Theorem uzmptshftfval 43095

Description: When 𝐹 is a maps-to function on some set of upper integers 𝑍 that returns a set 𝐵, (𝐹 shift 𝑁) is another maps-to function on the shifted set of upper integers 𝑊. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzmptshftfval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
uzmptshftfval.b	⊢ 𝐵 ∈ V
uzmptshftfval.c	⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
uzmptshftfval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzmptshftfval.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
uzmptshftfval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzmptshftfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
uzmptshftfval	⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝑍,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝑀   𝑦,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem uzmptshftfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzmptshftfval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		uzmptshftfval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fnmpti 6693	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Fn 𝑍
4		uzmptshftfval.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6		uzmptshftfval.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7	6	fvexi 6905	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	7	mptex 7224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V
9	2, 8	eqeltri 2829	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
10	9	shftfn 15019	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍})
11	3, 5, 10	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍})
12		uzmptshftfval.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		shftuz 15015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
14	4, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
15	6	eleq2i 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍 ↔ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16	15	rabbii 3438	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀)}
17		uzmptshftfval.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))
18	14, 16, 17	3eqtr4g 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍} = 𝑊)
19	18	fneq2d 6643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍} ↔ (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊))
20	11, 19	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊)
21		dffn5 6950	. . 3 ⊢ ((𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊 ↔ (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
22	20, 21	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
23		uzssz 12842	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)) ⊆ ℤ
24	17, 23	eqsstri 4016	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ ℤ
25		zsscn 12565	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
26	24, 25	sstri 3991	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ⊆ ℂ
27	26	sseli 3978	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → 𝑦 ∈ ℂ)
28	9	shftval 15020	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
29	5, 27, 28	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
30	17	eleq2i 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁)))
31	12, 4	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32		eluzsub 12851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33	32	3expa 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	31, 33	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35	30, 34	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → (𝑦 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 6	eleqtrrdi 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → (𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍)
37		uzmptshftfval.c	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
38	37, 2, 1	fvmpt3i 7003	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 − 𝑁) ∈ 𝑍 → (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)) = 𝐶)
39	36, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)) = 𝐶)
40	29, 39	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = 𝐶)
41	40	mpteq2dva 5248	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ 𝐶))
42	22, 41	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107   + caddc 11112   − cmin 11443  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821   shift cshi 15012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-shft 15013

This theorem is referenced by:  dvradcnv2  43096  binomcxplemnotnn0  43105