Theorem flt0 42033

Description: A counterexample for FLT does not exist for 𝑁 = 0. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
flt0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
flt0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
flt0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
flt0.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
flt0	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem flt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt0.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		1p1e2 12361	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
3		sn-1ne2 41812	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
4	3	necomi 2990	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
5	2, 4	eqnetri 3006	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) ≠ 1
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) ≠ 1)
7		flt0.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	exp0d 14130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
9		flt0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	exp0d 14130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
11	8, 10	oveq12d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (1 + 1))
12		flt0.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	exp0d 14130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑0) = 1)
14	6, 11, 13	3netr4d 3013	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) ≠ (𝐶↑0))
15		flt0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
16		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0))
17		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐵↑𝑁) = (𝐵↑0))
18	16, 17	oveq12d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)))
19		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐶↑𝑁) = (𝐶↑0))
20	18, 19	eqeq12d 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁) ↔ ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0)))
21	15, 20	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0)))
22	21	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0))
23	14, 22	mteqand 3028	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
24		elnnne0 12510	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
25	1, 23, 24	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135  ℕcn 12236  2c2 12291  ℕ₀cn0 12496  ↑cexp 14052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-seq 13993  df-exp 14053

This theorem is referenced by:  fltaccoprm  42036