Theorem flt0 40390

Description: A counterexample for FLT does not exist for 𝑁 = 0. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
flt0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
flt0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
flt0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
flt0.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
flt0	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem flt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt0.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		1p1e2 12028	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
3		sn-1ne2 40216	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
4	3	necomi 2997	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
5	2, 4	eqnetri 3013	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) ≠ 1
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) ≠ 1)
7		flt0.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	exp0d 13786	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
9		flt0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	exp0d 13786	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
11	8, 10	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (1 + 1))
12		flt0.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	exp0d 13786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑0) = 1)
14	6, 11, 13	3netr4d 3020	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) ≠ (𝐶↑0))
15		flt0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
16		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0))
17		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐵↑𝑁) = (𝐵↑0))
18	16, 17	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)))
19		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐶↑𝑁) = (𝐶↑0))
20	18, 19	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁) ↔ ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0)))
21	15, 20	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0)))
22	21	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0))
23	14, 22	mteqand 3047	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
24		elnnne0 12177	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
25	1, 23, 24	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  fltaccoprm  40393