.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
isumshft	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑗,𝑘,𝐾   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑊,𝑘   𝐵,𝑗   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem isumshft

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		isumshft.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	zaddcld 12611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
4		isumshft.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
5	4	eleq2i 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑊 ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
6	2	zcnd 12608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
7		eluzelcn 12775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℂ)
8	7, 4	eleq2s 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑊 → 𝑚 ∈ ℂ)
9		isumshft.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	9	fvexi 6856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 ∈ V
11	10	mptex 7173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V
12	11	shftval 14959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)))
13	6, 8, 12	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)))
14		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
16	15	fvmpt2i 6958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ( I ‘𝐵))
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ( I ‘𝐵))
18		eluzelcn 12775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
19	18, 9	eleq2s 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℂ)
20		addcom 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
21	6, 19, 20	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑍)
23	22, 9	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24		eluzadd 12792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
25	23, 2, 24	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
26	21, 25	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
27	26, 4	eleqtrrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
28		isumshft.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
29		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)
30	28, 29	fvmpti 6947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ( I ‘𝐵))
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ( I ‘𝐵))
32	17, 31	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
33	32	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
34		nffvmpt1 6853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)
35	34	nfeq1 2922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))
36		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
37		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐾 + 𝑘) = (𝐾 + 𝑛))
38	37	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
39	36, 38	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
40	35, 39	rspc 3569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
41	33, 40	mpan9 507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
42	41	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
43	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
44	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
45		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝑚 ∈ 𝑊)
46	45, 4	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
47		eluzsub 12793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	43, 44, 46, 47	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49	48, 9	eleqtrrdi 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝑚 − 𝐾) ∈ 𝑍)
50		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)))
51		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → (𝐾 + 𝑛) = (𝐾 + (𝑚 − 𝐾)))
52	51	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))))
53	50, 52	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ↔ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾)))))
54	53	rspccva 3580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∧ (𝑚 − 𝐾) ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))))
55	42, 49, 54	syl2an2r 683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))))
56		pncan3 11409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝐾 + (𝑚 − 𝐾)) = 𝑚)
57	6, 8, 56	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝐾 + (𝑚 − 𝐾)) = 𝑚)
58	57	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚))
59	13, 55, 58	3eqtrrd 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
60	5, 59	sylan2br 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
61	3, 60	seqfeq 13933	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) = seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)))
62	61	breq1d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
63	11	isershft 15548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
64	1, 2, 63	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
65	62, 64	bitr4d 281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥))
66	65	iotabidv 6480	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥))
67		df-fv 6504	. . . 4 ⊢ ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))) = (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥)
68		df-fv 6504	. . . 4 ⊢ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥)
69	66, 67, 68	3eqtr4g 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))))
70		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚))
71		isumshft.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
72	71	fmpttd 7063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴):𝑊⟶ℂ)
73	72	ffvelcdmda 7035	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
74	4, 3, 70, 73	isum 15604	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))))
75		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
76	27	ralrimiva 3143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
77	37	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 ↔ (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊))
78	77	rspccva 3580	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
79	76, 78	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
80		ffvelcdm 7032	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴):𝑊⟶ℂ ∧ (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∈ ℂ)
81	72, 79, 80	syl2an2r 683	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∈ ℂ)
82	41, 81	eqeltrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) ∈ ℂ)
83	9, 1, 75, 82	isum 15604	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))))
84	69, 74, 83	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
85		sumfc 15594	. 2 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴
86		sumfc 15594	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵
87	84, 85, 86	3eqtr3g 2799	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   I cid 5530  ℩cio 6446  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049   + caddc 11054   − cmin 11385  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  seqcseq 13906   shift cshi 14951   ⇝ cli 15366  Σcsu 15570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571

This theorem is referenced by:  eftlub  15991  pserdv2  25789  logtayl  26015  binomcxplemnotnn0  42626