Theorem flt0 27951

Description: A counterexample for FLT does not exist for 𝑁 = 0. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
flt0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
flt0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
flt0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
flt0.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
flt0	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem flt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt0.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		1p1e2 12447	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
3		1ne2 12534	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
4	3	necomi 3010	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
5	2, 4	eqnetri 3026	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) ≠ 1
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) ≠ 1)
7		flt0.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	exp0d 14263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
9		flt0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	exp0d 14263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
11	8, 10	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (1 + 1))
12		flt0.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	exp0d 14263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑0) = 1)
14	6, 11, 13	3netr4d 3033	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) ≠ (𝐶↑0))
15		flt0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
16		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0))
17		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐵↑𝑁) = (𝐵↑0))
18	16, 17	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)))
19		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐶↑𝑁) = (𝐶↑0))
20	18, 19	eqeq12d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁) ↔ ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0)))
21	15, 20	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0)))
22	21	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑0) + (𝐵↑0)) = (𝐶↑0))
23	14, 22	mteqand 3047	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
24		elnnne0 12601	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
25	1, 23, 24	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184  ℕcn 12316  2c2 12378  ℕ₀cn0 12587  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-seq 14125  df-exp 14185

This theorem is used by:  fltaccoprm  27954