Theorem smfpimioo 41914

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimioo.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimioo.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
smfpimioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimioo	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Proof of Theorem smfpimioo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimioo.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		smfpimioo.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3		smfpimioo.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4	1, 2, 3	smff 41861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
5	4	feqmptd 6509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
6	5	cnveqd 5543	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
7	6	imaeq1d 5719	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)))
8		eqid 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥))
9	8	mptpreima 5882	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)}
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
11	7, 10	eqtrd 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
12		nfv 1957	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13	1	uniexd 40205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
14	1, 2, 3	smfdmss 41862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
15	13, 14	ssexd 5042	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
16	4	ffvelrnda 6623	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	5, 2	eqeltrrd 2859	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18		smfpimioo.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		smfpimioo.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
20	12, 1, 15, 16, 17, 18, 19	smfpimioompt 41913	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
21	11, 20	eqeltrd 2858	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  {crab 3093  Vcvv 3397  ∪ cuni 4671   ↦ cmpt 4965  ^◡ccnv 5354  dom cdm 5355   “ cima 5358  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  ℝ^*cxr 10410  (,)cioo 12487   ↾_t crest 16467  SAlgcsalg 41445  SMblFncsmblfn 41829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-ac2 9620  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-card 9098  df-acn 9101  df-ac 9272  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-fl 12912  df-rest 16469  df-salg 41446  df-smblfn 41830

This theorem is referenced by:  smfres  41917  smfpimbor1lem1  41925