Theorem sltsubsub2bd 28115

Description: Equivalence for the surreal less-than relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsubsubbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltsubsubbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltsubsubbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltsubsubbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
sltsubsub2bd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐴)))

Proof of Theorem sltsubsub2bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsubsubbd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
2		sltsubsubbd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	subscld 28094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 -s 𝐶) ∈ No )
4		sltsubsubbd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5		sltsubsubbd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
6	4, 5	subscld 28094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐴) ∈ No )
7	3, 6	sltnegd 28080	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐴) ↔ ( -us ‘(𝐵 -s 𝐴)) <s ( -us ‘(𝐷 -s 𝐶))))
8	4, 5	negsubsdi2d 28111	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐵 -s 𝐴)) = (𝐴 -s 𝐵))
9	1, 2	negsubsdi2d 28111	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐷 -s 𝐶)) = (𝐶 -s 𝐷))
10	8, 9	breq12d 5155	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘(𝐵 -s 𝐴)) <s ( -us ‘(𝐷 -s 𝐶)) ↔ (𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷)))
11	7, 10	bitr2d 280	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   No csur 27685   <s cslt 27686   -u_s cnegs 28052   -_s csubs 28053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-1o 8507  df-2o 8508  df-nadd 8705  df-no 27688  df-slt 27689  df-bday 27690  df-sle 27791  df-sslt 27827  df-scut 27829  df-0s 27870  df-made 27887  df-old 27888  df-left 27890  df-right 27891  df-norec 27972  df-norec2 27983  df-adds 27994  df-negs 28054  df-subs 28055

This theorem is referenced by:  sltsubsub3bd  28116  slesubsub2bd  28118  mulsproplem5  28147  mulsproplem7  28149  mulsproplem8  28150  mulsproplem12  28154  ssltmul1  28174  ssltmul2  28175