Theorem slesubsub2bd 28048

Description: Equivalence for the surreal less-than or equal relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsubsubbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltsubsubbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltsubsubbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltsubsubbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
slesubsub2bd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s (𝐶 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴)))

Proof of Theorem slesubsub2bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsubsubbd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		sltsubsubbd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
3		sltsubsubbd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		sltsubsubbd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5	1, 2, 3, 4	sltsubsub2bd 28045	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐵) ↔ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
6	5	notbid 318	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐶 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐵) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
7	3, 4	subscld 28024	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
8	1, 2	subscld 28024	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐷) ∈ No )
9		slenlt 27721	. . 3 ⊢ (((𝐴 -s 𝐵) ∈ No ∧ (𝐶 -s 𝐷) ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s (𝐶 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐶 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐵)))
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s (𝐶 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐶 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐵)))
11	2, 1	subscld 28024	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 -s 𝐶) ∈ No )
12	4, 3	subscld 28024	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐴) ∈ No )
13		slenlt 27721	. . 3 ⊢ (((𝐷 -s 𝐶) ∈ No ∧ (𝐵 -s 𝐴) ∈ No ) → ((𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
15	6, 10, 14	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s (𝐶 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410   No csur 27608   <s cslt 27609   ≤s csle 27713   -_s csubs 27983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-1o 8485  df-2o 8486  df-nadd 8683  df-no 27611  df-slt 27612  df-bday 27613  df-sle 27714  df-sslt 27750  df-scut 27752  df-0s 27793  df-made 27812  df-old 27813  df-left 27815  df-right 27816  df-norec 27902  df-norec2 27913  df-adds 27924  df-negs 27984  df-subs 27985

This theorem is referenced by:  mulsuniflem  28109