Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsuplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsuplem3 43231
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsuplem3.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem3.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsuplem3.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem3.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem3.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem3.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfsuplem3 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem smfsuplem3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . 2 𝑎𝜑
2 smfsuplem3.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 smfsuplem3.d . . . . 5 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
4 ssrab2 4031 . . . . 5 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ⊆ 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
53, 4eqsstri 3976 . . . 4 𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
7 smfsuplem3.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 uzid 12233 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
10 smfsuplem3.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
119, 10eleqtrrdi 2922 . . . 4 (𝜑𝑀𝑍)
12 fveq2 6642 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑀))
1312dmeqd 5746 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑀))
14 smfsuplem3.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
1514, 11ffvelrnd 6824 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ (SMblFn‘𝑆))
16 eqid 2820 . . . . 5 dom (𝐹𝑀) = dom (𝐹𝑀)
172, 15, 16smfdmss 43154 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐹𝑀) ⊆ 𝑆)
1811, 13, 17iinssd 41547 . . 3 (𝜑 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ 𝑆)
196, 18sstrd 3952 . 2 (𝜑𝐷 𝑆)
20 nfv 1915 . . . 4 𝑛(𝜑𝑥𝐷)
2111ne0d 4273 . . . . 5 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
2221adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
232adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
2414ffvelrnda 6823 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
25 eqid 2820 . . . . . . 7 dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑛)
2623, 24, 25smff 43153 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
2726adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
28 iinss2 4953 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
2928adantl 484 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ⊆ dom (𝐹𝑛))
305sseli 3938 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
3130adantr 483 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
3229, 31sseldd 3943 . . . . . 6 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3332adantll 712 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
3427, 33ffvelrnd 6824 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
353rabeq2i 3463 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
3635simprbi 499 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3736adantl 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
3820, 22, 34, 37suprclrnmpt 41673 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
39 smfsuplem3.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
4038, 39fmptd 6850 . 2 (𝜑𝐺:𝐷⟶ℝ)
417adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
422adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
4314adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
44 simpr 487 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
4541, 10, 42, 43, 3, 39, 44smfsuplem2 43230 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆t 𝐷))
461, 2, 19, 40, 45issmfle2d 43227 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  wral 3125  wrex 3126  {crab 3129  wss 3909  c0 4265   cuni 4810   ciin 4892   class class class wbr 5038  cmpt 5118  dom cdm 5527  ran crn 5528  wf 6323  cfv 6327  supcsup 8878  cr 10510   < clt 10649  cle 10650  cz 11956  cuz 12218  SAlgcsalg 42737  SMblFncsmblfn 43121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-inf2 9078  ax-cc 9831  ax-ac2 9859  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-pre-sup 10589
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-oadd 8080  df-omul 8081  df-er 8263  df-map 8382  df-pm 8383  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-sup 8880  df-inf 8881  df-oi 8948  df-card 9342  df-acn 9345  df-ac 9516  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-div 11272  df-nn 11613  df-n0 11873  df-z 11957  df-uz 12219  df-q 12324  df-rp 12365  df-ioo 12717  df-ioc 12718  df-ico 12719  df-fl 13142  df-rest 16671  df-topgen 16692  df-top 21474  df-bases 21526  df-salg 42738  df-salgen 42742  df-smblfn 43122
This theorem is referenced by:  smfsup  43232
  Copyright terms: Public domain W3C validator