Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfge Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem issmfge 46040
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-closed intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be b subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iv) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfge.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfge.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
issmfge (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,π‘₯   𝐹,π‘Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)   𝑆(π‘₯)
Proof of Theorem issmfge
Dummy variables 𝑏 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfge.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
21adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
4 issmfge.d . . . . . 6 𝐷 = dom 𝐹
52, 3, 4smfdmss 46003 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
62, 3, 4smff 46002 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
7 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘¦πœ‘
8 nfv 1909 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)
97, 8nfan 1894 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
10 nfv 1909 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦 𝑏 ∈ ℝ
119, 10nfan 1894 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
12 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑐((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
131uniexd 7728 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
15 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
1614, 15ssexd 5317 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ V)
175, 16syldan 590 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐷 ∈ V)
18 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt 𝐷)
192, 17, 18subsalsal 45629 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
2019adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
216ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2221rexrd 11265 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
2322adantlr 712 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
242adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
253adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
26 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
2724, 25, 4, 26smfpreimagt 46032 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑐 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
2827adantlr 712 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑐 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
29 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
3011, 12, 20, 23, 28, 29salpreimagtge 45995 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3130ralrimiva 3140 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
325, 6, 313jca 1125 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
3332ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
34 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆
35 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦 𝐹:π·βŸΆβ„
36 nfcv 2897 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦ℝ
37 nfrab1 3445 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)}
38 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦(𝑆 β†Ύt 𝐷)
3937, 38nfel 2911 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
4036, 39nfralw 3302 . . . . . . 7 β„²π‘¦βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
4134, 35, 40nf3an 1896 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
427, 41nfan 1894 . . . . 5 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
43 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘πœ‘
44 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆
45 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏 𝐹:π·βŸΆβ„
46 nfra1 3275 . . . . . . 7 β„²π‘βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
4744, 45, 46nf3an 1896 . . . . . 6 Ⅎ𝑏(𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4843, 47nfan 1894 . . . . 5 Ⅎ𝑏(πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
491adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
50 simpr1 1191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
51 simpr2 1192 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
52 simpr3 1193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5342, 48, 49, 4, 50, 51, 52issmfgelem 46039 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
5453ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)))
5533, 54impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
56 breq1 5144 . . . . . . . 8 (𝑏 = π‘Ž β†’ (𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
5756rabbidv 3434 . . . . . . 7 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘¦)})
58 fveq2 6884 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
5958breq2d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
6059cbvrabv 3436 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)}
6160a1i 11 . . . . . . 7 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)})
6257, 61eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)})
6362eleq1d 2812 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ ({𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
6463cbvralvw 3228 . . . 4 (βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
65643anbi3i 1156 . . 3 ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
6665a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
6755, 66bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250   β†Ύt crest 17372  SAlgcsalg 45578  SMblFncsmblfn 45965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-fl 13760  df-rest 17374  df-salg 45579  df-smblfn 45966
This theorem is referenced by:  smfpreimage  46052
  Copyright terms: Public domain W3C validator