Theorem negs0s 27984

Description: Negative surreal zero is surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
negs0s	⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s

Proof of Theorem negs0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		right0s 27857	. . . . 5 ⊢ ( R ‘ 0s ) = ∅
2	1	imaeq2i 6045	. . . 4 ⊢ ( -us “ ( R ‘ 0s )) = ( -us “ ∅)
3		ima0 6064	. . . 4 ⊢ ( -us “ ∅) = ∅
4	2, 3	eqtri 2758	. . 3 ⊢ ( -us “ ( R ‘ 0s )) = ∅
5		left0s 27856	. . . . 5 ⊢ ( L ‘ 0s ) = ∅
6	5	imaeq2i 6045	. . . 4 ⊢ ( -us “ ( L ‘ 0s )) = ( -us “ ∅)
7	6, 3	eqtri 2758	. . 3 ⊢ ( -us “ ( L ‘ 0s )) = ∅
8	4, 7	oveq12i 7417	. 2 ⊢ (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s ))) = (∅ |s ∅)
9		0sno 27790	. . 3 ⊢ 0s ∈ No
10		negsval 27983	. . 3 ⊢ ( 0s ∈ No → ( -us ‘ 0s ) = (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s ))))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s )))
12		df-0s 27788	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
13	8, 11, 12	3eqtr4i 2768	1 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4308   “ cima 5657  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   No csur 27603   |s cscut 27746   0_s c0s 27786   L cleft 27805   R cright 27806   -u_s cnegs 27977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27606  df-slt 27607  df-bday 27608  df-sslt 27745  df-scut 27747  df-0s 27788  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811  df-norec 27897  df-negs 27979

This theorem is referenced by:  negs1s  27985  slt0neg2d  28009  subsfo  28021  subsid1  28024  sltmulneg1d  28131  mulscan2d  28134  recsex  28173  abssnid  28197  absmuls  28198  abssge0  28199  abssneg  28201  sleabs  28202  elzs2  28339  elnnzs  28341  elznns  28342  recut  28399  0reno  28400