Theorem sn-1ne2 42720

Description: A proof of 1ne2 12378 without using ax-mulcom 11096, ax-mulass 11098, ax-pre-mulgt0 11109. Based on mul02lem2 11317. (Contributed by SN, 13-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn-1ne2	⊢ 1 ≠ 2

Proof of Theorem sn-1ne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 12246	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
2		ax-icn 11091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
3	2, 2	mulcli 11146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
4		ax-1cn 11090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	3, 4, 4	addassi 11149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1))
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1)))
7		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 1 = (1 + 1))
8	7	oveq2d 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((i · i) + 1) = ((i · i) + (1 + 1)))
9		ax-i2m1 11100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((i · i) + 1) = 0)
11	6, 8, 10	3eqtr2rd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = (((i · i) + 1) + 1))
12		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = (0 + 0))
13	10	oveq1d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (((i · i) + 1) + 1) = (0 + 1))
14	11, 12, 13	3eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (0 + 0) = (0 + 1))
15		0red 11141	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
16		1red 11139	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
17		readdcan 11314	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 0) = (0 + 1) ↔ 0 = 1))
18	15, 16, 15, 17	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((0 + 0) = (0 + 1) ↔ 0 = 1))
19	14, 18	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = 1)
20	19	ex 412	. . . . 5 ⊢ (0 = (0 + 0) → (1 = (1 + 1) → 0 = 1))
21	20	necon3d 2954	. . . 4 ⊢ (0 = (0 + 0) → (0 ≠ 1 → 1 ≠ (1 + 1)))
22	1, 21	mpi 20	. . 3 ⊢ (0 = (0 + 0) → 1 ≠ (1 + 1))
23		oveq2 7369	. . . . 5 ⊢ (1 = (1 + 1) → (0 · 1) = (0 · (1 + 1)))
24		0re 11140	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
25		ax-1rid 11102	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 · 1) = 0
27		0cn 11130	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
28	27, 4, 4	adddii 11151	. . . . . 6 ⊢ (0 · (1 + 1)) = ((0 · 1) + (0 · 1))
29	26, 26	oveq12i 7373	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 1) + (0 · 1)) = (0 + 0)
30	28, 29	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (0 · (1 + 1)) = (0 + 0)
31	23, 26, 30	3eqtr3g 2795	. . . 4 ⊢ (1 = (1 + 1) → 0 = (0 + 0))
32	31	necon3i 2965	. . 3 ⊢ (0 ≠ (0 + 0) → 1 ≠ (1 + 1))
33	22, 32	pm2.61ine 3016	. 2 ⊢ 1 ≠ (1 + 1)
34		df-2 12238	. 2 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	33, 34	neeqtrri 3006	1 ⊢ 1 ≠ 2

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033  ici 11034   + caddc 11035   · cmul 11037  2c2 12230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-addass 11097  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-ltxr 11178  df-2 12238

This theorem is referenced by:  remul02  42854  sn-0ne2  42855  remul01  42856  flt0  43087