Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmulc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmulc1 43270
Description: A sigma-measurable function multiplied by a constant is sigma-measurable. Proposition 121E (c) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmulc1.x 𝑥𝜑
smfmulc1.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfmulc1.a (𝜑𝐴𝑉)
smfmulc1.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmulc1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
smfmulc1.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
smfmulc1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfmulc1
StepHypRef Expression
1 inidm 4178 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
21eqcomi 2833 . . . 4 𝐴 = (𝐴𝐴)
32mpteq1i 5137 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)))
5 smfmulc1.x . . 3 𝑥𝜑
6 smfmulc1.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
7 smfmulc1.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
8 smfmulc1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
98adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
10 smfmulc1.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 eqid 2824 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
125, 11, 10dmmptdf 41695 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
1312eqcomd 2830 . . . . 5 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
14 smfmulc1.m . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
15 eqid 2824 . . . . . 6 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
166, 14, 15smfdmss 43209 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
1713, 16eqsstrd 3989 . . . 4 (𝜑𝐴 𝑆)
18 eqid 2824 . . . 4 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
195, 6, 17, 8, 18smfconst 43225 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ (SMblFn‘𝑆))
205, 6, 7, 9, 10, 19, 14smfmul 43269 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
214, 20eqeltrd 2916 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wnf 1785  wcel 2115  cin 3917   cuni 4819  cmpt 5127  dom cdm 5536  cfv 6336  (class class class)co 7138  cr 10521   · cmul 10527  SAlgcsalg 42792  SMblFncsmblfn 43176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cc 9842  ax-ac2 9870  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-ioo 12728  df-ico 12730  df-icc 12731  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13912  df-s1 13939  df-s2 14199  df-s3 14200  df-s4 14201  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-rest 16685  df-salg 42793  df-smblfn 43177
This theorem is referenced by:  smf2id  43275  smfneg  43277
  Copyright terms: Public domain W3C validator