Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzmptshftfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzmptshftfval 40663
 Description: When 𝐹 is a maps-to function on some set of upper integers 𝑍 that returns a set 𝐵, (𝐹 shift 𝑁) is another maps-to function on the shifted set of upper integers 𝑊. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uzmptshftfval.f 𝐹 = (𝑥𝑍𝐵)
uzmptshftfval.b 𝐵 ∈ V
uzmptshftfval.c (𝑥 = (𝑦𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
uzmptshftfval.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzmptshftfval.w 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
uzmptshftfval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzmptshftfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
uzmptshftfval (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝑍,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝑀   𝑦,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem uzmptshftfval
StepHypRef Expression
1 uzmptshftfval.b . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2 uzmptshftfval.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑍𝐵)
31, 2fnmpti 6484 . . . . 5 𝐹 Fn 𝑍
4 uzmptshftfval.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54zcnd 12080 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6 uzmptshftfval.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
76fvexi 6677 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V
87mptex 6978 . . . . . . 7 (𝑥𝑍𝐵) ∈ V
92, 8eqeltri 2907 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
109shftfn 14424 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑍𝑁 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍})
113, 5, 10sylancr 589 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍})
12 uzmptshftfval.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 shftuz 14420 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)} = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
144, 12, 13syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)} = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
156eleq2i 2902 . . . . . . 7 ((𝑦𝑁) ∈ 𝑍 ↔ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
1615rabbii 3472 . . . . . 6 {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)}
17 uzmptshftfval.w . . . . . 6 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
1814, 16, 173eqtr4g 2879 . . . . 5 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍} = 𝑊)
1918fneq2d 6440 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍} ↔ (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊))
2011, 19mpbid 234 . . 3 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊)
21 dffn5 6717 . . 3 ((𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊 ↔ (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
2220, 21sylib 220 . 2 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
23 uzssz 12256 . . . . . . . 8 (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)) ⊆ ℤ
2417, 23eqsstri 3999 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ ℤ
25 zsscn 11981 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
2624, 25sstri 3974 . . . . . 6 𝑊 ⊆ ℂ
2726sseli 3961 . . . . 5 (𝑦𝑊𝑦 ∈ ℂ)
289shftval 14425 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
295, 27, 28syl2an 597 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
3017eleq2i 2902 . . . . . . 7 (𝑦𝑊𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
3112, 4jca 514 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32 eluzsub 12266 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
33323expa 1112 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
3431, 33sylan 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
3530, 34sylan2b 595 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑊) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
3635, 6eleqtrrdi 2922 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑊) → (𝑦𝑁) ∈ 𝑍)
37 uzmptshftfval.c . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
3837, 2, 1fvmpt3i 6766 . . . . 5 ((𝑦𝑁) ∈ 𝑍 → (𝐹‘(𝑦𝑁)) = 𝐶)
3936, 38syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑊) → (𝐹‘(𝑦𝑁)) = 𝐶)
4029, 39eqtrd 2854 . . 3 ((𝜑𝑦𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = 𝐶)
4140mpteq2dva 5152 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)) = (𝑦𝑊𝐶))
4222, 41eqtrd 2854 1 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  {crab 3140  Vcvv 3493   ↦ cmpt 5137   Fn wfn 6343  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527   + caddc 10532   − cmin 10862  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235   shift cshi 14417 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-shft 14418 This theorem is referenced by:  dvradcnv2  40664  binomcxplemnotnn0  40673
 Copyright terms: Public domain W3C validator