Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsuplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsuplem3 43908
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsuplem3.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem3.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsuplem3.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem3.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem3.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem3.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfsuplem3 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem smfsuplem3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1921 . 2 𝑎𝜑
2 smfsuplem3.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsuplem3.d . . . . 5 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
4 ssrab2 3970 . . . . 5 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ⊆ 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
53, 4eqsstri 3912 . . . 4 𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
7 smfsuplem3.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 uzid 12342 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
10 smfsuplem3.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
119, 10eleqtrrdi 2845 . . . 4 (𝜑𝑀𝑍)
12 fveq2 6677 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑀))
1312dmeqd 5749 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑀))
14 smfsuplem3.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
1514, 11ffvelrnd 6865 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ (SMblFn‘𝑆))
16 eqid 2739 . . . . 5 dom (𝐹𝑀) = dom (𝐹𝑀)
172, 15, 16smfdmss 43831 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐹𝑀) ⊆ 𝑆)
1811, 13, 17iinssd 42241 . . 3 (𝜑 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ 𝑆)
196, 18sstrd 3888 . 2 (𝜑𝐷 𝑆)
20 nfv 1921 . . . 4 𝑛(𝜑𝑥𝐷)
2111ne0d 4225 . . . . 5 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
2221adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
232adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
2414ffvelrnda 6864 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
25 eqid 2739 . . . . . . 7 dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑛)
2623, 24, 25smff 43830 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
2726adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
28 iinss2 4944 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
2928adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
305sseli 3874 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
3130adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
3229, 31sseldd 3879 . . . . . 6 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3332adantll 714 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3427, 33ffvelrnd 6865 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
353rabeq2i 3390 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
3635simprbi 500 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3736adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3820, 22, 34, 37suprclrnmpt 42357 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
39 smfsuplem3.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
4038, 39fmptd 6891 . 2 (𝜑𝐺:𝐷⟶ℝ)
417adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
422adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
4314adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
44 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
4541, 10, 42, 43, 3, 39, 44smfsuplem2 43907 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆t 𝐷))
461, 2, 19, 40, 45issmfle2d 43904 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wral 3054  wrex 3055  {crab 3058  wss 3844  c0 4212   cuni 4797   ciin 4883   class class class wbr 5031  cmpt 5111  dom cdm 5526  ran crn 5527  wf 6336  cfv 6340  supcsup 8980  cr 10617   < clt 10756  cle 10757  cz 12065  cuz 12327  SAlgcsalg 43414  SMblFncsmblfn 43798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-inf2 9180  ax-cc 9938  ax-ac2 9966  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-oadd 8138  df-omul 8139  df-er 8323  df-map 8442  df-pm 8443  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-sup 8982  df-inf 8983  df-oi 9050  df-card 9444  df-acn 9447  df-ac 9619  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-q 12434  df-rp 12476  df-ioo 12828  df-ioc 12829  df-ico 12830  df-fl 13256  df-rest 16802  df-topgen 16823  df-top 21648  df-bases 21700  df-salg 43415  df-salgen 43419  df-smblfn 43799
This theorem is referenced by:  smfsup  43909
  Copyright terms: Public domain W3C validator