Theorem uzmptshftfval 45076

Description: When 𝐹 is a maps-to function on some set of upper integers 𝑍 that returns a set 𝐵, (𝐹 shift 𝑁) is another maps-to function on the shifted set of upper integers 𝑊. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzmptshftfval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
uzmptshftfval.b	⊢ 𝐵 ∈ V
uzmptshftfval.c	⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
uzmptshftfval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzmptshftfval.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
uzmptshftfval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzmptshftfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
uzmptshftfval	⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝑍,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝑀   𝑦,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem uzmptshftfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzmptshftfval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		uzmptshftfval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fnmpti 6678	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Fn 𝑍
4		uzmptshftfval.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6		uzmptshftfval.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7	6	fvexi 6895	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	7	mptex 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V
9	2, 8	eqeltri 2859	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
10	9	shftfn 15106	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍})
11	3, 5, 10	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍})
12		uzmptshftfval.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		shftuz 15102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
14	4, 12, 13	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
15	6	eleq2i 2855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍 ↔ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16	15	rabbii 3421	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀)}
17		uzmptshftfval.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
18	14, 16, 17	3eqtr4g 2823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍} = 𝑊)
19	18	fneq2d 6629	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍} ↔ (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊))
20	11, 19	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊)
21		dffn5 6939	. . 3 ⊢ ((𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊 ↔ (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
22	20, 21	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
23		uzssz 12878	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)) ⊆ ℤ
24	17, 23	eqsstri 3983	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ ℤ
25		zsscn 12594	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
26	24, 25	sstri 3946	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ⊆ ℂ
27	26	sseli 3933	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → 𝑦 ∈ ℂ)
28	9	shftval 15107	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
29	5, 27, 28	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
30	17	eleq2i 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
31	12, 4	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32		eluzsub 12887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33	32	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	31, 33	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35	30, 34	sylan2b 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 6	eleqtrrdi 2874	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍)
37		uzmptshftfval.c	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
38	37, 2, 1	fvmpt3i 6995	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍 → (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)) = 𝐶)
39	36, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)) = 𝐶)
40	29, 39	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = 𝐶)
41	40	mpteq2dva 5204	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ 𝐶))
42	22, 41	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5192   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093   + caddc 11098   − cmin 11436  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857   shift cshi 15099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-shft 15100

This theorem is referenced by:  dvradcnv2  45077  binomcxplemnotnn0  45086