Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmulc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmulc1 44296
Description: A sigma-measurable function multiplied by a constant is sigma-measurable. Proposition 121E (c) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmulc1.x 𝑥𝜑
smfmulc1.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfmulc1.a (𝜑𝐴𝑉)
smfmulc1.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmulc1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
smfmulc1.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
smfmulc1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfmulc1
StepHypRef Expression
1 inidm 4158 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
21eqcomi 2749 . . . 4 𝐴 = (𝐴𝐴)
32mpteq1i 5175 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)))
5 smfmulc1.x . . 3 𝑥𝜑
6 smfmulc1.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
7 smfmulc1.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
8 smfmulc1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
10 smfmulc1.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 eqid 2740 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
125, 11, 10dmmptdf 42731 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
1312eqcomd 2746 . . . . 5 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
14 smfmulc1.m . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
15 eqid 2740 . . . . . 6 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
166, 14, 15smfdmss 44235 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
1713, 16eqsstrd 3964 . . . 4 (𝜑𝐴 𝑆)
18 eqid 2740 . . . 4 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
195, 6, 17, 8, 18smfconst 44251 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ (SMblFn‘𝑆))
205, 6, 7, 9, 10, 19, 14smfmul 44295 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
214, 20eqeltrd 2841 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wnf 1790  wcel 2110  cin 3891   cuni 4845  cmpt 5162  dom cdm 5589  cfv 6431  (class class class)co 7269  cr 10869   · cmul 10875  SAlgcsalg 43818  SMblFncsmblfn 44202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-cc 10190  ax-ac2 10218  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-oadd 8290  df-omul 8291  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-sup 9177  df-inf 9178  df-oi 9245  df-card 9696  df-acn 9699  df-ac 9871  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-q 12686  df-rp 12728  df-ioo 13080  df-ico 13082  df-icc 13083  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-fl 13508  df-seq 13718  df-exp 13779  df-hash 14041  df-word 14214  df-concat 14270  df-s1 14297  df-s2 14557  df-s3 14558  df-s4 14559  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-rest 17129  df-salg 43819  df-smblfn 44203
This theorem is referenced by:  smf2id  44301  smfneg  44303
  Copyright terms: Public domain W3C validator