Theorem smfsuplem3 47256

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsuplem3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem3.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsuplem3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem3.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem3.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfsuplem3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem smfsuplem3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1921	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfsuplem3.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfsuplem3.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
4		ssrab2 4011	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
5	3, 4	eqsstri 3961	. . . 4 ⊢ 𝐷 ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
7		smfsuplem3.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		uzid 12794	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		smfsuplem3.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	9, 10	eleqtrrdi 2850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
12		fveq2 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑀))
13	12	dmeqd 5847	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑀))
14		smfsuplem3.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
15	14, 11	ffvelcdmd 7026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ (SMblFn‘𝑆))
16		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹‘𝑀) = dom (𝐹‘𝑀)
17	2, 15, 16	smfdmss 47176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹‘𝑀) ⊆ ∪ 𝑆)
18	11, 13, 17	iinssd 45578	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑆)
19	6, 18	sstrd 3925	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
20		nfv 1921	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
21	11	ne0d 4270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
22	21	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
23	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
24	14	ffvelcdmda 7025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
25		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑛)
26	23, 24, 25	smff 47175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
27	26	adantlr 721	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
28		iinss2 4987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ⊆ dom (𝐹‘𝑛))
29	28	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ⊆ dom (𝐹‘𝑛))
30	5	sseli 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
32	29, 31	sseldd 3916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
33	32	adantll 720	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
34	27, 33	ffvelcdmd 7026	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
35	3	reqabi 3414	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
36	35	simprbi 498	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
37	36	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
38	20, 22, 34, 37	suprclrnmpt 45695	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
39		smfsuplem3.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
40	38, 39	fmptd 7055	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶ℝ)
41	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
42	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
43	14	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
44		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
45	41, 10, 42, 43, 3, 39, 44	smfsuplem2 47255	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
46	1, 2, 19, 40, 45	issmfle2d 47252	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  ∪ cuni 4838  ∩ ciin 4922   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ran crn 5619  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  supcsup 9343  ℝcr 11028   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  SAlgcsalg 46751  SMblFncsmblfn 47138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-fl 13742  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-top 22877  df-bases 22929  df-salg 46752  df-salgen 46756  df-smblfn 47139

This theorem is referenced by:  smfsup  47257