Theorem sltsub1 28058

Description: Subtraction from both sides of surreal less-than. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sltsub1	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐶)))

Proof of Theorem sltsub1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscl 28018	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ No → ( -us ‘𝐶) ∈ No )
2		sltadd1 27974	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ ( -us ‘𝐶) ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐶)) <s (𝐵 +s ( -us ‘𝐶))))
3	1, 2	syl3an3 1166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐶)) <s (𝐵 +s ( -us ‘𝐶))))
4		subsval 28042	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐶) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐶)))
5	4	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐶) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐶)))
6		subsval 28042	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 -s 𝐶) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐶)))
7	6	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 -s 𝐶) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐶)))
8	5, 7	breq12d 5112	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐶) ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐶)) <s (𝐵 +s ( -us ‘𝐶))))
9	3, 8	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   No csur 27611   <s cslt 27612   +_s cadds 27941   -u_s cnegs 28001   -_s csubs 28002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-1o 8399  df-2o 8400  df-nadd 8596  df-no 27614  df-slt 27615  df-bday 27616  df-sle 27717  df-sslt 27758  df-scut 27760  df-0s 27805  df-made 27825  df-old 27826  df-left 27828  df-right 27829  df-norec 27920  df-norec2 27931  df-adds 27942  df-negs 28003  df-subs 28004

This theorem is referenced by:  sltsub1d  28060