Theorem sn-1ne2 43092

Description: A proof of 1ne2 12468 without using ax-mulcom 11181, ax-mulass 11183, ax-pre-mulgt0 11194. Based on mul02lem2 11404. (Contributed by SN, 13-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn-1ne2	⊢ 1 ≠ 2

Proof of Theorem sn-1ne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 12329	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
2		ax-icn 11176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
3	2, 2	mulcli 11233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
4		ax-1cn 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	3, 4, 4	addassi 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1))
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1)))
7		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 1 = (1 + 1))
8	7	oveq2d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((i · i) + 1) = ((i · i) + (1 + 1)))
9		ax-i2m1 11185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((i · i) + 1) = 0)
11	6, 8, 10	3eqtr2rd 2807	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = (((i · i) + 1) + 1))
12		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = (0 + 0))
13	10	oveq1d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (((i · i) + 1) + 1) = (0 + 1))
14	11, 12, 13	3eqtr3d 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (0 + 0) = (0 + 1))
15		0red 11228	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
16		1red 11226	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
17		readdcan 11401	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 0) = (0 + 1) ↔ 0 = 1))
18	15, 16, 15, 17	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((0 + 0) = (0 + 1) ↔ 0 = 1))
19	14, 18	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = 1)
20	19	ex 418	. . . . 5 ⊢ (0 = (0 + 0) → (1 = (1 + 1) → 0 = 1))
21	20	necon3d 2981	. . . 4 ⊢ (0 = (0 + 0) → (0 ≠ 1 → 1 ≠ (1 + 1)))
22	1, 21	mpi 21	. . 3 ⊢ (0 = (0 + 0) → 1 ≠ (1 + 1))
23		oveq2 7427	. . . . 5 ⊢ (1 = (1 + 1) → (0 · 1) = (0 · (1 + 1)))
24		0re 11227	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
25		ax-1rid 11187	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 · 1) = 0
27		0cn 11215	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
28	27, 4, 4	adddii 11238	. . . . . 6 ⊢ (0 · (1 + 1)) = ((0 · 1) + (0 · 1))
29	26, 26	oveq12i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 1) + (0 · 1)) = (0 + 0)
30	28, 29	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ (0 · (1 + 1)) = (0 + 0)
31	23, 26, 30	3eqtr3g 2823	. . . 4 ⊢ (1 = (1 + 1) → 0 = (0 + 0))
32	31	necon3i 2992	. . 3 ⊢ (0 ≠ (0 + 0) → 1 ≠ (1 + 1))
33	22, 32	pm2.61ine 3043	. 2 ⊢ 1 ≠ (1 + 1)
34		df-2 12320	. 2 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	33, 34	neeqtrri 3033	1 ⊢ 1 ≠ 2

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118  ici 11119   + caddc 11120   · cmul 11122  2c2 12312

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-addass 11182  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-ltxr 11265  df-2 12320

This theorem is used by:  remul02  43226  sn-0ne2  43227  remul01  43228  flt0  43429