MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqshft 14977
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqshft.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
seqshft ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))

Proof of Theorem seqshft
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfn 13925 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ𝑀))
21adantr 482 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ𝑀))
3 zsubcl 12552 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
4 seqfn 13925 . . . . 5 ((𝑀𝑁) ∈ ℤ → seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘(𝑀𝑁)))
53, 4syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘(𝑀𝑁)))
6 zcn 12511 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
76adantl 483 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
8 seqex 13915 . . . . 5 seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) ∈ V
98shftfn 14965 . . . 4 ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘(𝑀𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))})
105, 7, 9syl2anc 585 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))})
11 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 shftuz 14961 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} = (ℤ‘((𝑀𝑁) + 𝑁)))
1311, 3, 12syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} = (ℤ‘((𝑀𝑁) + 𝑁)))
14 zcn 12511 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
15 npcan 11417 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
1614, 6, 15syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
1716fveq2d 6851 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (ℤ‘((𝑀𝑁) + 𝑁)) = (ℤ𝑀))
1813, 17eqtrd 2777 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} = (ℤ𝑀))
1918fneq2d 6601 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} ↔ (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ𝑀)))
2010, 19mpbid 231 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ𝑀))
21 negsub 11456 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
2214, 6, 21syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
2322adantr 482 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
2423seqeq1d 13919 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹) = seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹))
25 eluzelcn 12782 . . . . 5 (𝑧 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑧 ∈ ℂ)
26 negsub 11456 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧𝑁))
2725, 7, 26syl2anr 598 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧𝑁))
2824, 27fveq12d 6854 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧𝑁)))
29 simpr 486 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ𝑀))
30 znegcl 12545 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
3130ad2antlr 726 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → -𝑁 ∈ ℤ)
32 elfzelz 13448 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℤ)
3332zcnd 12615 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℂ)
34 seqshft.1 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ V
3534shftval 14966 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
36 negsub 11456 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦𝑁))
3736ancoms 460 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦𝑁))
3837fveq2d 6851 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
3935, 38eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
406, 33, 39syl2an 597 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
4140ad4ant24 753 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
4229, 31, 41seqshft2 13941 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)))
438shftval 14966 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧𝑁)))
447, 25, 43syl2an 597 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧𝑁)))
4528, 42, 443eqtr4d 2787 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧))
462, 20, 45eqfnfvd 6990 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3410  Vcvv 3448   Fn wfn 6496  cfv 6501  (class class class)co 7362  cc 11056   + caddc 11061  cmin 11392  -cneg 11393  cz 12506  cuz 12770  ...cfz 13431  seqcseq 13913   shift cshi 14958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-shft 14959
This theorem is referenced by:  isershft  15555  cvgrat  15775  eftlub  15998  dvradcnv2  42701  binomcxplemnotnn0  42710
  Copyright terms: Public domain W3C validator