Theorem smfsuplem3 47527

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsuplem3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem3.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsuplem3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem3.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem3.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfsuplem3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem smfsuplem3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1944	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfsuplem3.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfsuplem3.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
4		ssrab2 4034	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
5	3, 4	eqsstri 3983	. . . 4 ⊢ 𝐷 ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
7		smfsuplem3.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		uzid 12872	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		smfsuplem3.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	9, 10	eleqtrrdi 2874	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
12		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑀))
13	12	dmeqd 5895	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑀))
14		smfsuplem3.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
15	14, 11	ffvelcdmd 7080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ (SMblFn‘𝑆))
16		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹‘𝑀) = dom (𝐹‘𝑀)
17	2, 15, 16	smfdmss 47447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹‘𝑀) ⊆ ∪ 𝑆)
18	11, 13, 17	iinssd 45849	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑆)
19	6, 18	sstrd 3947	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
20		nfv 1944	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
21	11	ne0d 4295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
22	21	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
23	2	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
24	14	ffvelcdmda 7079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
25		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑛)
26	23, 24, 25	smff 47446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
27	26	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
28		iinss2 5022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ⊆ dom (𝐹‘𝑛))
29	28	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ⊆ dom (𝐹‘𝑛))
30	5	sseli 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
31	30	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
32	29, 31	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
33	32	adantll 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
34	27, 33	ffvelcdmd 7080	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
35	3	reqabi 3439	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
36	35	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
37	36	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
38	20, 22, 34, 37	suprclrnmpt 45966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
39		smfsuplem3.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
40	38, 39	fmptd 7109	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶ℝ)
41	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
42	2	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
43	14	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
44		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
45	41, 10, 42, 43, 3, 39, 44	smfsuplem2 47526	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
46	1, 2, 19, 40, 45	issmfle2d 47523	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∪ cuni 4872  ∩ ciin 4957   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661  ran crn 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  supcsup 9396  ℝcr 11094   < clt 11238   ≤ cle 11239  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  SAlgcsalg 47022  SMblFncsmblfn 47409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10414  ax-ac2 10442  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10096  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-fl 13821  df-rest 17470  df-topgen 17491  df-top 23051  df-bases 23103  df-salg 47023  df-salgen 47027  df-smblfn 47410

This theorem is referenced by:  smfsup  47528