Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzmptshftfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzmptshftfval 42718
Description: When 𝐹 is a maps-to function on some set of upper integers 𝑍 that returns a set 𝐵, (𝐹 shift 𝑁) is another maps-to function on the shifted set of upper integers 𝑊. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uzmptshftfval.f 𝐹 = (𝑥𝑍𝐵)
uzmptshftfval.b 𝐵 ∈ V
uzmptshftfval.c (𝑥 = (𝑦𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
uzmptshftfval.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzmptshftfval.w 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
uzmptshftfval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzmptshftfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
uzmptshftfval (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝑍,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝑀   𝑦,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem uzmptshftfval
StepHypRef Expression
1 uzmptshftfval.b . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2 uzmptshftfval.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑍𝐵)
31, 2fnmpti 6648 . . . . 5 𝐹 Fn 𝑍
4 uzmptshftfval.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54zcnd 12616 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6 uzmptshftfval.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
76fvexi 6860 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V
87mptex 7177 . . . . . . 7 (𝑥𝑍𝐵) ∈ V
92, 8eqeltri 2830 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
109shftfn 14967 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑍𝑁 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍})
113, 5, 10sylancr 588 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍})
12 uzmptshftfval.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 shftuz 14963 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)} = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
144, 12, 13syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)} = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
156eleq2i 2826 . . . . . . 7 ((𝑦𝑁) ∈ 𝑍 ↔ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
1615rabbii 3412 . . . . . 6 {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)}
17 uzmptshftfval.w . . . . . 6 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
1814, 16, 173eqtr4g 2798 . . . . 5 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍} = 𝑊)
1918fneq2d 6600 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍} ↔ (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊))
2011, 19mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊)
21 dffn5 6905 . . 3 ((𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊 ↔ (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
2220, 21sylib 217 . 2 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
23 uzssz 12792 . . . . . . . 8 (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)) ⊆ ℤ
2417, 23eqsstri 3982 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ ℤ
25 zsscn 12515 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
2624, 25sstri 3957 . . . . . 6 𝑊 ⊆ ℂ
2726sseli 3944 . . . . 5 (𝑦𝑊𝑦 ∈ ℂ)
289shftval 14968 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
295, 27, 28syl2an 597 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
3017eleq2i 2826 . . . . . . 7 (𝑦𝑊𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
3112, 4jca 513 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32 eluzsub 12801 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
33323expa 1119 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
3431, 33sylan 581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
3530, 34sylan2b 595 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑊) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
3635, 6eleqtrrdi 2845 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑊) → (𝑦𝑁) ∈ 𝑍)
37 uzmptshftfval.c . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
3837, 2, 1fvmpt3i 6957 . . . . 5 ((𝑦𝑁) ∈ 𝑍 → (𝐹‘(𝑦𝑁)) = 𝐶)
3936, 38syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑊) → (𝐹‘(𝑦𝑁)) = 𝐶)
4029, 39eqtrd 2773 . . 3 ((𝜑𝑦𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = 𝐶)
4140mpteq2dva 5209 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)) = (𝑦𝑊𝐶))
4222, 41eqtrd 2773 1 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447  cmpt 5192   Fn wfn 6495  cfv 6500  (class class class)co 7361  cc 11057   + caddc 11062  cmin 11393  cz 12507  cuz 12771   shift cshi 14960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-shft 14961
This theorem is referenced by:  dvradcnv2  42719  binomcxplemnotnn0  42728
  Copyright terms: Public domain W3C validator