Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsuplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsuplem3 46833
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsuplem3.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem3.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsuplem3.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem3.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem3.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem3.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfsuplem3 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem smfsuplem3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1913 . 2 𝑎𝜑
2 smfsuplem3.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsuplem3.d . . . . 5 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
4 ssrab2 4079 . . . . 5 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ⊆ 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
53, 4eqsstri 4029 . . . 4 𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
7 smfsuplem3.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 uzid 12894 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
10 smfsuplem3.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
119, 10eleqtrrdi 2851 . . . 4 (𝜑𝑀𝑍)
12 fveq2 6905 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑀))
1312dmeqd 5915 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑀))
14 smfsuplem3.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
1514, 11ffvelcdmd 7104 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ (SMblFn‘𝑆))
16 eqid 2736 . . . . 5 dom (𝐹𝑀) = dom (𝐹𝑀)
172, 15, 16smfdmss 46753 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐹𝑀) ⊆ 𝑆)
1811, 13, 17iinssd 45141 . . 3 (𝜑 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ 𝑆)
196, 18sstrd 3993 . 2 (𝜑𝐷 𝑆)
20 nfv 1913 . . . 4 𝑛(𝜑𝑥𝐷)
2111ne0d 4341 . . . . 5 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
2221adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
232adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
2414ffvelcdmda 7103 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
25 eqid 2736 . . . . . . 7 dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑛)
2623, 24, 25smff 46752 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
2726adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
28 iinss2 5056 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
2928adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
305sseli 3978 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
3229, 31sseldd 3983 . . . . . 6 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3332adantll 714 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3427, 33ffvelcdmd 7104 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
353reqabi 3459 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
3635simprbi 496 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3736adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3820, 22, 34, 37suprclrnmpt 45263 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
39 smfsuplem3.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
4038, 39fmptd 7133 . 2 (𝜑𝐺:𝐷⟶ℝ)
417adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
422adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
4314adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
44 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
4541, 10, 42, 43, 3, 39, 44smfsuplem2 46832 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆t 𝐷))
461, 2, 19, 40, 45issmfle2d 46829 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  wss 3950  c0 4332   cuni 4906   ciin 4991   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  ran crn 5685  wf 6556  cfv 6560  supcsup 9481  cr 11155   < clt 11296  cle 11297  cz 12615  cuz 12879  SAlgcsalg 46328  SMblFncsmblfn 46715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cc 10476  ax-ac2 10504  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-acn 9983  df-ac 10157  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-fl 13833  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22901  df-bases 22954  df-salg 46329  df-salgen 46333  df-smblfn 46716
This theorem is referenced by:  smfsup  46834
  Copyright terms: Public domain W3C validator