Theorem smfsuplem3 45827

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsuplem3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem3.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsuplem3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem3.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem3.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfsuplem3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem smfsuplem3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1915	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfsuplem3.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfsuplem3.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
4		ssrab2 4076	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
5	3, 4	eqsstri 4015	. . . 4 ⊢ 𝐷 ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
7		smfsuplem3.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		uzid 12841	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		smfsuplem3.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	9, 10	eleqtrrdi 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
12		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑀))
13	12	dmeqd 5904	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑀))
14		smfsuplem3.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
15	14, 11	ffvelcdmd 7086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ (SMblFn‘𝑆))
16		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹‘𝑀) = dom (𝐹‘𝑀)
17	2, 15, 16	smfdmss 45747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹‘𝑀) ⊆ ∪ 𝑆)
18	11, 13, 17	iinssd 44121	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑆)
19	6, 18	sstrd 3991	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
20		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
21	11	ne0d 4334	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
22	21	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
23	2	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
24	14	ffvelcdmda 7085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
25		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑛)
26	23, 24, 25	smff 45746	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
27	26	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
28		iinss2 5059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ⊆ dom (𝐹‘𝑛))
29	28	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ⊆ dom (𝐹‘𝑛))
30	5	sseli 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
31	30	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
32	29, 31	sseldd 3982	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
33	32	adantll 710	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
34	27, 33	ffvelcdmd 7086	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
35	3	reqabi 3452	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
36	35	simprbi 495	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
37	36	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
38	20, 22, 34, 37	suprclrnmpt 44253	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
39		smfsuplem3.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
40	38, 39	fmptd 7114	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶ℝ)
41	7	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
42	2	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
43	14	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
44		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
45	41, 10, 42, 43, 3, 39, 44	smfsuplem2 45826	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
46	1, 2, 19, 40, 45	issmfle2d 45823	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3430   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ∪ cuni 4907  ∩ ciin 4997   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  supcsup 9437  ℝcr 11111   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  SAlgcsalg 45322  SMblFncsmblfn 45709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-fl 13761  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-bases 22669  df-salg 45323  df-salgen 45327  df-smblfn 45710

This theorem is referenced by:  smfsup  45828