Theorem negs0s 27955

Description: Negative surreal zero is surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
negs0s	⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s

Proof of Theorem negs0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		right0s 27826	. . . . 5 ⊢ ( R ‘ 0s ) = ∅
2	1	imaeq2i 6013	. . . 4 ⊢ ( -us “ ( R ‘ 0s )) = ( -us “ ∅)
3		ima0 6032	. . . 4 ⊢ ( -us “ ∅) = ∅
4	2, 3	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ( -us “ ( R ‘ 0s )) = ∅
5		left0s 27825	. . . . 5 ⊢ ( L ‘ 0s ) = ∅
6	5	imaeq2i 6013	. . . 4 ⊢ ( -us “ ( L ‘ 0s )) = ( -us “ ∅)
7	6, 3	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ( -us “ ( L ‘ 0s )) = ∅
8	4, 7	oveq12i 7365	. 2 ⊢ (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s ))) = (∅ |s ∅)
9		0sno 27758	. . 3 ⊢ 0s ∈ No
10		negsval 27954	. . 3 ⊢ ( 0s ∈ No → ( -us ‘ 0s ) = (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s ))))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s )))
12		df-0s 27756	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
13	8, 11, 12	3eqtr4i 2762	1 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4286   “ cima 5626  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   No csur 27567   |s cscut 27711   0_s c0s 27754   L cleft 27773   R cright 27774   -u_s cnegs 27948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-1o 8395  df-2o 8396  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sslt 27710  df-scut 27712  df-0s 27756  df-made 27775  df-old 27776  df-left 27778  df-right 27779  df-norec 27868  df-negs 27950

This theorem is referenced by:  negs1s  27956  slt0neg2d  27980  subsfo  27992  subsid1  27995  sltmulneg1d  28102  mulscan2d  28105  recsex  28144  abssnid  28168  absmuls  28169  abssge0  28170  abssneg  28172  sleabs  28173  elzs2  28310  elnnzs  28312  elznns  28313  recut  28383  0reno  28384