Theorem smfpimne2 47595

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of reals that are different from a value is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. Notice that 𝐴 is not assumed to be an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimne2.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimne2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimne2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimne2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimne2.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
smfpimne2	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimne2.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ ℝ*
3	1, 2	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*)
4		smfpimne2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		smfpimne2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ SAlg)
7		smfpimne2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9		smfpimne2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
10		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11	3, 4, 6, 8, 9, 10	smfpimne 47594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
12	4	nfdm 5946	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
13	9, 12	nfcxfr 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
14	13	ssrab2f 45876	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ⊆ 𝐷
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ⊆ 𝐷)
16		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ 𝐴 ∈ ℝ*
17	1, 16	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*)
18		ssidd 3963	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐷 ⊆ 𝐷)
19		nne 2965	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
20		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
21	5, 7, 9	smff 47487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
22	21	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
25	20, 24	eqeltrrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	19, 25	sylan2b 606	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27	26	adantllr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ*)
29	27, 28	condan 830	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴)
30	13, 13, 17, 18, 29	ssrabdf 45874	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐷 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴})
31	15, 30	eqssd 3957	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} = 𝐷)
32	5, 7, 9	smfdmss 47488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
33	5, 32	subsaluni 47115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
34	33	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
35	31, 34	eqeltrd 2866	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
36	11, 35	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2913   ≠ wne 2961  {crab 3419   ⊆ wss 3908  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  ℝ^*cxr 11260   ↾_t crest 17498  SAlgcsalg 47063  SMblFncsmblfn 47450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-ac2 10465  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-card 9944  df-acn 9947  df-ac 10119  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-fl 13845  df-rest 17500  df-salg 47064  df-smblfn 47451

This theorem is used by:  smfdivdmmbl2  47596