Theorem seqshft 15028

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
seqshft.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
seqshft	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))

Proof of Theorem seqshft

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqfn 13974	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ≥‘𝑀))
3		zsubcl 12600	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
4		seqfn 13974	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ → seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))
6		zcn 12559	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		seqex 13964	. . . . 5 ⊢ seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) ∈ V
9	8	shftfn 15016	. . . 4 ⊢ ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))})
10	5, 7, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))})
11		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		shftuz 15012	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} = (ℤ≥‘((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
13	11, 3, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} = (ℤ≥‘((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
14		zcn 12559	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
15		npcan 11465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
16	14, 6, 15	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
17	16	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
18	13, 17	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} = (ℤ≥‘𝑀))
19	18	fneq2d 6640	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} ↔ (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ≥‘𝑀)))
20	10, 19	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ≥‘𝑀))
21		negsub 11504	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
22	14, 6, 21	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
23	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
24	23	seqeq1d 13968	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹) = seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹))
25		eluzelcn 12830	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑧 ∈ ℂ)
26		negsub 11504	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧 − 𝑁))
27	25, 7, 26	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧 − 𝑁))
28	24, 27	fveq12d 6895	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 − 𝑁)))
29		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
30		znegcl 12593	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
31	30	ad2antlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → -𝑁 ∈ ℤ)
32		elfzelz 13497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℤ)
33	32	zcnd 12663	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℂ)
34		seqshft.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ V
35	34	shftval 15017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
36		negsub 11504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦 − 𝑁))
37	36	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦 − 𝑁))
38	37	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
39	35, 38	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
40	6, 33, 39	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
41	40	ad4ant24 752	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
42	29, 31, 41	seqshft2 13990	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)))
43	8	shftval 15017	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 − 𝑁)))
44	7, 25, 43	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 − 𝑁)))
45	28, 42, 44	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧))
46	2, 20, 45	eqfnfvd 7032	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104   + caddc 11109   − cmin 11440  -cneg 11441  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  ...cfz 13480  seqcseq 13962   shift cshi 15009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-shft 15010

This theorem is referenced by:  isershft  15606  cvgrat  15825  eftlub  16048  dvradcnv2  43091  binomcxplemnotnn0  43100