Theorem sltsubsub2bd 27907

Description: Equivalence for the surreal less-than relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsubsubbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltsubsubbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltsubsubbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltsubsubbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
sltsubsub2bd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐴)))

Proof of Theorem sltsubsub2bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsubsubbd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
2		sltsubsubbd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	subscld 27888	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 -s 𝐶) ∈ No )
4		sltsubsubbd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5		sltsubsubbd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
6	4, 5	subscld 27888	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐴) ∈ No )
7	3, 6	sltnegd 27874	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐴) ↔ ( -us ‘(𝐵 -s 𝐴)) <s ( -us ‘(𝐷 -s 𝐶))))
8	4, 5	negsubsdi2d 27903	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐵 -s 𝐴)) = (𝐴 -s 𝐵))
9	1, 2	negsubsdi2d 27903	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐷 -s 𝐶)) = (𝐶 -s 𝐷))
10	8, 9	breq12d 5161	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘(𝐵 -s 𝐴)) <s ( -us ‘(𝐷 -s 𝐶)) ↔ (𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷)))
11	7, 10	bitr2d 280	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   No csur 27488   <s cslt 27489   -u_s cnegs 27847   -_s csubs 27848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-1o 8472  df-2o 8473  df-nadd 8671  df-no 27491  df-slt 27492  df-bday 27493  df-sle 27593  df-sslt 27629  df-scut 27631  df-0s 27672  df-made 27689  df-old 27690  df-left 27692  df-right 27693  df-norec 27770  df-norec2 27781  df-adds 27792  df-negs 27849  df-subs 27850

This theorem is referenced by:  sltsubsub3bd  27908  slesubsub2bd  27910  mulsproplem5  27935  mulsproplem7  27937  mulsproplem8  27938  mulsproplem12  27942  ssltmul1  27962  ssltmul2  27963