Theorem sn-1ne2 39466

Description: A proof of 1ne2 11833 without using ax-mulcom 10590, ax-mulass 10592, ax-pre-mulgt0 10603. Based on mul02lem2 10806. (Contributed by SN, 13-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn-1ne2	⊢ 1 ≠ 2

Proof of Theorem sn-1ne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 11696	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
2		ax-icn 10585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
3	2, 2	mulcli 10637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
4		ax-1cn 10584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	3, 4, 4	addassi 10640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1))
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1)))
7		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 1 = (1 + 1))
8	7	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((i · i) + 1) = ((i · i) + (1 + 1)))
9		ax-i2m1 10594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((i · i) + 1) = 0)
11	6, 8, 10	3eqtr2rd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = (((i · i) + 1) + 1))
12		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = (0 + 0))
13	10	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (((i · i) + 1) + 1) = (0 + 1))
14	11, 12, 13	3eqtr3d 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (0 + 0) = (0 + 1))
15		0red 10633	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
16		1red 10631	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
17		readdcan 10803	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 0) = (0 + 1) ↔ 0 = 1))
18	15, 16, 15, 17	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((0 + 0) = (0 + 1) ↔ 0 = 1))
19	14, 18	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = 1)
20	19	ex 416	. . . . 5 ⊢ (0 = (0 + 0) → (1 = (1 + 1) → 0 = 1))
21	20	necon3d 3008	. . . 4 ⊢ (0 = (0 + 0) → (0 ≠ 1 → 1 ≠ (1 + 1)))
22	1, 21	mpi 20	. . 3 ⊢ (0 = (0 + 0) → 1 ≠ (1 + 1))
23		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (1 = (1 + 1) → (0 · 1) = (0 · (1 + 1)))
24		0re 10632	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
25		ax-1rid 10596	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 · 1) = 0
27		0cn 10622	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
28	27, 4, 4	adddii 10642	. . . . . 6 ⊢ (0 · (1 + 1)) = ((0 · 1) + (0 · 1))
29	26, 26	oveq12i 7147	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 1) + (0 · 1)) = (0 + 0)
30	28, 29	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ (0 · (1 + 1)) = (0 + 0)
31	23, 26, 30	3eqtr3g 2856	. . . 4 ⊢ (1 = (1 + 1) → 0 = (0 + 0))
32	31	necon3i 3019	. . 3 ⊢ (0 ≠ (0 + 0) → 1 ≠ (1 + 1))
33	22, 32	pm2.61ine 3070	. 2 ⊢ 1 ≠ (1 + 1)
34		df-2 11688	. 2 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	33, 34	neeqtrri 3060	1 ⊢ 1 ≠ 2

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531  2c2 11680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-addass 10591  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-2 11688

This theorem is referenced by:  remul02  39543  sn-0ne2  39544  remul01  39545