Theorem mullt0b2d 42517

Description: When the second term is negative, the first term is positive iff the product is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullt0b2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mullt0b2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mullt0b2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Assertion

Ref	Expression
mullt0b2d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Proof of Theorem mullt0b2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
2	1	gt0ne0d 11676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3		mullt0b2d.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0)
5	4	lt0ne0d 11677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
6	2, 5	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
7		neanior 3021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
8	6, 7	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
9		mullt0b2d.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		mullt0b2d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	10, 12	sn-remul0ord 42441	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
14	8, 13	mtbird 325	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 · 𝐵) = 0)
15		0red 11110	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16	11, 15, 3	ltnsymd 11257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐵)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐵)
18	10, 12, 1	mulgt0b1d 42505	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
19	17, 18	mtbid 324	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵))
20		ioran 985	. . . 4 ⊢ (¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ↔ (¬ (𝐴 · 𝐵) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
21	14, 19, 20	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
22	9, 11	remulcld 11137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
23	22, 15	lttrid 11246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
25	21, 24	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
26		remul02 42438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
27	11, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
28	15	ltnrd 11242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 0)
29	27, 28	eqnbrtrd 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (0 · 𝐵) < 0)
30		oveq1 7348	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
31	30	breq1d 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 𝐴 → ((0 · 𝐵) < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
32	31	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐴 → (¬ (0 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
33	29, 32	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 = 𝐴 → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
34	33	con2d 134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ¬ 0 = 𝐴))
35	34	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ 0 = 𝐴)
36	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ 0 < 𝐵)
37		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
38	9	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	11	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
40		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
41	38, 39, 40	mullt0b1d 42516	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
42	37, 41	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
43	36, 42	mtand 815	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ 𝐴 < 0)
44		ioran 985	. . . 4 ⊢ (¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) ↔ (¬ 0 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 0))
45	35, 43, 44	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
46	15, 9	lttrid 11246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
47	46	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
48	45, 47	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 0 < 𝐴)
49	25, 48	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001   · cmul 11006   < clt 11141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-2 12183  df-3 12184  df-resub 42399  df-rediv 42474

This theorem is referenced by: (None)