Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimioo 41786
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimioo.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimioo.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimioo.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimioo.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
smfpimioo.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimioo (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆t 𝐷))

Proof of Theorem smfpimioo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpimioo.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
2 smfpimioo.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3 smfpimioo.d . . . . . . 7 𝐷 = dom 𝐹
41, 2, 3smff 41733 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
54feqmptd 6500 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)))
65cnveqd 5534 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)))
76imaeq1d 5710 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)))
8 eqid 2825 . . . . 5 (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥))
98mptpreima 5873 . . . 4 ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)}
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
117, 10eqtrd 2861 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
12 nfv 2013 . . 3 𝑥𝜑
131uniexd 40097 . . . 4 (𝜑 𝑆 ∈ V)
141, 2, 3smfdmss 41734 . . . 4 (𝜑𝐷 𝑆)
1513, 14ssexd 5032 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
164ffvelrnda 6613 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
175, 2eqeltrrd 2907 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18 smfpimioo.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
19 smfpimioo.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2012, 1, 15, 16, 17, 18, 19smfpimioompt 41785 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)} ∈ (𝑆t 𝐷))
2111, 20eqeltrd 2906 1 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164  {crab 3121  Vcvv 3414   cuni 4660  cmpt 4954  ccnv 5345  dom cdm 5346  cima 5349  cfv 6127  (class class class)co 6910  cr 10258  *cxr 10397  (,)cioo 12470  t crest 16441  SAlgcsalg 41317  SMblFncsmblfn 41701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cc 9579  ax-ac2 9607  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-card 9085  df-acn 9088  df-ac 9259  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-ioo 12474  df-ico 12476  df-fl 12895  df-rest 16443  df-salg 41318  df-smblfn 41702
This theorem is referenced by:  smfres  41789  smfpimbor1lem1  41797
  Copyright terms: Public domain W3C validator