Theorem sn-1ne2 40216

Description: A proof of 1ne2 12111 without using ax-mulcom 10866, ax-mulass 10868, ax-pre-mulgt0 10879. Based on mul02lem2 11082. (Contributed by SN, 13-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn-1ne2	⊢ 1 ≠ 2

Proof of Theorem sn-1ne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 11974	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
2		ax-icn 10861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
3	2, 2	mulcli 10913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
4		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	3, 4, 4	addassi 10916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1))
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (((i · i) + 1) + 1) = ((i · i) + (1 + 1)))
7		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 1 = (1 + 1))
8	7	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((i · i) + 1) = ((i · i) + (1 + 1)))
9		ax-i2m1 10870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((i · i) + 1) = 0)
11	6, 8, 10	3eqtr2rd 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = (((i · i) + 1) + 1))
12		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = (0 + 0))
13	10	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (((i · i) + 1) + 1) = (0 + 1))
14	11, 12, 13	3eqtr3d 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → (0 + 0) = (0 + 1))
15		0red 10909	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
16		1red 10907	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
17		readdcan 11079	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 0) = (0 + 1) ↔ 0 = 1))
18	15, 16, 15, 17	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → ((0 + 0) = (0 + 1) ↔ 0 = 1))
19	14, 18	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((0 = (0 + 0) ∧ 1 = (1 + 1)) → 0 = 1)
20	19	ex 412	. . . . 5 ⊢ (0 = (0 + 0) → (1 = (1 + 1) → 0 = 1))
21	20	necon3d 2963	. . . 4 ⊢ (0 = (0 + 0) → (0 ≠ 1 → 1 ≠ (1 + 1)))
22	1, 21	mpi 20	. . 3 ⊢ (0 = (0 + 0) → 1 ≠ (1 + 1))
23		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ (1 = (1 + 1) → (0 · 1) = (0 · (1 + 1)))
24		0re 10908	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
25		ax-1rid 10872	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 · 1) = 0
27		0cn 10898	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
28	27, 4, 4	adddii 10918	. . . . . 6 ⊢ (0 · (1 + 1)) = ((0 · 1) + (0 · 1))
29	26, 26	oveq12i 7267	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 1) + (0 · 1)) = (0 + 0)
30	28, 29	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ (0 · (1 + 1)) = (0 + 0)
31	23, 26, 30	3eqtr3g 2802	. . . 4 ⊢ (1 = (1 + 1) → 0 = (0 + 0))
32	31	necon3i 2975	. . 3 ⊢ (0 ≠ (0 + 0) → 1 ≠ (1 + 1))
33	22, 32	pm2.61ine 3027	. 2 ⊢ 1 ≠ (1 + 1)
34		df-2 11966	. 2 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	33, 34	neeqtrri 3016	1 ⊢ 1 ≠ 2

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807  2c2 11958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-addass 10867  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-2 11966

This theorem is referenced by:  remul02  40309  sn-0ne2  40310  remul01  40311  flt0  40390