Theorem sn-1ne2 42254

Description: A proof of 1ne2 12501 without using ax-mulcom 11248, ax-mulass 11250, ax-pre-mulgt0 11261. Based on mul02lem2 11467. (Contributed by SN, 13-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn-1ne2	⊢ 1 ≠ 2

Proof of Theorem sn-1ne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 12364	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
2		ax-icn 11243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
3	2, 2	mulcli 11297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
4		ax-1cn 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	3, 4, 4	addassi 11300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1))
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1)))
7		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 1 = (1 + 1))
8	7	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((i · i) + 1) = ((i · i) + (1 + 1)))
9		ax-i2m1 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((i · i) + 1) = 0)
11	6, 8, 10	3eqtr2rd 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = (((i · i) + 1) + 1))
12		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = (0 + 0))
13	10	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (((i · i) + 1) + 1) = (0 + 1))
14	11, 12, 13	3eqtr3d 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (0 + 0) = (0 + 1))
15		0red 11293	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
16		1red 11291	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
17		readdcan 11464	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 0) = (0 + 1) ↔ 0 = 1))
18	15, 16, 15, 17	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((0 + 0) = (0 + 1) ↔ 0 = 1))
19	14, 18	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = 1)
20	19	ex 412	. . . . 5 ⊢ (0 = (0 + 0) → (1 = (1 + 1) → 0 = 1))
21	20	necon3d 2967	. . . 4 ⊢ (0 = (0 + 0) → (0 ≠ 1 → 1 ≠ (1 + 1)))
22	1, 21	mpi 20	. . 3 ⊢ (0 = (0 + 0) → 1 ≠ (1 + 1))
23		oveq2 7456	. . . . 5 ⊢ (1 = (1 + 1) → (0 · 1) = (0 · (1 + 1)))
24		0re 11292	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
25		ax-1rid 11254	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 · 1) = 0
27		0cn 11282	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
28	27, 4, 4	adddii 11302	. . . . . 6 ⊢ (0 · (1 + 1)) = ((0 · 1) + (0 · 1))
29	26, 26	oveq12i 7460	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 1) + (0 · 1)) = (0 + 0)
30	28, 29	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (0 · (1 + 1)) = (0 + 0)
31	23, 26, 30	3eqtr3g 2803	. . . 4 ⊢ (1 = (1 + 1) → 0 = (0 + 0))
32	31	necon3i 2979	. . 3 ⊢ (0 ≠ (0 + 0) → 1 ≠ (1 + 1))
33	22, 32	pm2.61ine 3031	. 2 ⊢ 1 ≠ (1 + 1)
34		df-2 12356	. 2 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	33, 34	neeqtrri 3020	1 ⊢ 1 ≠ 2

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189  2c2 12348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-addass 11249  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-2 12356

This theorem is referenced by:  remul02  42381  sn-0ne2  42382  remul01  42383  flt0  42592