Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimne2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimne2 46291
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of reals that are different from a value is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. Notice that 𝐴 is not assumed to be an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimne2.p β„²π‘₯πœ‘
smfpimne2.x β„²π‘₯𝐹
smfpimne2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimne2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfpimne2.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
smfpimne2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  𝐴} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem smfpimne2
StepHypRef Expression
1 smfpimne2.p . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
2 nfv 1909 . . . 4 β„²π‘₯ 𝐴 ∈ ℝ*
31, 2nfan 1894 . . 3 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 smfpimne2.x . . 3 β„²π‘₯𝐹
5 smfpimne2.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
65adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
7 smfpimne2.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
87adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
9 smfpimne2.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
10 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
113, 4, 6, 8, 9, 10smfpimne 46290 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  𝐴} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
124nfdm 5947 . . . . . . 7 β„²π‘₯dom 𝐹
139, 12nfcxfr 2890 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐷
1413ssrab2f 44548 . . . . 5 {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  𝐴} βŠ† 𝐷
1514a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  𝐴} βŠ† 𝐷)
16 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘₯ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ*
171, 16nfan 1894 . . . . 5 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ*)
18 ssidd 3996 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐷 βŠ† 𝐷)
19 nne 2934 . . . . . . . 8 (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  𝐴 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐴)
20 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐴)
215, 7, 9smff 46183 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
2221ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2322rexrd 11294 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
2423adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
2520, 24eqeltrrd 2826 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2619, 25sylan2b 592 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2726adantllr 717 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
28 simpllr 774 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ*)
2927, 28condan 816 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  𝐴)
3013, 13, 17, 18, 29ssrabdf 44546 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐷 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  𝐴})
3115, 30eqssd 3990 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  𝐴} = 𝐷)
325, 7, 9smfdmss 46184 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
335, 32subsaluni 45811 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3433adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ 𝐷 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3531, 34eqeltrd 2825 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  𝐴} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3611, 35pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  𝐴} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875   β‰  wne 2930  {crab 3419   βŠ† wss 3939  dom cdm 5672  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„cr 11137  β„*cxr 11277   β†Ύt crest 17401  SAlgcsalg 45759  SMblFncsmblfn 46146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-ac2 10486  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-card 9962  df-acn 9965  df-ac 10139  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-fl 13789  df-rest 17403  df-salg 45760  df-smblfn 46147
This theorem is referenced by:  smfdivdmmbl2  46292
  Copyright terms: Public domain W3C validator