Theorem flt0 42755

Description: A counterexample for FLT does not exist for 𝑁 = 0. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
flt0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
flt0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
flt0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
flt0.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
flt0	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem flt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt0.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		1p1e2 12252	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
3		sn-1ne2 42383	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
4	3	necomi 2983	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
5	2, 4	eqnetri 2999	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) ≠ 1
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) ≠ 1)
7		flt0.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	exp0d 14049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
9		flt0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	exp0d 14049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
11	8, 10	oveq12d 7370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (1 + 1))
12		flt0.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	exp0d 14049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑0) = 1)
14	6, 11, 13	3netr4d 3006	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) ≠ (𝐶↑0))
15		flt0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
16		oveq2 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0))
17		oveq2 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐵↑𝑁) = (𝐵↑0))
18	16, 17	oveq12d 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)))
19		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐶↑𝑁) = (𝐶↑0))
20	18, 19	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁) ↔ ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0)))
21	15, 20	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0)))
22	21	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0))
23	14, 22	mteqand 3020	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
24		elnnne0 12402	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
25	1, 23, 24	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016  ℕcn 12132  2c2 12187  ℕ₀cn0 12388  ↑cexp 13970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-seq 13911  df-exp 13971

This theorem is referenced by:  fltaccoprm  42758