Theorem smfmulc1 47948

Description: A sigma-measurable function multiplied by a constant is sigma-measurable. Proposition 121E (c) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmulc1.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfmulc1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfmulc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfmulc1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmulc1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
smfmulc1.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
smfmulc1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfmulc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inidm 4126	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
2	1	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐴)
3	2	mpteq1i 5199	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)))
5		smfmulc1.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		smfmulc1.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
7		smfmulc1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		smfmulc1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
10		smfmulc1.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
12	5, 11, 10	dmmptdf 46379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
13	12	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
14		smfmulc1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
15		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
16	6, 14, 15	smfdmss 47885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑆)
17	13, 16	eqsstrd 3947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
18		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
19	5, 6, 17, 8, 18	smfconst 47901	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ (SMblFn‘𝑆))
20	5, 6, 7, 9, 10, 19, 14	smfmul 47947	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
21	4, 20	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2146   ∩ cin 4092  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212   · cmul 11218  SAlgcsalg 47460  SMblFncsmblfn 47847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cc 10526  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-oadd 8494  df-omul 8495  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-acn 10036  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-ioo 13493  df-ico 13495  df-icc 13496  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-word 14672  df-concat 14729  df-s1 14756  df-s2 15013  df-s3 15014  df-s4 15015  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-rest 17608  df-salg 47461  df-smblfn 47848

This theorem is used by:  smf2id  47953  smfneg  47955