MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumshft 15817
Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumshft.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isumshft.2 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))
isumshft.3 (𝑗 = (𝐾 + π‘˜) β†’ 𝐴 = 𝐡)
isumshft.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
isumshft.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
isumshft.6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
isumshft (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ π‘Š 𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝑗,π‘˜,𝐾   πœ‘,𝑗,π‘˜   𝑗,π‘Š,π‘˜   𝐡,𝑗   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐡(π‘˜)   𝑀(𝑗,π‘˜)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem isumshft
Dummy variables π‘š 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumshft.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 isumshft.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
31, 2zaddcld 12700 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„€)
4 isumshft.2 . . . . . . . . . 10 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))
54eleq2i 2817 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ π‘Š ↔ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
62zcnd 12697 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
7 eluzelcn 12864 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)) β†’ π‘š ∈ β„‚)
87, 4eleq2s 2843 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ π‘Š β†’ π‘š ∈ β„‚)
9 isumshft.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
109fvexi 6906 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
1110mptex 7231 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ V
1211shftval 15053 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)))
136, 8, 12syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)))
14 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
15 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
1615fvmpt2i 7010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ( I β€˜π΅))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ( I β€˜π΅))
18 eluzelcn 12864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
1918, 9eleq2s 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
20 addcom 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ (𝐾 + π‘˜) = (π‘˜ + 𝐾))
216, 19, 20syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + π‘˜) = (π‘˜ + 𝐾))
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2322, 9eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
24 eluzadd 12881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ + 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
2523, 2, 24syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ + 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
2621, 25eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
2726, 4eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + π‘˜) ∈ π‘Š)
28 isumshft.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝐾 + π‘˜) β†’ 𝐴 = 𝐡)
29 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)
3028, 29fvmpti 6999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 + π‘˜) ∈ π‘Š β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)) = ( I β€˜π΅))
3127, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)) = ( I β€˜π΅))
3217, 31eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)))
3332ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)))
34 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)
3534nfeq1 2908 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛))
36 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
37 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (𝐾 + π‘˜) = (𝐾 + 𝑛))
3837fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)))
3936, 38eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛))))
4035, 39rspc 3589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + π‘˜)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛))))
4133, 40mpan9 505 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)))
4241ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)))
431adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
442adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
45 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ π‘š ∈ π‘Š)
4645, 4eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
47 eluzsub 12882 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))) β†’ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4843, 44, 46, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4948, 9eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑍)
50 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (π‘š βˆ’ 𝐾) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)))
51 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (π‘š βˆ’ 𝐾) β†’ (𝐾 + 𝑛) = (𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾)))
5251fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (π‘š βˆ’ 𝐾) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾))))
5350, 52eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (π‘š βˆ’ 𝐾) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾)))))
5453rspccva 3600 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)) ∧ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾))))
5542, 49, 54syl2an2r 683 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜(π‘š βˆ’ 𝐾)) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾))))
56 pncan3 11498 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾)) = π‘š)
576, 8, 56syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ (𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾)) = π‘š)
5857fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + (π‘š βˆ’ 𝐾))) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
5913, 55, 583eqtrrd 2770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)β€˜π‘š))
605, 59sylan2br 593 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)β€˜π‘š))
613, 60seqfeq 14024 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)) = seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)))
6261breq1d 5153 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯ ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)) ⇝ π‘₯))
6311isershft 15642 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ⇝ π‘₯ ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)) ⇝ π‘₯))
641, 2, 63syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ⇝ π‘₯ ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) shift 𝐾)) ⇝ π‘₯))
6562, 64bitr4d 281 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯ ↔ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ⇝ π‘₯))
6665iotabidv 6527 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„©π‘₯seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯) = (β„©π‘₯seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ⇝ π‘₯))
67 df-fv 6551 . . . 4 ( ⇝ β€˜seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))) = (β„©π‘₯seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯)
68 df-fv 6551 . . . 4 ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))) = (β„©π‘₯seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ⇝ π‘₯)
6966, 67, 683eqtr4g 2790 . . 3 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))))
70 eqidd 2726 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
71 isumshft.6 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7271fmpttd 7120 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴):π‘ŠβŸΆβ„‚)
7372ffvelcdmda 7089 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
744, 3, 70, 73isum 15697 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ π‘Š ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))))
75 eqidd 2726 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
7627ralrimiva 3136 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐾 + π‘˜) ∈ π‘Š)
7737eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((𝐾 + π‘˜) ∈ π‘Š ↔ (𝐾 + 𝑛) ∈ π‘Š))
7877rspccva 3600 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝐾 + π‘˜) ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + 𝑛) ∈ π‘Š)
7976, 78sylan 578 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 + 𝑛) ∈ π‘Š)
80 ffvelcdm 7086 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴):π‘ŠβŸΆβ„‚ ∧ (𝐾 + 𝑛) ∈ π‘Š) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)) ∈ β„‚)
8172, 79, 80syl2an2r 683 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜(𝐾 + 𝑛)) ∈ β„‚)
8241, 81eqeltrd 2825 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
839, 1, 75, 82isum 15697 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))))
8469, 74, 833eqtr4d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ π‘Š ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
85 sumfc 15687 . 2 Ξ£π‘š ∈ π‘Š ((𝑗 ∈ π‘Š ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Σ𝑗 ∈ π‘Š 𝐴
86 sumfc 15687 . 2 Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡
8784, 85, 863eqtr3g 2788 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ π‘Š 𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   I cid 5569  β„©cio 6493  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136   + caddc 11141   βˆ’ cmin 11474  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  seqcseq 13998   shift cshi 15045   ⇝ cli 15460  Ξ£csu 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665
This theorem is referenced by:  eftlub  16085  pserdv2  26385  logtayl  26612  binomcxplemnotnn0  43858
  Copyright terms: Public domain W3C validator