Theorem isumshft 15812

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumshft.2	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
isumshft.3	⊢ (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
isumshft.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
isumshft.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumshft.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
isumshft	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑗,𝑘,𝐾   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑊,𝑘   𝐵,𝑗   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem isumshft

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		isumshft.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	zaddcld 12649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
4		isumshft.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
5	4	eleq2i 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑊 ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
6	2	zcnd 12646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
7		eluzelcn 12812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℂ)
8	7, 4	eleq2s 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑊 → 𝑚 ∈ ℂ)
9		isumshft.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	9	fvexi 6875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 ∈ V
11	10	mptex 7200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V
12	11	shftval 15047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)))
13	6, 8, 12	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)))
14		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
16	15	fvmpt2i 6981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ( I ‘𝐵))
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ( I ‘𝐵))
18		eluzelcn 12812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
19	18, 9	eleq2s 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℂ)
20		addcom 11367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
21	6, 19, 20	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑍)
23	22, 9	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24		eluzadd 12829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
25	23, 2, 24	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
26	21, 25	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
27	26, 4	eleqtrrdi 2840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
28		isumshft.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
29		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)
30	28, 29	fvmpti 6970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ( I ‘𝐵))
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ( I ‘𝐵))
32	17, 31	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
33	32	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
34		nffvmpt1 6872	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)
35	34	nfeq1 2908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))
36		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
37		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐾 + 𝑘) = (𝐾 + 𝑛))
38	37	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
39	36, 38	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
40	35, 39	rspc 3579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
41	33, 40	mpan9 506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
42	41	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
43	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
44	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
45		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝑚 ∈ 𝑊)
46	45, 4	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
47		eluzsub 12830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	43, 44, 46, 47	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49	48, 9	eleqtrrdi 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝑚 − 𝐾) ∈ 𝑍)
50		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)))
51		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → (𝐾 + 𝑛) = (𝐾 + (𝑚 − 𝐾)))
52	51	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))))
53	50, 52	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 𝐾) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ↔ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾)))))
54	53	rspccva 3590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∧ (𝑚 − 𝐾) ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))))
55	42, 49, 54	syl2an2r 685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(𝑚 − 𝐾)) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))))
56		pncan3 11436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝐾 + (𝑚 − 𝐾)) = 𝑚)
57	6, 8, 56	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → (𝐾 + (𝑚 − 𝐾)) = 𝑚)
58	57	fveq2d 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + (𝑚 − 𝐾))) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚))
59	13, 55, 58	3eqtrrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
60	5, 59	sylan2br 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
61	3, 60	seqfeq 13999	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) = seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)))
62	61	breq1d 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
63	11	isershft 15637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
64	1, 2, 63	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
65	62, 64	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥))
66	65	iotabidv 6498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥))
67		df-fv 6522	. . . 4 ⊢ ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))) = (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥)
68		df-fv 6522	. . . 4 ⊢ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ⇝ 𝑥)
69	66, 67, 68	3eqtr4g 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))))
70		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚))
71		isumshft.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
72	71	fmpttd 7090	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴):𝑊⟶ℂ)
73	72	ffvelcdmda 7059	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
74	4, 3, 70, 73	isum 15692	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴))))
75		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
76	27	ralrimiva 3126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
77	37	eleq1d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 ↔ (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊))
78	77	rspccva 3590	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
79	76, 78	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
80		ffvelcdm 7056	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴):𝑊⟶ℂ ∧ (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∈ ℂ)
81	72, 79, 80	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∈ ℂ)
82	41, 81	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) ∈ ℂ)
83	9, 1, 75, 82	isum 15692	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))))
84	69, 74, 83	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
85		sumfc 15682	. 2 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝑊 ((𝑗 ∈ 𝑊 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴
86		sumfc 15682	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵
87	84, 85, 86	3eqtr3g 2788	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑊 𝐴 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191   I cid 5535  ℩cio 6465  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   + caddc 11078   − cmin 11412  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  seqcseq 13973   shift cshi 15039   ⇝ cli 15457  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  eftlub  16084  pserdv2  26347  logtayl  26576  binomcxplemnotnn0  44352