Theorem smfpimioo 47741

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimioo.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimioo.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
smfpimioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimioo	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Proof of Theorem smfpimioo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimioo.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		smfpimioo.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3		smfpimioo.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4	1, 2, 3	smff 47686	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
5	4	feqmptd 6945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
6	5	cnveqd 5853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
7	6	imaeq1d 6053	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)))
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥))
9	8	mptpreima 6232	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)}
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
11	7, 10	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
12		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13	1	uniexd 7748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
14	1, 2, 3	smfdmss 47687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
15	13, 14	ssexd 5286	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
16	4	ffvelcdmda 7076	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	5, 2	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18		smfpimioo.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		smfpimioo.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
20	12, 1, 15, 16, 17, 18, 19	smfpimioompt 47740	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
21	11, 20	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  Vcvv 3451  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651   “ cima 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  ℝ^*cxr 11323  (,)cioo 13457   ↾_t crest 17571  SAlgcsalg 47262  SMblFncsmblfn 47649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cc 10494  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-card 10001  df-acn 10004  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-ioo 13461  df-ico 13463  df-fl 13912  df-rest 17573  df-salg 47263  df-smblfn 47650

This theorem is used by:  smfres  47744  smfpimbor1lem1  47752