Theorem isumshft 15366

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumshft.2	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
isumshft.3	⊢ (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
isumshft.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
isumshft.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumshft.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
isumshft	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑗,𝑘,𝐾   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑊,𝑘   𝐵,𝑗   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem isumshft

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		isumshft.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	zaddcld 12251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
4		isumshft.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
5	4	eleq2i 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑊 ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
6	2	zcnd 12248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
7		eluzelcn 12415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℂ)
8	7, 4	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑊 → 𝑚 ∈ ℂ)
9		isumshft.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	9	fvexi 6709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 ∈ V
11	10	mptex 7017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V
12	11	shftval 14602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)))
13	6, 8, 12	syl2an 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)))
14		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
16	15	fvmpt2i 6806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ( I ‘𝐵))
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ( I ‘𝐵))
18		eluzelcn 12415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
19	18, 9	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℂ)
20		addcom 10983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
21	6, 19, 20	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑍)
23	22, 9	eleqtrdi 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24		eluzadd 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
25	23, 2, 24	syl2anr 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
26	21, 25	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
27	26, 4	eleqtrrdi 2842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
28		isumshft.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
29		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)
30	28, 29	fvmpti 6795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ( I ‘𝐵))
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ( I ‘𝐵))
32	17, 31	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
33	32	ralrimiva 3095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
34		nffvmpt1 6706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)
35	34	nfeq1 2912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))
36		fveq2 6695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
37		oveq2 7199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐾 + 𝑘) = (𝐾 + 𝑛))
38	37	fveq2d 6699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
39	36, 38	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
40	35, 39	rspc 3515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
41	33, 40	mpan9 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
42	41	ralrimiva 3095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
43	1	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
44	2	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
45		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝑚 ∈ 𝑊)
46	45, 4	eleqtrdi 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
47		eluzsub 12435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	43, 44, 46, 47	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49	48, 9	eleqtrrdi 2842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝑚 − 𝐾) ∈ 𝑍)
50		fveq2 6695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)))
51		oveq2 7199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → (𝐾 + 𝑛) = (𝐾 + (𝑚 − 𝐾)))
52	51	fveq2d 6699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))))
53	50, 52	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ↔ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾)))))
54	53	rspccva 3526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∧ (𝑚 − 𝐾) ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))))
55	42, 49, 54	syl2an2r 685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))))
56		pncan3 11051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝐾 + (𝑚 − 𝐾)) = 𝑚)
57	6, 8, 56	syl2an 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝐾 + (𝑚 − 𝐾)) = 𝑚)
58	57	fveq2d 6699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚))
59	13, 55, 58	3eqtrrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
60	5, 59	sylan2br 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
61	3, 60	seqfeq 13566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) = seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)))
62	61	breq1d 5049	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
63	11	isershft 15192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
64	1, 2, 63	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
65	62, 64	bitr4d 285	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥))
66	65	iotabidv 6342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥))
67		df-fv 6366	. . . 4 ⊢ ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))) = (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥)
68		df-fv 6366	. . . 4 ⊢ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥)
69	66, 67, 68	3eqtr4g 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))))
70		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚))
71		isumshft.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
72	71	fmpttd 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴):𝑊⟶ℂ)
73	72	ffvelrnda 6882	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
74	4, 3, 70, 73	isum 15248	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))))
75		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
76	27	ralrimiva 3095	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
77	37	eleq1d 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 ↔ (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊))
78	77	rspccva 3526	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
79	76, 78	sylan 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
80		ffvelrn 6880	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴):𝑊⟶ℂ ∧ (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∈ ℂ)
81	72, 79, 80	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∈ ℂ)
82	41, 81	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) ∈ ℂ)
83	9, 1, 75, 82	isum 15248	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))))
84	69, 74, 83	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
85		sumfc 15238	. 2 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴
86		sumfc 15238	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵
87	84, 85, 86	3eqtr3g 2794	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051   class class class wbr 5039   ↦ cmpt 5120   I cid 5439  ℩cio 6314  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℂcc 10692   + caddc 10697   − cmin 11027  ℤcz 12141  ℤ_≥cuz 12403  seqcseq 13539   shift cshi 14594   ⇝ cli 15010  Σcsu 15214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-seq 13540  df-exp 13601  df-hash 13862  df-shft 14595  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-clim 15014  df-sum 15215

This theorem is referenced by:  eftlub  15633  pserdv2  25276  logtayl  25502  binomcxplemnotnn0  41588