Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumshft 15189
 Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumshft.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumshft.2 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
isumshft.3 (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
isumshft.4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
isumshft.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumshft.6 ((𝜑𝑗𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
isumshft (𝜑 → Σ𝑗𝑊 𝐴 = Σ𝑘𝑍 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑗,𝑘,𝐾   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑊,𝑘   𝐵,𝑗   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem isumshft
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumshft.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 isumshft.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
31, 2zaddcld 12083 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
4 isumshft.2 . . . . . . . . . 10 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
54eleq2i 2884 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑊𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
62zcnd 12080 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
7 eluzelcn 12247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℂ)
87, 4eleq2s 2911 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝑊𝑚 ∈ ℂ)
9 isumshft.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤ𝑀)
109fvexi 6663 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
1110mptex 6967 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍𝐵) ∈ V
1211shftval 14428 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)))
136, 8, 12syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑊) → (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)))
14 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
15 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵)
1615fvmpt2i 6759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ( I ‘𝐵))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ( I ‘𝐵))
18 eluzelcn 12247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
1918, 9eleq2s 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
20 addcom 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
216, 19, 20syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘𝑍𝑘𝑍)
2322, 9eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
24 eluzadd 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
2523, 2, 24syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
2621, 25eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
2726, 4eleqtrrdi 2904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
28 isumshft.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
29 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗𝑊𝐴) = (𝑗𝑊𝐴)
3028, 29fvmpti 6748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ( I ‘𝐵))
3127, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ( I ‘𝐵))
3217, 31eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
3332ralrimiva 3152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
34 nffvmpt1 6660 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛)
3534nfeq1 2973 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))
36 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛))
37 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (𝐾 + 𝑘) = (𝐾 + 𝑛))
3837fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
3936, 38eqeq12d 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) ↔ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
4035, 39rspc 3562 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 → (∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
4133, 40mpan9 510 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
4241ralrimiva 3152 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
431adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
442adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
45 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝑚𝑊)
4645, 4eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
47 eluzsub 12266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
4843, 44, 46, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝑚𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
4948, 9eleqtrrdi 2904 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝑚𝐾) ∈ 𝑍)
50 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚𝐾) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)))
51 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚𝐾) → (𝐾 + 𝑛) = (𝐾 + (𝑚𝐾)))
5251fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚𝐾) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))))
5350, 52eqeq12d 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚𝐾) → (((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ↔ ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾)))))
5453rspccva 3573 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∧ (𝑚𝐾) ∈ 𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))))
5542, 49, 54syl2an2r 684 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))))
56 pncan3 10887 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝐾 + (𝑚𝐾)) = 𝑚)
576, 8, 56syl2an 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐾 + (𝑚𝐾)) = 𝑚)
5857fveq2d 6653 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))) = ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚))
5913, 55, 583eqtrrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
605, 59sylan2br 597 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
613, 60seqfeq 13395 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) = seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)))
6261breq1d 5043 . . . . . 6 (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
6311isershft 15015 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
641, 2, 63syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
6562, 64bitr4d 285 . . . . 5 (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥))
6665iotabidv 6312 . . . 4 (𝜑 → (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥))
67 df-fv 6336 . . . 4 ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴))) = (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥)
68 df-fv 6336 . . . 4 ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵))) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥)
6966, 67, 683eqtr4g 2861 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴))) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵))))
70 eqidd 2802 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚))
71 isumshft.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
7271fmpttd 6860 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗𝑊𝐴):𝑊⟶ℂ)
7372ffvelrnda 6832 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
744, 3, 70, 73isum 15071 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚𝑊 ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴))))
75 eqidd 2802 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛))
7627ralrimiva 3152 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
7737eleq1d 2877 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 ↔ (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊))
7877rspccva 3573 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊𝑛𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
7976, 78sylan 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
80 ffvelrn 6830 . . . . . 6 (((𝑗𝑊𝐴):𝑊⟶ℂ ∧ (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∈ ℂ)
8172, 79, 80syl2an2r 684 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∈ ℂ)
8241, 81eqeltrd 2893 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) ∈ ℂ)
839, 1, 75, 82isum 15071 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵))))
8469, 74, 833eqtr4d 2846 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝑊 ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = Σ𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛))
85 sumfc 15061 . 2 Σ𝑚𝑊 ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = Σ𝑗𝑊 𝐴
86 sumfc 15061 . 2 Σ𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = Σ𝑘𝑍 𝐵
8784, 85, 863eqtr3g 2859 1 (𝜑 → Σ𝑗𝑊 𝐴 = Σ𝑘𝑍 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   I cid 5427  ℩cio 6285  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528   + caddc 10533   − cmin 10863  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  seqcseq 13368   shift cshi 14420   ⇝ cli 14836  Σcsu 15037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038 This theorem is referenced by:  eftlub  15457  pserdv2  25028  logtayl  25254  binomcxplemnotnn0  41047
 Copyright terms: Public domain W3C validator