Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzmptshftfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzmptshftfval 43696
Description: When 𝐹 is a maps-to function on some set of upper integers 𝑍 that returns a set 𝐵, (𝐹 shift 𝑁) is another maps-to function on the shifted set of upper integers 𝑊. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uzmptshftfval.f 𝐹 = (𝑥𝑍𝐵)
uzmptshftfval.b 𝐵 ∈ V
uzmptshftfval.c (𝑥 = (𝑦𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
uzmptshftfval.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzmptshftfval.w 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
uzmptshftfval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzmptshftfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
uzmptshftfval (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝑍,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝑀   𝑦,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem uzmptshftfval
StepHypRef Expression
1 uzmptshftfval.b . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2 uzmptshftfval.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑍𝐵)
31, 2fnmpti 6692 . . . . 5 𝐹 Fn 𝑍
4 uzmptshftfval.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54zcnd 12683 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6 uzmptshftfval.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
76fvexi 6905 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V
87mptex 7229 . . . . . . 7 (𝑥𝑍𝐵) ∈ V
92, 8eqeltri 2824 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
109shftfn 15038 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑍𝑁 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍})
113, 5, 10sylancr 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍})
12 uzmptshftfval.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 shftuz 15034 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)} = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
144, 12, 13syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)} = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
156eleq2i 2820 . . . . . . 7 ((𝑦𝑁) ∈ 𝑍 ↔ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
1615rabbii 3433 . . . . . 6 {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)}
17 uzmptshftfval.w . . . . . 6 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
1814, 16, 173eqtr4g 2792 . . . . 5 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍} = 𝑊)
1918fneq2d 6642 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍} ↔ (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊))
2011, 19mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊)
21 dffn5 6951 . . 3 ((𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊 ↔ (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
2220, 21sylib 217 . 2 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
23 uzssz 12859 . . . . . . . 8 (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)) ⊆ ℤ
2417, 23eqsstri 4012 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ ℤ
25 zsscn 12582 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
2624, 25sstri 3987 . . . . . 6 𝑊 ⊆ ℂ
2726sseli 3974 . . . . 5 (𝑦𝑊𝑦 ∈ ℂ)
289shftval 15039 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
295, 27, 28syl2an 595 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
3017eleq2i 2820 . . . . . . 7 (𝑦𝑊𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
3112, 4jca 511 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32 eluzsub 12868 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
33323expa 1116 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
3431, 33sylan 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
3530, 34sylan2b 593 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑊) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
3635, 6eleqtrrdi 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑊) → (𝑦𝑁) ∈ 𝑍)
37 uzmptshftfval.c . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
3837, 2, 1fvmpt3i 7004 . . . . 5 ((𝑦𝑁) ∈ 𝑍 → (𝐹‘(𝑦𝑁)) = 𝐶)
3936, 38syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑊) → (𝐹‘(𝑦𝑁)) = 𝐶)
4029, 39eqtrd 2767 . . 3 ((𝜑𝑦𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = 𝐶)
4140mpteq2dva 5242 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)) = (𝑦𝑊𝐶))
4222, 41eqtrd 2767 1 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469  cmpt 5225   Fn wfn 6537  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11122   + caddc 11127  cmin 11460  cz 12574  cuz 12838   shift cshi 15031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-shft 15032
This theorem is referenced by:  dvradcnv2  43697  binomcxplemnotnn0  43706
  Copyright terms: Public domain W3C validator