Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimioo 46238
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimioo.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimioo.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfpimioo.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimioo.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
smfpimioo.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimioo (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴(,)𝐡)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))

Proof of Theorem smfpimioo
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpimioo.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
2 smfpimioo.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
3 smfpimioo.d . . . . . . 7 𝐷 = dom 𝐹
41, 2, 3smff 46183 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
54feqmptd 6962 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
65cnveqd 5872 . . . 4 (πœ‘ β†’ ◑𝐹 = β—‘(π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
76imaeq1d 6057 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴(,)𝐡)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ (𝐴(,)𝐡)))
8 eqid 2725 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
98mptpreima 6237 . . . 4 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ (𝐴(,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴(,)𝐡)}
109a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ (𝐴(,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴(,)𝐡)})
117, 10eqtrd 2765 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴(,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴(,)𝐡)})
12 nfv 1909 . . 3 β„²π‘₯πœ‘
131uniexd 7745 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
141, 2, 3smfdmss 46184 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
1513, 14ssexd 5319 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
164ffvelcdmda 7089 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
175, 2eqeltrrd 2826 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
18 smfpimioo.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
19 smfpimioo.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2012, 1, 15, 16, 17, 18, 19smfpimioompt 46237 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴(,)𝐡)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
2111, 20eqeltrd 2825 1 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴(,)𝐡)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463  βˆͺ cuni 4903   ↦ cmpt 5226  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672   β€œ cima 5675  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„cr 11137  β„*cxr 11277  (,)cioo 13356   β†Ύt crest 17401  SAlgcsalg 45759  SMblFncsmblfn 46146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-ac2 10486  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-card 9962  df-acn 9965  df-ac 10139  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-fl 13789  df-rest 17403  df-salg 45760  df-smblfn 46147
This theorem is referenced by:  smfres  46241  smfpimbor1lem1  46249
  Copyright terms: Public domain W3C validator