Theorem uzmptshftfval 41050

Description: When 𝐹 is a maps-to function on some set of upper integers 𝑍 that returns a set 𝐵, (𝐹 shift 𝑁) is another maps-to function on the shifted set of upper integers 𝑊. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzmptshftfval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
uzmptshftfval.b	⊢ 𝐵 ∈ V
uzmptshftfval.c	⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
uzmptshftfval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzmptshftfval.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
uzmptshftfval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzmptshftfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
uzmptshftfval	⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝑍,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝑀   𝑦,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem uzmptshftfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzmptshftfval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		uzmptshftfval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fnmpti 6463	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Fn 𝑍
4		uzmptshftfval.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6		uzmptshftfval.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7	6	fvexi 6659	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	7	mptex 6963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V
9	2, 8	eqeltri 2886	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
10	9	shftfn 14424	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍})
11	3, 5, 10	sylancr 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍})
12		uzmptshftfval.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		shftuz 14420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
14	4, 12, 13	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
15	6	eleq2i 2881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍 ↔ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16	15	rabbii 3420	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀)}
17		uzmptshftfval.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
18	14, 16, 17	3eqtr4g 2858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍} = 𝑊)
19	18	fneq2d 6417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍} ↔ (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊))
20	11, 19	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊)
21		dffn5 6699	. . 3 ⊢ ((𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊 ↔ (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
22	20, 21	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
23		uzssz 12252	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)) ⊆ ℤ
24	17, 23	eqsstri 3949	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ ℤ
25		zsscn 11977	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
26	24, 25	sstri 3924	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ⊆ ℂ
27	26	sseli 3911	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → 𝑦 ∈ ℂ)
28	9	shftval 14425	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
29	5, 27, 28	syl2an 598	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
30	17	eleq2i 2881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
31	12, 4	jca 515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32		eluzsub 12262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33	32	3expa 1115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	31, 33	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35	30, 34	sylan2b 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 6	eleqtrrdi 2901	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍)
37		uzmptshftfval.c	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
38	37, 2, 1	fvmpt3i 6750	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍 → (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)) = 𝐶)
39	36, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)) = 𝐶)
40	29, 39	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = 𝐶)
41	40	mpteq2dva 5125	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ 𝐶))
42	22, 41	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5110   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   + caddc 10529   − cmin 10859  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231   shift cshi 14417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-shft 14418

This theorem is referenced by:  dvradcnv2  41051  binomcxplemnotnn0  41060