Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfge 45085
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-closed intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be b subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iv) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfge.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfge.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
issmfge (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,π‘₯   𝐹,π‘Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem issmfge
Dummy variables 𝑏 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfge.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
21adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
4 issmfge.d . . . . . 6 𝐷 = dom 𝐹
52, 3, 4smfdmss 45048 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
62, 3, 4smff 45047 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
7 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘¦πœ‘
8 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)
97, 8nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
10 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦 𝑏 ∈ ℝ
119, 10nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
12 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑐((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
131uniexd 7684 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
1413adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
15 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
1614, 15ssexd 5286 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ V)
175, 16syldan 592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐷 ∈ V)
18 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt 𝐷)
192, 17, 18subsalsal 44674 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
2019adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
216ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2221rexrd 11212 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
2322adantlr 714 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
242adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
253adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
26 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
2724, 25, 4, 26smfpreimagt 45077 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑐 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
2827adantlr 714 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑐 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
29 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
3011, 12, 20, 23, 28, 29salpreimagtge 45040 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3130ralrimiva 3144 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
325, 6, 313jca 1129 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
3332ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
34 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆
35 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦 𝐹:π·βŸΆβ„
36 nfcv 2908 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦ℝ
37 nfrab1 3429 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)}
38 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦(𝑆 β†Ύt 𝐷)
3937, 38nfel 2922 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
4036, 39nfralw 3297 . . . . . . 7 β„²π‘¦βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
4134, 35, 40nf3an 1905 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
427, 41nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
43 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘πœ‘
44 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆
45 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏 𝐹:π·βŸΆβ„
46 nfra1 3270 . . . . . . 7 β„²π‘βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
4744, 45, 46nf3an 1905 . . . . . 6 Ⅎ𝑏(𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4843, 47nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑏(πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
491adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
50 simpr1 1195 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
51 simpr2 1196 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
52 simpr3 1197 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5342, 48, 49, 4, 50, 51, 52issmfgelem 45084 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
5453ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)))
5533, 54impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
56 breq1 5113 . . . . . . . 8 (𝑏 = π‘Ž β†’ (𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
5756rabbidv 3418 . . . . . . 7 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘¦)})
58 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
5958breq2d 5122 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
6059cbvrabv 3420 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)}
6160a1i 11 . . . . . . 7 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)})
6257, 61eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)})
6362eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ ({𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
6463cbvralvw 3228 . . . 4 (βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
65643anbi3i 1160 . . 3 ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
6665a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
6755, 66bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   β†Ύt crest 17309  SAlgcsalg 44623  SMblFncsmblfn 45010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-fl 13704  df-rest 17311  df-salg 44624  df-smblfn 45011
This theorem is referenced by:  smfpreimage  45097
  Copyright terms: Public domain W3C validator