Theorem negs0s 27938

Description: Negative surreal zero is surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
negs0s	⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s

Proof of Theorem negs0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		right0s 27819	. . . . 5 ⊢ ( R ‘ 0s ) = ∅
2	1	imaeq2i 6061	. . . 4 ⊢ ( -us “ ( R ‘ 0s )) = ( -us “ ∅)
3		ima0 6080	. . . 4 ⊢ ( -us “ ∅) = ∅
4	2, 3	eqtri 2756	. . 3 ⊢ ( -us “ ( R ‘ 0s )) = ∅
5		left0s 27818	. . . . 5 ⊢ ( L ‘ 0s ) = ∅
6	5	imaeq2i 6061	. . . 4 ⊢ ( -us “ ( L ‘ 0s )) = ( -us “ ∅)
7	6, 3	eqtri 2756	. . 3 ⊢ ( -us “ ( L ‘ 0s )) = ∅
8	4, 7	oveq12i 7432	. 2 ⊢ (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s ))) = (∅ |s ∅)
9		0sno 27758	. . 3 ⊢ 0s ∈ No
10		negsval 27937	. . 3 ⊢ ( 0s ∈ No → ( -us ‘ 0s ) = (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s ))))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = (( -us “ ( R ‘ 0s )) |s ( -us “ ( L ‘ 0s )))
12		df-0s 27756	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
13	8, 11, 12	3eqtr4i 2766	1 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∅c0 4323   “ cima 5681  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   No csur 27572   |s cscut 27714   0_s c0s 27754   L cleft 27771   R cright 27772   -u_s cnegs 27931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-1o 8486  df-2o 8487  df-no 27575  df-slt 27576  df-bday 27577  df-sslt 27713  df-scut 27715  df-0s 27756  df-made 27773  df-old 27774  df-left 27776  df-right 27777  df-norec 27854  df-negs 27933

This theorem is referenced by:  slt0neg2d  27962  subsid1  27975  sltmulneg1d  28075  mulscan2d  28078  recsex  28116  abssnid  28136  absmuls  28137  abssge0  28138  abssneg  28140  sleabs  28141  recut  28223  0reno  28224