![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > sltmuld | Structured version Visualization version GIF version |
Description: An ordering relationship for surreal multiplication. Compare theorem 8(iii) of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 6-Mar-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
sltmuld.1 | โข (๐ โ ๐ด โ No ) |
sltmuld.2 | โข (๐ โ ๐ต โ No ) |
sltmuld.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ No ) |
sltmuld.4 | โข (๐ โ ๐ท โ No ) |
sltmuld.5 | โข (๐ โ ๐ด <s ๐ต) |
sltmuld.6 | โข (๐ โ ๐ถ <s ๐ท) |
Ref | Expression |
---|---|
sltmuld | โข (๐ โ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) <s ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | sltmuld.5 | . 2 โข (๐ โ ๐ด <s ๐ต) | |
2 | sltmuld.6 | . 2 โข (๐ โ ๐ถ <s ๐ท) | |
3 | sltmuld.1 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ No ) | |
4 | sltmuld.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ No ) | |
5 | sltmuld.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ No ) | |
6 | sltmuld.4 | . . 3 โข (๐ โ ๐ท โ No ) | |
7 | sltmul 27950 | . . 3 โข (((๐ด โ No โง ๐ต โ No ) โง (๐ถ โ No โง ๐ท โ No )) โ ((๐ด <s ๐ต โง ๐ถ <s ๐ท) โ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) <s ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))) | |
8 | 3, 4, 5, 6, 7 | syl22anc 836 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด <s ๐ต โง ๐ถ <s ๐ท) โ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) <s ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ)))) |
9 | 1, 2, 8 | mp2and 696 | 1 โข (๐ โ ((๐ด ยทs ๐ท) -s (๐ด ยทs ๐ถ)) <s ((๐ต ยทs ๐ท) -s (๐ต ยทs ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โ wcel 2105 class class class wbr 5148 (class class class)co 7412 No csur 27487 <s cslt 27488 -s csubs 27847 ยทs cmuls 27920 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-ot 4637 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-1st 7979 df-2nd 7980 df-frecs 8272 df-wrecs 8303 df-recs 8377 df-1o 8472 df-2o 8473 df-nadd 8671 df-no 27490 df-slt 27491 df-bday 27492 df-sle 27592 df-sslt 27628 df-scut 27630 df-0s 27671 df-made 27688 df-old 27689 df-left 27691 df-right 27692 df-norec 27769 df-norec2 27780 df-adds 27791 df-negs 27848 df-subs 27849 df-muls 27921 |
This theorem is referenced by: slemuld 27952 mulsgt0 27958 ssltmul1 27961 ssltmul2 27962 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |