Theorem smfpimne2 46128

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of reals that are different from a value is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. Notice that 𝐴 is not assumed to be an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimne2.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimne2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimne2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimne2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimne2.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
smfpimne2	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimne2.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1909	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ ℝ*
3	1, 2	nfan 1894	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*)
4		smfpimne2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		smfpimne2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ SAlg)
7		smfpimne2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9		smfpimne2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11	3, 4, 6, 8, 9, 10	smfpimne 46127	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
12	4	nfdm 5944	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
13	9, 12	nfcxfr 2895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
14	13	ssrab2f 44381	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ⊆ 𝐷
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ⊆ 𝐷)
16		nfv 1909	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ 𝐴 ∈ ℝ*
17	1, 16	nfan 1894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*)
18		ssidd 4000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐷 ⊆ 𝐷)
19		nne 2938	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
20		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
21	5, 7, 9	smff 46020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
22	21	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
25	20, 24	eqeltrrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	19, 25	sylan2b 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27	26	adantllr 716	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28		simpllr 773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ*)
29	27, 28	condan 815	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴)
30	13, 13, 17, 18, 29	ssrabdf 44379	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐷 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴})
31	15, 30	eqssd 3994	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} = 𝐷)
32	5, 7, 9	smfdmss 46021	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
33	5, 32	subsaluni 45648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
34	33	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
35	31, 34	eqeltrd 2827	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
36	11, 35	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2877   ≠ wne 2934  {crab 3426   ⊆ wss 3943  dom cdm 5669  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  ℝ^*cxr 11251   ↾_t crest 17375  SAlgcsalg 45596  SMblFncsmblfn 45983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-fl 13763  df-rest 17377  df-salg 45597  df-smblfn 45984

This theorem is referenced by:  smfdivdmmbl2  46129