MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqshft 15032
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqshft.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
seqshft ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))

Proof of Theorem seqshft
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfn 13978 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ𝑀))
21adantr 482 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ𝑀))
3 zsubcl 12604 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
4 seqfn 13978 . . . . 5 ((𝑀𝑁) ∈ ℤ → seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘(𝑀𝑁)))
53, 4syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘(𝑀𝑁)))
6 zcn 12563 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
76adantl 483 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
8 seqex 13968 . . . . 5 seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) ∈ V
98shftfn 15020 . . . 4 ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘(𝑀𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))})
105, 7, 9syl2anc 585 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))})
11 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 shftuz 15016 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} = (ℤ‘((𝑀𝑁) + 𝑁)))
1311, 3, 12syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} = (ℤ‘((𝑀𝑁) + 𝑁)))
14 zcn 12563 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
15 npcan 11469 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
1614, 6, 15syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
1716fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (ℤ‘((𝑀𝑁) + 𝑁)) = (ℤ𝑀))
1813, 17eqtrd 2773 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} = (ℤ𝑀))
1918fneq2d 6644 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁))} ↔ (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ𝑀)))
2010, 19mpbid 231 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ𝑀))
21 negsub 11508 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
2214, 6, 21syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
2322adantr 482 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
2423seqeq1d 13972 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹) = seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹))
25 eluzelcn 12834 . . . . 5 (𝑧 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑧 ∈ ℂ)
26 negsub 11508 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧𝑁))
2725, 7, 26syl2anr 598 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧𝑁))
2824, 27fveq12d 6899 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧𝑁)))
29 simpr 486 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ𝑀))
30 znegcl 12597 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
3130ad2antlr 726 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → -𝑁 ∈ ℤ)
32 elfzelz 13501 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℤ)
3332zcnd 12667 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℂ)
34 seqshft.1 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ V
3534shftval 15021 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
36 negsub 11508 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦𝑁))
3736ancoms 460 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦𝑁))
3837fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
3935, 38eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
406, 33, 39syl2an 597 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
4140ad4ant24 753 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
4229, 31, 41seqshft2 13994 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)))
438shftval 15021 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧𝑁)))
447, 25, 43syl2an 597 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧𝑁)))
4528, 42, 443eqtr4d 2783 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = ((seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧))
462, 20, 45eqfnfvd 7036 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   Fn wfn 6539  cfv 6544  (class class class)co 7409  cc 11108   + caddc 11113  cmin 11444  -cneg 11445  cz 12558  cuz 12822  ...cfz 13484  seqcseq 13966   shift cshi 15013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-shft 15014
This theorem is referenced by:  isershft  15610  cvgrat  15829  eftlub  16052  dvradcnv2  43106  binomcxplemnotnn0  43115
  Copyright terms: Public domain W3C validator