Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfle 45060
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all right-closed intervals unbounded below are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be b subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (ii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfle.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfle.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
issmfle (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,π‘₯   𝐹,π‘Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem issmfle
Dummy variables 𝑏 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfle.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
21adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
4 issmfle.d . . . . . 6 𝐷 = dom 𝐹
52, 3, 4smfdmss 45048 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
62, 3, 4smff 45047 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
7 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘πœ‘
8 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)
97, 8nfan 1903 . . . . . 6 Ⅎ𝑏(πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
10 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘¦πœ‘
11 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)
1210, 11nfan 1903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
13 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦 𝑏 ∈ ℝ
1412, 13nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
15 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑐((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
161uniexd 7684 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
18 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
1917, 18ssexd 5286 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ V)
205, 19syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐷 ∈ V)
21 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt 𝐷)
222, 20, 21subsalsal 44674 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
2322adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
246frexr 43693 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„*)
2524adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„*)
2625ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
272adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
283adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
29 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
3027, 28, 4, 29smfpreimalt 45046 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) < 𝑐} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3130adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) < 𝑐} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
32 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
3314, 15, 23, 26, 31, 32salpreimaltle 45041 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3433ex 414 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝑏 ∈ ℝ β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
359, 34ralrimi 3243 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
365, 6, 353jca 1129 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
3736ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
38 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆
39 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦 𝐹:π·βŸΆβ„
40 nfcv 2908 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦ℝ
41 nfrab1 3429 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏}
42 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦(𝑆 β†Ύt 𝐷)
4341, 42nfel 2922 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
4440, 43nfralw 3297 . . . . . . 7 β„²π‘¦βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
4538, 39, 44nf3an 1905 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4610, 45nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
47 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆
48 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏 𝐹:π·βŸΆβ„
49 nfra1 3270 . . . . . . 7 β„²π‘βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
5047, 48, 49nf3an 1905 . . . . . 6 Ⅎ𝑏(𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
517, 50nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑏(πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
521adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
53 simpr1 1195 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
54 simpr2 1196 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
55 rspa 3234 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
56553ad2antl3 1188 . . . . . 6 (((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5756adantll 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5846, 51, 52, 4, 53, 54, 57issmflelem 45059 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
5958ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)))
6037, 59impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
61 breq2 5114 . . . . . . . 8 (𝑏 = π‘Ž β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏 ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž))
6261rabbidv 3418 . . . . . . 7 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž})
63 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
6463breq1d 5120 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž))
6564cbvrabv 3420 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž}
6665a1i 11 . . . . . . 7 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž})
6762, 66eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž})
6867eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ ({𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
6968cbvralvw 3228 . . . 4 (βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
70693anbi3i 1160 . . 3 ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
7170a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
7260, 71bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   β†Ύt crest 17309  SAlgcsalg 44623  SMblFncsmblfn 45010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-fl 13704  df-rest 17311  df-salg 44624  df-smblfn 45011
This theorem is referenced by:  smfpreimale  45069  issmfgt  45071  issmfled  45072
  Copyright terms: Public domain W3C validator