Theorem uzmptshftfval 44597

Description: When 𝐹 is a maps-to function on some set of upper integers 𝑍 that returns a set 𝐵, (𝐹 shift 𝑁) is another maps-to function on the shifted set of upper integers 𝑊. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzmptshftfval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
uzmptshftfval.b	⊢ 𝐵 ∈ V
uzmptshftfval.c	⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
uzmptshftfval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzmptshftfval.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
uzmptshftfval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzmptshftfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
uzmptshftfval	⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝑍,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝑀   𝑦,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem uzmptshftfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzmptshftfval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		uzmptshftfval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fnmpti 6635	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Fn 𝑍
4		uzmptshftfval.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6		uzmptshftfval.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7	6	fvexi 6848	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	7	mptex 7169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V
9	2, 8	eqeltri 2832	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
10	9	shftfn 14996	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍})
11	3, 5, 10	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍})
12		uzmptshftfval.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		shftuz 14992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
14	4, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
15	6	eleq2i 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍 ↔ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16	15	rabbii 3404	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀)}
17		uzmptshftfval.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
18	14, 16, 17	3eqtr4g 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍} = 𝑊)
19	18	fneq2d 6586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍} ↔ (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊))
20	11, 19	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊)
21		dffn5 6892	. . 3 ⊢ ((𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊 ↔ (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
22	20, 21	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
23		uzssz 12772	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)) ⊆ ℤ
24	17, 23	eqsstri 3980	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ ℤ
25		zsscn 12496	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
26	24, 25	sstri 3943	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ⊆ ℂ
27	26	sseli 3929	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → 𝑦 ∈ ℂ)
28	9	shftval 14997	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
29	5, 27, 28	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
30	17	eleq2i 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
31	12, 4	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32		eluzsub 12781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33	32	3expa 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	31, 33	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35	30, 34	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 6	eleqtrrdi 2847	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍)
37		uzmptshftfval.c	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
38	37, 2, 1	fvmpt3i 6946	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍 → (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)) = 𝐶)
39	36, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)) = 𝐶)
40	29, 39	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = 𝐶)
41	40	mpteq2dva 5191	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ 𝐶))
42	22, 41	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440   ↦ cmpt 5179   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   − cmin 11364  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751   shift cshi 14989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-shft 14990

This theorem is referenced by:  dvradcnv2  44598  binomcxplemnotnn0  44607