Theorem flt0 43183

Description: A counterexample for FLT does not exist for 𝑁 = 0. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
flt0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
flt0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
flt0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
flt0.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
flt0	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem flt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt0.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		1p1e2 12338	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
3		sn-1ne2 42844	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
4	3	necomi 3010	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
5	2, 4	eqnetri 3026	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) ≠ 1
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) ≠ 1)
7		flt0.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	exp0d 14150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
9		flt0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	exp0d 14150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
11	8, 10	oveq12d 7410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (1 + 1))
12		flt0.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	exp0d 14150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑0) = 1)
14	6, 11, 13	3netr4d 3033	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) ≠ (𝐶↑0))
15		flt0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
16		oveq2 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0))
17		oveq2 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐵↑𝑁) = (𝐵↑0))
18	16, 17	oveq12d 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)))
19		oveq2 7400	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐶↑𝑁) = (𝐶↑0))
20	18, 19	eqeq12d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁) ↔ ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0)))
21	15, 20	syl5ibcom 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0)))
22	21	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0))
23	14, 22	mteqand 3047	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
24		elnnne0 12492	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
25	1, 23, 24	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073  ℕcn 12207  2c2 12269  ℕ₀cn0 12478  ↑cexp 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-seq 14012  df-exp 14072

This theorem is referenced by:  fltaccoprm  43186