Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt0 41004
Description: A counterexample for FLT does not exist for 𝑁 = 0. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt0.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
flt0.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
flt0.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
flt0.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
flt0.1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
Assertion
Ref Expression
flt0 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem flt0
StepHypRef Expression
1 flt0.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 1p1e2 12285 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
3 sn-1ne2 40810 . . . . . . 7 1 ≠ 2
43necomi 2999 . . . . . 6 2 ≠ 1
52, 4eqnetri 3015 . . . . 5 (1 + 1) ≠ 1
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 + 1) ≠ 1)
7 flt0.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
87exp0d 14052 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
9 flt0.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
109exp0d 14052 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
118, 10oveq12d 7380 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (1 + 1))
12 flt0.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1312exp0d 14052 . . . 4 (𝜑 → (𝐶↑0) = 1)
146, 11, 133netr4d 3022 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) ≠ (𝐶↑0))
15 flt0.1 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
16 oveq2 7370 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
17 oveq2 7370 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝐵𝑁) = (𝐵↑0))
1816, 17oveq12d 7380 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)))
19 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝐶𝑁) = (𝐶↑0))
2018, 19eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁) ↔ ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0)))
2115, 20syl5ibcom 244 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 = 0 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0)))
2221imp 408 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0))
2314, 22mteqand 3049 . 2 (𝜑𝑁 ≠ 0)
24 elnnne0 12434 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
251, 23, 24sylanbrc 584 1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  (class class class)co 7362  cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  cn 12160  2c2 12215  0cn0 12420  cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  fltaccoprm  41007
  Copyright terms: Public domain W3C validator