Theorem smfpimioo 47233

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimioo.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimioo.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
smfpimioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimioo	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Proof of Theorem smfpimioo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimioo.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		smfpimioo.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3		smfpimioo.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4	1, 2, 3	smff 47178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
5	4	feqmptd 6902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
6	5	cnveqd 5824	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
7	6	imaeq1d 6018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)))
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥))
9	8	mptpreima 6196	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)}
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
11	7, 10	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)})
12		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13	1	uniexd 7689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
14	1, 2, 3	smfdmss 47179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
15	13, 14	ssexd 5261	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
16	4	ffvelcdmda 7030	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	5, 2	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18		smfpimioo.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		smfpimioo.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
20	12, 1, 15, 16, 17, 18, 19	smfpimioompt 47232	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐴(,)𝐵)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
21	11, 20	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430  ∪ cuni 4851   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  ℝ^*cxr 11169  (,)cioo 13289   ↾_t crest 17374  SAlgcsalg 46754  SMblFncsmblfn 47141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-fl 13742  df-rest 17376  df-salg 46755  df-smblfn 47142

This theorem is referenced by:  smfres  47236  smfpimbor1lem1  47244