Theorem mullt0b2d 43208

Description: When the second term is negative, the first term is positive iff the product is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullt0b2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mullt0b2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mullt0b2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Assertion

Ref	Expression
mullt0b2d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Proof of Theorem mullt0b2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
2	1	gt0ne0d 11781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3		mullt0b2d.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
4	3	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0)
5	4	lt0ne0d 11782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
6	2, 5	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
7		neanior 3058	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
8	6, 7	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
9		mullt0b2d.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		mullt0b2d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	10, 12	sn-remul0ord 43119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
14	8, 13	mtbird 328	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 · 𝐵) = 0)
15		0red 11214	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16	11, 15, 3	ltnsymd 11362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐵)
17	16	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐵)
18	10, 12, 1	mulgt0b1d 43196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
19	17, 18	mtbid 327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵))
20		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ↔ (¬ (𝐴 · 𝐵) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
21	14, 19, 20	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
22	9, 11	remulcld 11242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
23	22, 15	lttrid 11351	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
24	23	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
25	21, 24	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
26		remul02 43116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
27	11, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
28	15	ltnrd 11347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 0)
29	27, 28	eqnbrtrd 5134	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (0 · 𝐵) < 0)
30		oveq1 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
31	30	breq1d 5124	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 𝐴 → ((0 · 𝐵) < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
32	31	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐴 → (¬ (0 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
33	29, 32	syl5ibcom 248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 = 𝐴 → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
34	33	con2d 135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ¬ 0 = 𝐴))
35	34	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ 0 = 𝐴)
36	16	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ 0 < 𝐵)
37		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
38	9	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	11	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
40		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
41	38, 39, 40	mullt0b1d 43207	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
42	37, 41	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
43	36, 42	mtand 827	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ 𝐴 < 0)
44		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) ↔ (¬ 0 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 0))
45	35, 43, 44	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
46	15, 9	lttrid 11351	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
47	46	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
48	45, 47	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 0 < 𝐴)
49	25, 48	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965   class class class wbr 5114  (class class class)co 7414  ℝcr 11102  0cc0 11103   · cmul 11108   < clt 11246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-po 5573  df-so 5574  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-2 12306  df-3 12307  df-resub 43077  df-rediv 43152

This theorem is referenced by: (None)