Theorem negs0s 27491

Description: Negative surreal zero is surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
negs0s	⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s

Proof of Theorem negs0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		right0s 27378	. . . . 5 ⊢ ( R ‘ 0s ) = ∅
2	1	imaeq2i 6056	. . . 4 ⊢ ( -us “ ( R ‘ 0s )) = ( -us “ ∅)
3		ima0 6074	. . . 4 ⊢ ( -us “ ∅) = ∅
4	2, 3	eqtri 2761	. . 3 ⊢ ( -us “ ( R ‘ 0s )) = ∅
5		left0s 27377	. . . . 5 ⊢ ( L ‘ 0s ) = ∅
6	5	imaeq2i 6056	. . . 4 ⊢ ( -us “ ( L ‘ 0s )) = ( -us “ ∅)
7	6, 3	eqtri 2761	. . 3 ⊢ ( -us “ ( L ‘ 0s )) = ∅
8	4, 7	oveq12i 7418	. 2 ⊢ (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s ))) = (∅ |s ∅)
9		0sno 27317	. . 3 ⊢ 0s ∈ No
10		negsval 27490	. . 3 ⊢ ( 0s ∈ No → ( -us ‘ 0s ) = (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s ))))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s )))
12		df-0s 27315	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
13	8, 11, 12	3eqtr4i 2771	1 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∅c0 4322   “ cima 5679  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406   No csur 27133   |s cscut 27274   0_s c0s 27313   L cleft 27330   R cright 27331   -u_s cnegs 27484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-1o 8463  df-2o 8464  df-no 27136  df-slt 27137  df-bday 27138  df-sslt 27273  df-scut 27275  df-0s 27315  df-made 27332  df-old 27333  df-left 27335  df-right 27336  df-norec 27412  df-negs 27486

This theorem is referenced by:  slt0neg2d  27515  subsid1  27526  sltmulneg1d  27618  mulscan2d  27621  recsex  27655