Theorem uzmptshftfval 44365

Description: When 𝐹 is a maps-to function on some set of upper integers 𝑍 that returns a set 𝐵, (𝐹 shift 𝑁) is another maps-to function on the shifted set of upper integers 𝑊. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzmptshftfval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
uzmptshftfval.b	⊢ 𝐵 ∈ V
uzmptshftfval.c	⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
uzmptshftfval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzmptshftfval.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
uzmptshftfval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzmptshftfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
uzmptshftfval	⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝑍,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝑀   𝑦,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem uzmptshftfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzmptshftfval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		uzmptshftfval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fnmpti 6711	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Fn 𝑍
4		uzmptshftfval.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12723	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6		uzmptshftfval.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7	6	fvexi 6920	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	7	mptex 7243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V
9	2, 8	eqeltri 2837	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
10	9	shftfn 15112	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍})
11	3, 5, 10	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍})
12		uzmptshftfval.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		shftuz 15108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
14	4, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
15	6	eleq2i 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍 ↔ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16	15	rabbii 3442	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀)}
17		uzmptshftfval.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
18	14, 16, 17	3eqtr4g 2802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍} = 𝑊)
19	18	fneq2d 6662	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍} ↔ (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊))
20	11, 19	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊)
21		dffn5 6967	. . 3 ⊢ ((𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊 ↔ (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
22	20, 21	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
23		uzssz 12899	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)) ⊆ ℤ
24	17, 23	eqsstri 4030	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ ℤ
25		zsscn 12621	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
26	24, 25	sstri 3993	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ⊆ ℂ
27	26	sseli 3979	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → 𝑦 ∈ ℂ)
28	9	shftval 15113	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
29	5, 27, 28	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
30	17	eleq2i 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
31	12, 4	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32		eluzsub 12908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33	32	3expa 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	31, 33	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35	30, 34	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 6	eleqtrrdi 2852	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍)
37		uzmptshftfval.c	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
38	37, 2, 1	fvmpt3i 7021	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍 → (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)) = 𝐶)
39	36, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)) = 𝐶)
40	29, 39	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = 𝐶)
41	40	mpteq2dva 5242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ 𝐶))
42	22, 41	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480   ↦ cmpt 5225   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   − cmin 11492  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878   shift cshi 15105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-shft 15106

This theorem is referenced by:  dvradcnv2  44366  binomcxplemnotnn0  44375