Theorem smfsuplem3 44233

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsuplem3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem3.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsuplem3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem3.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem3.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfsuplem3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem smfsuplem3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1918	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfsuplem3.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfsuplem3.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
4		ssrab2 4009	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
5	3, 4	eqsstri 3951	. . . 4 ⊢ 𝐷 ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
7		smfsuplem3.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		uzid 12526	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		smfsuplem3.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	9, 10	eleqtrrdi 2850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
12		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑀))
13	12	dmeqd 5803	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑀))
14		smfsuplem3.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
15	14, 11	ffvelrnd 6944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ (SMblFn‘𝑆))
16		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹‘𝑀) = dom (𝐹‘𝑀)
17	2, 15, 16	smfdmss 44156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹‘𝑀) ⊆ ∪ 𝑆)
18	11, 13, 17	iinssd 42569	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑆)
19	6, 18	sstrd 3927	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
20		nfv 1918	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
21	11	ne0d 4266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
23	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
24	14	ffvelrnda 6943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
25		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑛)
26	23, 24, 25	smff 44155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
27	26	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
28		iinss2 4983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ⊆ dom (𝐹‘𝑛))
29	28	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ⊆ dom (𝐹‘𝑛))
30	5	sseli 3913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
32	29, 31	sseldd 3918	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
33	32	adantll 710	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
34	27, 33	ffvelrnd 6944	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
35	3	rabeq2i 3412	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
36	35	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
37	36	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
38	20, 22, 34, 37	suprclrnmpt 42686	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
39		smfsuplem3.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
40	38, 39	fmptd 6970	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶ℝ)
41	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
42	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
43	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
44		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
45	41, 10, 42, 43, 3, 39, 44	smfsuplem2 44232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
46	1, 2, 19, 40, 45	issmfle2d 44229	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ∪ cuni 4836  ∩ ciin 4922   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ran crn 5581  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  supcsup 9129  ℝcr 10801   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  SAlgcsalg 43739  SMblFncsmblfn 44123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-fl 13440  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-top 21951  df-bases 22004  df-salg 43740  df-salgen 43744  df-smblfn 44124

This theorem is referenced by:  smfsup  44234