MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumshft 15791
Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumshft.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isumshft.2 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))
isumshft.3 (𝑗 = (𝐾 + π‘˜) β†’ 𝐴 = 𝐡)
isumshft.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
isumshft.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
isumshft.6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
isumshft (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ π‘Š 𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝑗,π‘˜,𝐾   πœ‘,𝑗,π‘˜   𝑗,π‘Š,π‘˜   𝐡,𝑗   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐡(π‘˜)   𝑀(𝑗,π‘˜)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem isumshft
Dummy variables π‘š 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumshft.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 isumshft.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
31, 2zaddcld 12674 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„€)
4 isumshft.2 . . . . . . . . . 10 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))
54eleq2i 2819 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ π‘Š ↔ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
62zcnd 12671 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
7 eluzelcn 12838 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)) β†’ π‘š ∈ β„‚)
87, 4eleq2s 2845 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ π‘Š β†’ π‘š ∈ β„‚)
9 isumshft.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
109fvexi 6899 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
1110mptex 7220 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ V
1211shftval 15027 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)))
136, 8, 12syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)))
14 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
15 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
1615fvmpt2i 7002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ( I β€˜π΅))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ( I β€˜π΅))
18 eluzelcn 12838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
1918, 9eleq2s 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
20 addcom 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ (𝐾 + π‘˜) = (π‘˜ + 𝐾))
216, 19, 20syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + π‘˜) = (π‘˜ + 𝐾))
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2322, 9eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
24 eluzadd 12855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ + 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
2523, 2, 24syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ + 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
2621, 25eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
2726, 4eleqtrrdi 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + π‘˜) ∈ π‘Š)
28 isumshft.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝐾 + π‘˜) β†’ 𝐴 = 𝐡)
29 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)
3028, 29fvmpti 6991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 + π‘˜) ∈ π‘Š β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)) = ( I β€˜π΅))
3127, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)) = ( I β€˜π΅))
3217, 31eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)))
3332ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)))
34 nffvmpt1 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)
3534nfeq1 2912 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛))
36 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
37 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (𝐾 + π‘˜) = (𝐾 + 𝑛))
3837fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)))
3936, 38eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛))))
4035, 39rspc 3594 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛))))
4133, 40mpan9 506 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)))
4241ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)))
431adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
442adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
45 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ π‘š ∈ π‘Š)
4645, 4eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
47 eluzsub 12856 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))) β†’ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4843, 44, 46, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4948, 9eleqtrrdi 2838 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑍)
50 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (π‘š βˆ’ 𝐾) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)))
51 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (π‘š βˆ’ 𝐾) β†’ (𝐾 + 𝑛) = (𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾)))
5251fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (π‘š βˆ’ 𝐾) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾))))
5350, 52eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (π‘š βˆ’ 𝐾) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾)))))
5453rspccva 3605 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)) ∧ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾))))
5542, 49, 54syl2an2r 682 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾))))
56 pncan3 11472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾)) = π‘š)
576, 8, 56syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ (𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾)) = π‘š)
5857fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾))) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
5913, 55, 583eqtrrd 2771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)β€˜π‘š))
605, 59sylan2br 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)β€˜π‘š))
613, 60seqfeq 13998 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)) = seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)))
6261breq1d 5151 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯ ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)) ⇝ π‘₯))
6311isershft 15616 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ⇝ π‘₯ ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)) ⇝ π‘₯))
641, 2, 63syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ⇝ π‘₯ ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)) ⇝ π‘₯))
6562, 64bitr4d 282 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯ ↔ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ⇝ π‘₯))
6665iotabidv 6521 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„©π‘₯seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯) = (β„©π‘₯seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ⇝ π‘₯))
67 df-fv 6545 . . . 4 ( ⇝ β€˜seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))) = (β„©π‘₯seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯)
68 df-fv 6545 . . . 4 ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))) = (β„©π‘₯seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ⇝ π‘₯)
6966, 67, 683eqtr4g 2791 . . 3 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))))
70 eqidd 2727 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
71 isumshft.6 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7271fmpttd 7110 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴):π‘ŠβŸΆβ„‚)
7372ffvelcdmda 7080 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
744, 3, 70, 73isum 15671 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ π‘Š ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))))
75 eqidd 2727 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
7627ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐾 + π‘˜) ∈ π‘Š)
7737eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((𝐾 + π‘˜) ∈ π‘Š ↔ (𝐾 + 𝑛) ∈ π‘Š))
7877rspccva 3605 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐾 + π‘˜) ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + 𝑛) ∈ π‘Š)
7976, 78sylan 579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + 𝑛) ∈ π‘Š)
80 ffvelcdm 7077 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴):π‘ŠβŸΆβ„‚ ∧ (𝐾 + 𝑛) ∈ π‘Š) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)) ∈ β„‚)
8172, 79, 80syl2an2r 682 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)) ∈ β„‚)
8241, 81eqeltrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
839, 1, 75, 82isum 15671 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))))
8469, 74, 833eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ π‘Š ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
85 sumfc 15661 . 2 Ξ£π‘š ∈ π‘Š ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Σ𝑗 ∈ π‘Š 𝐴
86 sumfc 15661 . 2 Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡
8784, 85, 863eqtr3g 2789 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ π‘Š 𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   I cid 5566  β„©cio 6487  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  seqcseq 13972   shift cshi 15019   ⇝ cli 15434  Ξ£csu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  eftlub  16059  pserdv2  26322  logtayl  26549  binomcxplemnotnn0  43691
  Copyright terms: Public domain W3C validator