Theorem smfmulc1 47627

Description: A sigma-measurable function multiplied by a constant is sigma-measurable. Proposition 121E (c) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmulc1.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfmulc1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfmulc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfmulc1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmulc1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
smfmulc1.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
smfmulc1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfmulc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inidm 4172	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
2	1	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐴)
3	2	mpteq1i 5196	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)))
5		smfmulc1.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		smfmulc1.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
7		smfmulc1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		smfmulc1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
10		smfmulc1.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
12	5, 11, 10	dmmptdf 46057	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
13	12	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
14		smfmulc1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
16	6, 14, 15	smfdmss 47564	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑆)
17	13, 16	eqsstrd 3965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
18		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
19	5, 6, 17, 8, 18	smfconst 47580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ (SMblFn‘𝑆))
20	5, 6, 7, 9, 10, 19, 14	smfmul 47626	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
21	4, 20	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11126   · cmul 11132  SAlgcsalg 47139  SMblFncsmblfn 47526

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-ioo 13405  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-word 14582  df-concat 14639  df-s1 14666  df-s2 14922  df-s3 14923  df-s4 14924  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-rest 17510  df-salg 47140  df-smblfn 47527

This theorem is used by:  smf2id  47632  smfneg  47634