Theorem smfpimne2 48055

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of reals that are different from a value is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. Notice that 𝐴 is not assumed to be an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimne2.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimne2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimne2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimne2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimne2.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
smfpimne2	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimne2.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1949	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ ℝ*
3	1, 2	nfan 1934	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*)
4		smfpimne2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		smfpimne2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ SAlg)
7		smfpimne2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9		smfpimne2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
10		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11	3, 4, 6, 8, 9, 10	smfpimne 48054	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
12	4	nfdm 5940	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
13	9, 12	nfcxfr 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
14	13	ssrab2f 46337	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ⊆ 𝐷
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ⊆ 𝐷)
16		nfv 1949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ 𝐴 ∈ ℝ*
17	1, 16	nfan 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*)
18		ssidd 3936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐷 ⊆ 𝐷)
19		nne 2963	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
20		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
21	5, 7, 9	smff 47947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
22	21	ffvelcdmda 7108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
25	20, 24	eqeltrrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	19, 25	sylan2b 606	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27	26	adantllr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ*)
29	27, 28	condan 830	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴)
30	13, 13, 17, 18, 29	ssrabdf 46335	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐷 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴})
31	15, 30	eqssd 3930	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} = 𝐷)
32	5, 7, 9	smfdmss 47948	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
33	5, 32	subsaluni 47575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
34	33	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
35	31, 34	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
36	11, 35	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911   ≠ wne 2959  {crab 3416   ⊆ wss 3900  dom cdm 5655  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  ℝ^*cxr 11369   ↾_t crest 17620  SAlgcsalg 47523  SMblFncsmblfn 47910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cc 10540  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-fl 13959  df-rest 17622  df-salg 47524  df-smblfn 47911

This theorem is used by:  smfdivdmmbl2  48056