Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimioo 46075
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimioo.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimioo.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfpimioo.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimioo.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
smfpimioo.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimioo (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴(,)𝐡)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))

Proof of Theorem smfpimioo
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpimioo.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
2 smfpimioo.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
3 smfpimioo.d . . . . . . 7 𝐷 = dom 𝐹
41, 2, 3smff 46020 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
54feqmptd 6954 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
65cnveqd 5869 . . . 4 (πœ‘ β†’ ◑𝐹 = β—‘(π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
76imaeq1d 6052 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴(,)𝐡)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ (𝐴(,)𝐡)))
8 eqid 2726 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
98mptpreima 6231 . . . 4 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ (𝐴(,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴(,)𝐡)}
109a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ (𝐴(,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴(,)𝐡)})
117, 10eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴(,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴(,)𝐡)})
12 nfv 1909 . . 3 β„²π‘₯πœ‘
131uniexd 7729 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
141, 2, 3smfdmss 46021 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
1513, 14ssexd 5317 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
164ffvelcdmda 7080 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
175, 2eqeltrrd 2828 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
18 smfpimioo.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
19 smfpimioo.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2012, 1, 15, 16, 17, 18, 19smfpimioompt 46074 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴(,)𝐡)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
2111, 20eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴(,)𝐡)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468  βˆͺ cuni 4902   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  β„*cxr 11251  (,)cioo 13330   β†Ύt crest 17375  SAlgcsalg 45596  SMblFncsmblfn 45983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-fl 13763  df-rest 17377  df-salg 45597  df-smblfn 45984
This theorem is referenced by:  smfres  46078  smfpimbor1lem1  46086
  Copyright terms: Public domain W3C validator