Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-1ne2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-1ne2 39278
 Description: A proof of 1ne2 11824 without using ax-mulcom 10579, ax-mulass 10581, ax-pre-mulgt0 10592. Based on mul02lem2 10795. (Contributed by SN, 13-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
sn-1ne2 1 ≠ 2

Proof of Theorem sn-1ne2
StepHypRef Expression
1 0ne1 11687 . . . 4 0 ≠ 1
2 ax-icn 10574 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ ℂ
32, 2mulcli 10626 . . . . . . . . . . 11 (i · i) ∈ ℂ
4 ax-1cn 10573 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
53, 4, 4addassi 10629 . . . . . . . . . 10 (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1))
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1)))
7 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 1 = (1 + 1))
87oveq2d 7149 . . . . . . . . 9 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((i · i) + 1) = ((i · i) + (1 + 1)))
9 ax-i2m1 10583 . . . . . . . . . 10 ((i · i) + 1) = 0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((i · i) + 1) = 0)
116, 8, 103eqtr2rd 2862 . . . . . . . 8 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = (((i · i) + 1) + 1))
12 simpl 485 . . . . . . . 8 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = (0 + 0))
1310oveq1d 7148 . . . . . . . 8 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (((i · i) + 1) + 1) = (0 + 1))
1411, 12, 133eqtr3d 2863 . . . . . . 7 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (0 + 0) = (0 + 1))
15 0red 10622 . . . . . . . 8 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
16 1red 10620 . . . . . . . 8 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
17 readdcan 10792 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 0) = (0 + 1) ↔ 0 = 1))
1815, 16, 15, 17syl3anc 1367 . . . . . . 7 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((0 + 0) = (0 + 1) ↔ 0 = 1))
1914, 18mpbid 234 . . . . . 6 ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = 1)
2019ex 415 . . . . 5 (0 = (0 + 0) → (1 = (1 + 1) → 0 = 1))
2120necon3d 3027 . . . 4 (0 = (0 + 0) → (0 ≠ 1 → 1 ≠ (1 + 1)))
221, 21mpi 20 . . 3 (0 = (0 + 0) → 1 ≠ (1 + 1))
23 oveq2 7141 . . . . 5 (1 = (1 + 1) → (0 · 1) = (0 · (1 + 1)))
24 0re 10621 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
25 ax-1rid 10585 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5 (0 · 1) = 0
27 0cn 10611 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
2827, 4, 4adddii 10631 . . . . . 6 (0 · (1 + 1)) = ((0 · 1) + (0 · 1))
2926, 26oveq12i 7145 . . . . . 6 ((0 · 1) + (0 · 1)) = (0 + 0)
3028, 29eqtri 2843 . . . . 5 (0 · (1 + 1)) = (0 + 0)
3123, 26, 303eqtr3g 2878 . . . 4 (1 = (1 + 1) → 0 = (0 + 0))
3231necon3i 3038 . . 3 (0 ≠ (0 + 0) → 1 ≠ (1 + 1))
3322, 32pm2.61ine 3089 . 2 1 ≠ (1 + 1)
34 df-2 11679 . 2 2 = (1 + 1)
3533, 34neeqtrri 3079 1 1 ≠ 2
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  (class class class)co 7133  ℝcr 10514  0cc0 10515  1c1 10516  ici 10517   + caddc 10518   · cmul 10520  2c2 11671 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-addass 10580  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-ov 7136  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-ltxr 10658  df-2 11679 This theorem is referenced by:  remul02  39355  sn-0ne2  39356  remul01  39357
 Copyright terms: Public domain W3C validator