Theorem smfpimioo 45489

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimioo.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimioo.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
smfpimioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimioo	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Proof of Theorem smfpimioo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimioo.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		smfpimioo.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3		smfpimioo.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4	1, 2, 3	smff 45434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
5	4	feqmptd 6957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
6	5	cnveqd 5873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
7	6	imaeq1d 6056	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)))
8		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥))
9	8	mptpreima 6234	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)}
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
11	7, 10	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
12		nfv 1917	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13	1	uniexd 7728	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
14	1, 2, 3	smfdmss 45435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
15	13, 14	ssexd 5323	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
16	4	ffvelcdmda 7083	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	5, 2	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18		smfpimioo.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		smfpimioo.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
20	12, 1, 15, 16, 17, 18, 19	smfpimioompt 45488	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
21	11, 20	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474  ∪ cuni 4907   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5674  dom cdm 5675   “ cima 5678  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  ℝ^*cxr 11243  (,)cioo 13320   ↾_t crest 17362  SAlgcsalg 45010  SMblFncsmblfn 45397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fl 13753  df-rest 17364  df-salg 45011  df-smblfn 45398

This theorem is referenced by:  smfres  45492  smfpimbor1lem1  45500