Theorem slt0neg2d 27979

Description: Comparison of a surreal and its negative to zero. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
slt0neg2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
slt0neg2d	⊢ (𝜑 → ( 0s <s 𝐴 ↔ ( -us ‘𝐴) <s 0s ))

Proof of Theorem slt0neg2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sno 27775	. . 3 ⊢ 0s ∈ No
2		slt0neg2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		sltneg 27973	. . 3 ⊢ (( 0s ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → ( 0s <s 𝐴 ↔ ( -us ‘𝐴) <s ( -us ‘ 0s )))
4	1, 2, 3	sylancr 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s <s 𝐴 ↔ ( -us ‘𝐴) <s ( -us ‘ 0s )))
5		negs0s 27955	. . 3 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s
6	5	breq2i 5149	. 2 ⊢ (( -us ‘𝐴) <s ( -us ‘ 0s ) ↔ ( -us ‘𝐴) <s 0s )
7	4, 6	bitrdi 286	1 ⊢ (𝜑 → ( 0s <s 𝐴 ↔ ( -us ‘𝐴) <s 0s ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ‘cfv 6541   No csur 27589   <s cslt 27590   0_s c0s 27771   -u_s cnegs 27948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-1o 8483  df-2o 8484  df-nadd 8683  df-no 27592  df-slt 27593  df-bday 27594  df-sle 27694  df-sslt 27730  df-scut 27732  df-0s 27773  df-made 27790  df-old 27791  df-left 27793  df-right 27794  df-norec 27871  df-norec2 27882  df-adds 27893  df-negs 27950

This theorem is referenced by:  0reno  28241