Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimioo 41914
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimioo.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimioo.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimioo.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimioo.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
smfpimioo.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimioo (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆t 𝐷))

Proof of Theorem smfpimioo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpimioo.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
2 smfpimioo.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3 smfpimioo.d . . . . . . 7 𝐷 = dom 𝐹
41, 2, 3smff 41861 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
54feqmptd 6509 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)))
65cnveqd 5543 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)))
76imaeq1d 5719 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)))
8 eqid 2777 . . . . 5 (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥))
98mptpreima 5882 . . . 4 ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)}
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
117, 10eqtrd 2813 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
12 nfv 1957 . . 3 𝑥𝜑
131uniexd 40205 . . . 4 (𝜑 𝑆 ∈ V)
141, 2, 3smfdmss 41862 . . . 4 (𝜑𝐷 𝑆)
1513, 14ssexd 5042 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
164ffvelrnda 6623 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
175, 2eqeltrrd 2859 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18 smfpimioo.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
19 smfpimioo.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2012, 1, 15, 16, 17, 18, 19smfpimioompt 41913 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)} ∈ (𝑆t 𝐷))
2111, 20eqeltrd 2858 1 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2106  {crab 3093  Vcvv 3397   cuni 4671  cmpt 4965  ccnv 5354  dom cdm 5355  cima 5358  cfv 6135  (class class class)co 6922  cr 10271  *cxr 10410  (,)cioo 12487  t crest 16467  SAlgcsalg 41445  SMblFncsmblfn 41829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-ac2 9620  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-card 9098  df-acn 9101  df-ac 9272  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-fl 12912  df-rest 16469  df-salg 41446  df-smblfn 41830
This theorem is referenced by:  smfres  41917  smfpimbor1lem1  41925
  Copyright terms: Public domain W3C validator