Theorem sltsubsub2bd 27787

Description: Equivalence for the surreal less-than relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsubsubbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltsubsubbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltsubsubbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltsubsubbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
sltsubsub2bd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐴)))

Proof of Theorem sltsubsub2bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsubsubbd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
2		sltsubsubbd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	subscld 27771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 -s 𝐶) ∈ No )
4		sltsubsubbd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5		sltsubsubbd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
6	4, 5	subscld 27771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐴) ∈ No )
7	3, 6	sltnegd 27757	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐴) ↔ ( -us ‘(𝐵 -s 𝐴)) <s ( -us ‘(𝐷 -s 𝐶))))
8	4, 5	negsubsdi2d 27783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐵 -s 𝐴)) = (𝐴 -s 𝐵))
9	1, 2	negsubsdi2d 27783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐷 -s 𝐶)) = (𝐶 -s 𝐷))
10	8, 9	breq12d 5162	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘(𝐵 -s 𝐴)) <s ( -us ‘(𝐷 -s 𝐶)) ↔ (𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷)))
11	7, 10	bitr2d 279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412   No csur 27376   <s cslt 27377   -u_s cnegs 27730   -_s csubs 27731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-1o 8469  df-2o 8470  df-nadd 8668  df-no 27379  df-slt 27380  df-bday 27381  df-sle 27481  df-sslt 27516  df-scut 27518  df-0s 27559  df-made 27576  df-old 27577  df-left 27579  df-right 27580  df-norec 27657  df-norec2 27668  df-adds 27679  df-negs 27732  df-subs 27733

This theorem is referenced by:  sltsubsub3bd  27788  slesubsub2bd  27790  mulsproplem5  27812  mulsproplem7  27814  mulsproplem8  27815  mulsproplem12  27819  ssltmul1  27838  ssltmul2  27839