Theorem seqshft 14796

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
seqshft.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
seqshft	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))

Proof of Theorem seqshft

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqfn 13733	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ≥‘𝑀))
3		zsubcl 12362	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
4		seqfn 13733	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ → seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))
6		zcn 12324	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		seqex 13723	. . . . 5 ⊢ seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) ∈ V
9	8	shftfn 14784	. . . 4 ⊢ ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))})
10	5, 7, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))})
11		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		shftuz 14780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} = (ℤ≥‘((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
13	11, 3, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} = (ℤ≥‘((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
14		zcn 12324	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
15		npcan 11230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
16	14, 6, 15	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
17	16	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
18	13, 17	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} = (ℤ≥‘𝑀))
19	18	fneq2d 6527	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} ↔ (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ≥‘𝑀)))
20	10, 19	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ≥‘𝑀))
21		negsub 11269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
22	14, 6, 21	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
23	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
24	23	seqeq1d 13727	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹) = seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹))
25		eluzelcn 12594	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑧 ∈ ℂ)
26		negsub 11269	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧 − 𝑁))
27	25, 7, 26	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧 − 𝑁))
28	24, 27	fveq12d 6781	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 − 𝑁)))
29		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
30		znegcl 12355	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
31	30	ad2antlr 724	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → -𝑁 ∈ ℤ)
32		elfzelz 13256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℤ)
33	32	zcnd 12427	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℂ)
34		seqshft.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ V
35	34	shftval 14785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
36		negsub 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦 − 𝑁))
37	36	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦 − 𝑁))
38	37	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
39	35, 38	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
40	6, 33, 39	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
41	40	ad4ant24 751	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
42	29, 31, 41	seqshft2 13749	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)))
43	8	shftval 14785	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 − 𝑁)))
44	7, 25, 43	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 − 𝑁)))
45	28, 42, 44	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧))
46	2, 20, 45	eqfnfvd 6912	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   + caddc 10874   − cmin 11205  -cneg 11206  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  seqcseq 13721   shift cshi 14777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-shft 14778

This theorem is referenced by:  isershft  15375  cvgrat  15595  eftlub  15818  dvradcnv2  41965  binomcxplemnotnn0  41974