Theorem smfpimne2 47120

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of reals that are different from a value is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. Notice that 𝐴 is not assumed to be an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimne2.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimne2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimne2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimne2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimne2.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
smfpimne2	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimne2.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ ℝ*
3	1, 2	nfan 1901	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*)
4		smfpimne2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		smfpimne2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ SAlg)
7		smfpimne2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9		smfpimne2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11	3, 4, 6, 8, 9, 10	smfpimne 47119	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
12	4	nfdm 5901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
13	9, 12	nfcxfr 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
14	13	ssrab2f 45397	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ⊆ 𝐷
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ⊆ 𝐷)
16		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ 𝐴 ∈ ℝ*
17	1, 16	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*)
18		ssidd 3958	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐷 ⊆ 𝐷)
19		nne 2937	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
20		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
21	5, 7, 9	smff 47012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
22	21	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
25	20, 24	eqeltrrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	19, 25	sylan2b 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27	26	adantllr 720	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28		simpllr 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ*)
29	27, 28	condan 818	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴)
30	13, 13, 17, 18, 29	ssrabdf 45395	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐷 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴})
31	15, 30	eqssd 3952	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} = 𝐷)
32	5, 7, 9	smfdmss 47013	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
33	5, 32	subsaluni 46640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
34	33	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
35	31, 34	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
36	11, 35	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884   ≠ wne 2933  {crab 3400   ⊆ wss 3902  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  ℝ^*cxr 11169   ↾_t crest 17344  SAlgcsalg 46588  SMblFncsmblfn 46975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cc 10349  ax-ac2 10377  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-card 9855  df-acn 9858  df-ac 10030  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-fl 13716  df-rest 17346  df-salg 46589  df-smblfn 46976

This theorem is referenced by:  smfdivdmmbl2  47121