Theorem smfmulc1 45811

Description: A sigma-measurable function multiplied by a constant is sigma-measurable. Proposition 121E (c) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmulc1.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfmulc1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfmulc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfmulc1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmulc1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
smfmulc1.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
smfmulc1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfmulc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inidm 4218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
2	1	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐴)
3	2	mpteq1i 5244	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)))
5		smfmulc1.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		smfmulc1.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
7		smfmulc1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		smfmulc1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
10		smfmulc1.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
12	5, 11, 10	dmmptdf 44222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
13	12	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
14		smfmulc1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
15		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
16	6, 14, 15	smfdmss 45748	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑆)
17	13, 16	eqsstrd 4020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
18		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
19	5, 6, 17, 8, 18	smfconst 45764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ (SMblFn‘𝑆))
20	5, 6, 7, 9, 10, 19, 14	smfmul 45810	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
21	4, 20	eqeltrd 2832	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947  ∪ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11113   · cmul 11119  SAlgcsalg 45323  SMblFncsmblfn 45710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-ac2 10462  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-ac 10115  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-s3 14805  df-s4 14806  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-rest 17373  df-salg 45324  df-smblfn 45711

This theorem is referenced by:  smf2id  45816  smfneg  45818