Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsuplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsuplem3 45207
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsuplem3.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smfsuplem3.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfsuplem3.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem3.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smfsuplem3.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦}
smfsuplem3.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfsuplem3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑛,𝐹,π‘₯,𝑦   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛,𝑦   𝑛,𝑍,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,𝑦,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem smfsuplem3
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . 2 β„²π‘Žπœ‘
2 smfsuplem3.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsuplem3.d . . . . 5 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦}
4 ssrab2 4057 . . . . 5 {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} βŠ† ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
53, 4eqsstri 3996 . . . 4 𝐷 βŠ† ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
7 smfsuplem3.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8 uzid 12802 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
97, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
10 smfsuplem3.z . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
119, 10eleqtrrdi 2843 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
12 fveq2 6862 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘€))
1312dmeqd 5881 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 β†’ dom (πΉβ€˜π‘›) = dom (πΉβ€˜π‘€))
14 smfsuplem3.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
1514, 11ffvelcdmd 7056 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
16 eqid 2731 . . . . 5 dom (πΉβ€˜π‘€) = dom (πΉβ€˜π‘€)
172, 15, 16smfdmss 45127 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (πΉβ€˜π‘€) βŠ† βˆͺ 𝑆)
1811, 13, 17iinssd 43496 . . 3 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑆)
196, 18sstrd 3972 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
20 nfv 1917 . . . 4 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)
2111ne0d 4315 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
2221adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
232adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
2414ffvelcdmda 7055 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
25 eqid 2731 . . . . . . 7 dom (πΉβ€˜π‘›) = dom (πΉβ€˜π‘›)
2623, 24, 25smff 45126 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„)
2726adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„)
28 iinss2 5037 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) βŠ† dom (πΉβ€˜π‘›))
2928adantl 482 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) βŠ† dom (πΉβ€˜π‘›))
305sseli 3958 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
3130adantr 481 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
3229, 31sseldd 3963 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
3332adantll 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
3427, 33ffvelcdmd 7056 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
353reqabi 3440 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦))
3635simprbi 497 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
3736adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
3820, 22, 34, 37suprclrnmpt 43633 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
39 smfsuplem3.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
4038, 39fmptd 7082 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:π·βŸΆβ„)
417adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
422adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4314adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
44 simpr 485 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
4541, 10, 42, 43, 3, 39, 44smfsuplem2 45206 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
461, 2, 19, 40, 45issmfle2d 45203 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3418   βŠ† wss 3928  βˆ…c0 4302  βˆͺ cuni 4885  βˆ© ciin 4975   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5208  dom cdm 5653  ran crn 5654  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  supcsup 9400  β„cr 11074   < clt 11213   ≀ cle 11214  β„€cz 12523  β„€β‰₯cuz 12787  SAlgcsalg 44702  SMblFncsmblfn 45089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-fl 13722  df-rest 17333  df-topgen 17354  df-top 22295  df-bases 22348  df-salg 44703  df-salgen 44707  df-smblfn 45090
This theorem is referenced by:  smfsup  45208
  Copyright terms: Public domain W3C validator