Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsuplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsuplem3 45987
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsuplem3.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem3.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsuplem3.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem3.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem3.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem3.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfsuplem3 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem smfsuplem3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1916 . 2 𝑎𝜑
2 smfsuplem3.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsuplem3.d . . . . 5 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
4 ssrab2 4077 . . . . 5 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ⊆ 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
53, 4eqsstri 4016 . . . 4 𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
7 smfsuplem3.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 uzid 12844 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
10 smfsuplem3.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
119, 10eleqtrrdi 2843 . . . 4 (𝜑𝑀𝑍)
12 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑀))
1312dmeqd 5905 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑀))
14 smfsuplem3.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
1514, 11ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ (SMblFn‘𝑆))
16 eqid 2731 . . . . 5 dom (𝐹𝑀) = dom (𝐹𝑀)
172, 15, 16smfdmss 45907 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐹𝑀) ⊆ 𝑆)
1811, 13, 17iinssd 44281 . . 3 (𝜑 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ 𝑆)
196, 18sstrd 3992 . 2 (𝜑𝐷 𝑆)
20 nfv 1916 . . . 4 𝑛(𝜑𝑥𝐷)
2111ne0d 4335 . . . . 5 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
2221adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
232adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
2414ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
25 eqid 2731 . . . . . . 7 dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑛)
2623, 24, 25smff 45906 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
2726adantlr 712 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
28 iinss2 5060 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
2928adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
305sseli 3978 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
3229, 31sseldd 3983 . . . . . 6 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3332adantll 711 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3427, 33ffvelcdmd 7087 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
353reqabi 3453 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
3635simprbi 496 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3736adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3820, 22, 34, 37suprclrnmpt 44413 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
39 smfsuplem3.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
4038, 39fmptd 7115 . 2 (𝜑𝐺:𝐷⟶ℝ)
417adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
422adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
4314adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
44 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
4541, 10, 42, 43, 3, 39, 44smfsuplem2 45986 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆t 𝐷))
461, 2, 19, 40, 45issmfle2d 45983 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  wss 3948  c0 4322   cuni 4908   ciin 4998   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  wf 6539  cfv 6543  supcsup 9441  cr 11115   < clt 11255  cle 11256  cz 12565  cuz 12829  SAlgcsalg 45482  SMblFncsmblfn 45869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-ac2 10464  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-acn 9943  df-ac 10117  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-fl 13764  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-top 22715  df-bases 22768  df-salg 45483  df-salgen 45487  df-smblfn 45870
This theorem is referenced by:  smfsup  45988
  Copyright terms: Public domain W3C validator