Theorem smfpimioo 46743

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimioo.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimioo.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
smfpimioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimioo	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Proof of Theorem smfpimioo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimioo.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		smfpimioo.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3		smfpimioo.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4	1, 2, 3	smff 46688	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
5	4	feqmptd 6977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
6	5	cnveqd 5889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
7	6	imaeq1d 6079	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)))
8		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥))
9	8	mptpreima 6260	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)}
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
11	7, 10	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
12		nfv 1912	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13	1	uniexd 7761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
14	1, 2, 3	smfdmss 46689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
15	13, 14	ssexd 5330	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
16	4	ffvelcdmda 7104	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	5, 2	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18		smfpimioo.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		smfpimioo.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
20	12, 1, 15, 16, 17, 18, 19	smfpimioompt 46742	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
21	11, 20	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  ∪ cuni 4912   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689   “ cima 5692  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  ℝ^*cxr 11292  (,)cioo 13384   ↾_t crest 17467  SAlgcsalg 46264  SMblFncsmblfn 46651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fl 13829  df-rest 17469  df-salg 46265  df-smblfn 46652

This theorem is referenced by:  smfres  46746  smfpimbor1lem1  46754