Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfge Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem issmfge 46187
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-closed intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be b subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iv) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfge.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfge.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
issmfge (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,π‘₯   𝐹,π‘Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)   𝑆(π‘₯)
Proof of Theorem issmfge
Dummy variables 𝑏 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfge.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
21adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
4 issmfge.d . . . . . 6 𝐷 = dom 𝐹
52, 3, 4smfdmss 46150 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
62, 3, 4smff 46149 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
7 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘¦πœ‘
8 nfv 1909 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)
97, 8nfan 1894 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
10 nfv 1909 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦 𝑏 ∈ ℝ
119, 10nfan 1894 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
12 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑐((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
131uniexd 7753 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
1413adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
15 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
1614, 15ssexd 5328 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ V)
175, 16syldan 589 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐷 ∈ V)
18 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt 𝐷)
192, 17, 18subsalsal 45776 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
2019adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
216ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2221rexrd 11302 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
2322adantlr 713 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
242adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
253adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
26 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
2724, 25, 4, 26smfpreimagt 46179 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑐 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
2827adantlr 713 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑐 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
29 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
3011, 12, 20, 23, 28, 29salpreimagtge 46142 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3130ralrimiva 3143 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
325, 6, 313jca 1125 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
3332ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
34 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆
35 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦 𝐹:π·βŸΆβ„
36 nfcv 2899 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦ℝ
37 nfrab1 3450 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)}
38 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦(𝑆 β†Ύt 𝐷)
3937, 38nfel 2914 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
4036, 39nfralw 3306 . . . . . . 7 β„²π‘¦βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
4134, 35, 40nf3an 1896 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
427, 41nfan 1894 . . . . 5 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
43 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘πœ‘
44 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆
45 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏 𝐹:π·βŸΆβ„
46 nfra1 3279 . . . . . . 7 β„²π‘βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
4744, 45, 46nf3an 1896 . . . . . 6 Ⅎ𝑏(𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4843, 47nfan 1894 . . . . 5 Ⅎ𝑏(πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
491adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
50 simpr1 1191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
51 simpr2 1192 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
52 simpr3 1193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5342, 48, 49, 4, 50, 51, 52issmfgelem 46186 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
5453ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)))
5533, 54impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
56 breq1 5155 . . . . . . . 8 (𝑏 = π‘Ž β†’ (𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
5756rabbidv 3438 . . . . . . 7 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘¦)})
58 fveq2 6902 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
5958breq2d 5164 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
6059cbvrabv 3441 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)}
6160a1i 11 . . . . . . 7 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)})
6257, 61eqtrd 2768 . . . . . 6 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)})
6362eleq1d 2814 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ ({𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
6463cbvralvw 3232 . . . 4 (βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
65643anbi3i 1156 . . 3 ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
6665a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
6755, 66bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4912   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11145  β„*cxr 11285   < clt 11286   ≀ cle 11287   β†Ύt crest 17409  SAlgcsalg 45725  SMblFncsmblfn 46112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cc 10466  ax-ac2 10494  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-card 9970  df-acn 9973  df-ac 10147  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-fl 13797  df-rest 17411  df-salg 45726  df-smblfn 46113
This theorem is referenced by:  smfpreimage  46199
  Copyright terms: Public domain W3C validator