Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmulc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmulc1 41744
Description: A sigma-measurable function multiplied by a constant is sigma-measurable. Proposition 121E (c) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmulc1.x 𝑥𝜑
smfmulc1.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfmulc1.a (𝜑𝐴𝑉)
smfmulc1.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmulc1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
smfmulc1.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
smfmulc1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfmulc1
StepHypRef Expression
1 inidm 4019 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
21eqcomi 2809 . . . 4 𝐴 = (𝐴𝐴)
32mpteq1i 4933 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)))
5 smfmulc1.x . . 3 𝑥𝜑
6 smfmulc1.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
7 smfmulc1.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
8 smfmulc1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
98adantr 473 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
10 smfmulc1.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 eqid 2800 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
125, 11, 10dmmptdf 40164 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
1312eqcomd 2806 . . . . 5 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
14 smfmulc1.m . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
15 eqid 2800 . . . . . 6 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
166, 14, 15smfdmss 41683 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
1713, 16eqsstrd 3836 . . . 4 (𝜑𝐴 𝑆)
18 eqid 2800 . . . 4 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
195, 6, 17, 8, 18smfconst 41699 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ (SMblFn‘𝑆))
205, 6, 7, 9, 10, 19, 14smfmul 41743 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
214, 20eqeltrd 2879 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wnf 1879  wcel 2157  cin 3769   cuni 4629  cmpt 4923  dom cdm 5313  cfv 6102  (class class class)co 6879  cr 10224   · cmul 10230  SAlgcsalg 41266  SMblFncsmblfn 41650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cc 9546  ax-ac2 9574  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-iin 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-omul 7805  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-sup 8591  df-inf 8592  df-oi 8658  df-card 9052  df-acn 9055  df-ac 9226  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-q 12033  df-rp 12074  df-ioo 12427  df-ico 12429  df-icc 12430  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-fl 12847  df-seq 13055  df-exp 13114  df-hash 13370  df-word 13534  df-concat 13590  df-s1 13615  df-s2 13932  df-s3 13933  df-s4 13934  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-rest 16397  df-salg 41267  df-smblfn 41651
This theorem is referenced by:  smf2id  41749  smfneg  41751
  Copyright terms: Public domain W3C validator