Theorem smfmulc1 47247

Description: A sigma-measurable function multiplied by a constant is sigma-measurable. Proposition 121E (c) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmulc1.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfmulc1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfmulc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfmulc1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmulc1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
smfmulc1.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
smfmulc1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfmulc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inidm 4156	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
2	1	eqcomi 2748	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐴)
3	2	mpteq1i 5164	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)))
5		smfmulc1.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		smfmulc1.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
7		smfmulc1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		smfmulc1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
10		smfmulc1.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
12	5, 11, 10	dmmptdf 45677	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
13	12	eqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
14		smfmulc1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
15		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
16	6, 14, 15	smfdmss 47184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑆)
17	13, 16	eqsstrd 3949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
18		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
19	5, 6, 17, 8, 18	smfconst 47200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ (SMblFn‘𝑆))
20	5, 6, 7, 9, 10, 19, 14	smfmul 47246	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
21	4, 20	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3882  ∪ cuni 4839   ↦ cmpt 5154  dom cdm 5619  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℝcr 11029   · cmul 11035  SAlgcsalg 46759  SMblFncsmblfn 47146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cc 10349  ax-ac2 10377  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-acn 9858  df-ac 10030  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-ioo 13294  df-ico 13296  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-word 14468  df-concat 14525  df-s1 14551  df-s2 14802  df-s3 14803  df-s4 14804  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-rest 17377  df-salg 46760  df-smblfn 47147

This theorem is referenced by:  smf2id  47252  smfneg  47254