Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt0 40030
Description: A counterexample for FLT does not exist for 𝑁 = 0. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt0.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
flt0.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
flt0.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
flt0.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
flt0.1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
Assertion
Ref Expression
flt0 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem flt0
StepHypRef Expression
1 flt0.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 1p1e2 11834 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
3 sn-1ne2 39855 . . . . . . 7 1 ≠ 2
43necomi 2988 . . . . . 6 2 ≠ 1
52, 4eqnetri 3004 . . . . 5 (1 + 1) ≠ 1
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 + 1) ≠ 1)
7 flt0.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
87exp0d 13589 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
9 flt0.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
109exp0d 13589 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
118, 10oveq12d 7182 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (1 + 1))
12 flt0.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1312exp0d 13589 . . . 4 (𝜑 → (𝐶↑0) = 1)
146, 11, 133netr4d 3011 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) ≠ (𝐶↑0))
15 flt0.1 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
16 oveq2 7172 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
17 oveq2 7172 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝐵𝑁) = (𝐵↑0))
1816, 17oveq12d 7182 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)))
19 oveq2 7172 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝐶𝑁) = (𝐶↑0))
2018, 19eqeq12d 2754 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁) ↔ ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0)))
2115, 20syl5ibcom 248 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 = 0 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0)))
2221imp 410 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0))
2314, 22mteqand 3037 . 2 (𝜑𝑁 ≠ 0)
24 elnnne0 11983 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
251, 23, 24sylanbrc 586 1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  (class class class)co 7164  cc 10606  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611  cn 11709  2c2 11764  0cn0 11969  cexp 13514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-n0 11970  df-z 12056  df-seq 13454  df-exp 13515
This theorem is referenced by:  fltaccoprm  40033
  Copyright terms: Public domain W3C validator