Theorem smfsuplem3 47641

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsuplem3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem3.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsuplem3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem3.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem3.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfsuplem3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑀(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem smfsuplem3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfsuplem3.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfsuplem3.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
4		ssrab2 4028	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
5	3, 4	eqsstri 3977	. . . 4 ⊢ 𝐷 ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
7		smfsuplem3.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		uzid 12902	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		smfsuplem3.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	9, 10	eleqtrrdi 2871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
12		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑀))
13	12	dmeqd 5889	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑀))
14		smfsuplem3.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
15	14, 11	ffvelcdmd 7078	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ (SMblFn‘𝑆))
16		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹‘𝑀) = dom (𝐹‘𝑀)
17	2, 15, 16	smfdmss 47561	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹‘𝑀) ⊆ ∪ 𝑆)
18	11, 13, 17	iinssd 45963	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑆)
19	6, 18	sstrd 3941	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
20		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
21	11	ne0d 4288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
22	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
23	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
24	14	ffvelcdmda 7077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
25		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑛)
26	23, 24, 25	smff 47560	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
27	26	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
28		iinss2 5016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ⊆ dom (𝐹‘𝑛))
29	28	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ⊆ dom (𝐹‘𝑛))
30	5	sseli 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
31	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
32	29, 31	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
33	32	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
34	27, 33	ffvelcdmd 7078	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
35	3	reqabi 3434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
36	35	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
37	36	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
38	20, 22, 34, 37	suprclrnmpt 46080	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
39		smfsuplem3.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
40	38, 39	fmptd 7107	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶ℝ)
41	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
42	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
43	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
44		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
45	41, 10, 42, 43, 3, 39, 44	smfsuplem2 47640	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
46	1, 2, 19, 40, 45	issmfle2d 47637	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867  ∩ ciin 4952   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  ran crn 5656  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  supcsup 9410  ℝcr 11123   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  SAlgcsalg 47136  SMblFncsmblfn 47523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-fl 13853  df-rest 17507  df-topgen 17528  df-top 23119  df-bases 23171  df-salg 47137  df-salgen 47141  df-smblfn 47524

This theorem is used by:  smfsup  47642