Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-1ne2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-1ne2 41481
Description: A proof of 1ne2 12424 without using ax-mulcom 11176, ax-mulass 11178, ax-pre-mulgt0 11189. Based on mul02lem2 11395. (Contributed by SN, 13-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
sn-1ne2 1 ≠ 2

Proof of Theorem sn-1ne2
StepHypRef Expression
1 0ne1 12287 . . . 4 0 ≠ 1
2 ax-icn 11171 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ ℂ
32, 2mulcli 11225 . . . . . . . . . . 11 (i · i) ∈ ℂ
4 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
53, 4, 4addassi 11228 . . . . . . . . . 10 (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1))
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1)))
7 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 1 = (1 + 1))
87oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((i · i) + 1) = ((i · i) + (1 + 1)))
9 ax-i2m1 11180 . . . . . . . . . 10 ((i · i) + 1) = 0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((i · i) + 1) = 0)
116, 8, 103eqtr2rd 2777 . . . . . . . 8 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = (((i · i) + 1) + 1))
12 simpl 481 . . . . . . . 8 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = (0 + 0))
1310oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (((i · i) + 1) + 1) = (0 + 1))
1411, 12, 133eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (0 + 0) = (0 + 1))
15 0red 11221 . . . . . . . 8 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
16 1red 11219 . . . . . . . 8 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
17 readdcan 11392 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 0) = (0 + 1) ↔ 0 = 1))
1815, 16, 15, 17syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((0 + 0) = (0 + 1) ↔ 0 = 1))
1914, 18mpbid 231 . . . . . 6 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = 1)
2019ex 411 . . . . 5 (0 = (0 + 0) → (1 = (1 + 1) → 0 = 1))
2120necon3d 2959 . . . 4 (0 = (0 + 0) → (0 ≠ 1 → 1 ≠ (1 + 1)))
221, 21mpi 20 . . 3 (0 = (0 + 0) → 1 ≠ (1 + 1))
23 oveq2 7419 . . . . 5 (1 = (1 + 1) → (0 · 1) = (0 · (1 + 1)))
24 0re 11220 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
25 ax-1rid 11182 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5 (0 · 1) = 0
27 0cn 11210 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
2827, 4, 4adddii 11230 . . . . . 6 (0 · (1 + 1)) = ((0 · 1) + (0 · 1))
2926, 26oveq12i 7423 . . . . . 6 ((0 · 1) + (0 · 1)) = (0 + 0)
3028, 29eqtri 2758 . . . . 5 (0 · (1 + 1)) = (0 + 0)
3123, 26, 303eqtr3g 2793 . . . 4 (1 = (1 + 1) → 0 = (0 + 0))
3231necon3i 2971 . . 3 (0 ≠ (0 + 0) → 1 ≠ (1 + 1))
3322, 32pm2.61ine 3023 . 2 1 ≠ (1 + 1)
34 df-2 12279 . 2 2 = (1 + 1)
3533, 34neeqtrri 3012 1 1 ≠ 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  (class class class)co 7411  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   · cmul 11117  2c2 12271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-addass 11177  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-2 12279
This theorem is referenced by:  remul02  41580  sn-0ne2  41581  remul01  41582  flt0  41681
  Copyright terms: Public domain W3C validator