Theorem smfpimne2 47084

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of reals that are different from a value is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. Notice that 𝐴 is not assumed to be an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimne2.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimne2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimne2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimne2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimne2.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
smfpimne2	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimne2.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ ℝ*
3	1, 2	nfan 1900	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*)
4		smfpimne2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		smfpimne2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ SAlg)
7		smfpimne2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9		smfpimne2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11	3, 4, 6, 8, 9, 10	smfpimne 47083	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
12	4	nfdm 5900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
13	9, 12	nfcxfr 2896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
14	13	ssrab2f 45361	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ⊆ 𝐷
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ⊆ 𝐷)
16		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ 𝐴 ∈ ℝ*
17	1, 16	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*)
18		ssidd 3957	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐷 ⊆ 𝐷)
19		nne 2936	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
20		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
21	5, 7, 9	smff 46976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
22	21	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
25	20, 24	eqeltrrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	19, 25	sylan2b 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27	26	adantllr 719	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ*)
29	27, 28	condan 817	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴)
30	13, 13, 17, 18, 29	ssrabdf 45359	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐷 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴})
31	15, 30	eqssd 3951	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} = 𝐷)
32	5, 7, 9	smfdmss 46977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
33	5, 32	subsaluni 46604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
34	33	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
35	31, 34	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
36	11, 35	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2883   ≠ wne 2932  {crab 3399   ⊆ wss 3901  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  ℝ^*cxr 11165   ↾_t crest 17340  SAlgcsalg 46552  SMblFncsmblfn 46939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-ac2 10373  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-card 9851  df-acn 9854  df-ac 10026  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-fl 13712  df-rest 17342  df-salg 46553  df-smblfn 46940

This theorem is referenced by:  smfdivdmmbl2  47085