Theorem mullt0b2d 43372

Description: When the second term is negative, the first term is positive iff the product is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullt0b2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mullt0b2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mullt0b2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Assertion

Ref	Expression
mullt0b2d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Proof of Theorem mullt0b2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
2	1	gt0ne0d 11802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3		mullt0b2d.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
4	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0)
5	4	lt0ne0d 11803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
6	2, 5	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
7		neanior 3048	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
8	6, 7	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
9		mullt0b2d.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		mullt0b2d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	10, 12	sn-remul0ord 43283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
14	8, 13	mtbird 328	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 · 𝐵) = 0)
15		0red 11235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16	11, 15, 3	ltnsymd 11383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐵)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐵)
18	10, 12, 1	mulgt0b1d 43360	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
19	17, 18	mtbid 327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵))
20		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ↔ (¬ (𝐴 · 𝐵) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
21	14, 19, 20	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
22	9, 11	remulcld 11263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
23	22, 15	lttrid 11372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
24	23	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
25	21, 24	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
26		remul02 43280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
27	11, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
28	15	ltnrd 11368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 0)
29	27, 28	eqnbrtrd 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (0 · 𝐵) < 0)
30		oveq1 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
31	30	breq1d 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 𝐴 → ((0 · 𝐵) < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
32	31	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐴 → (¬ (0 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
33	29, 32	syl5ibcom 248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 = 𝐴 → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
34	33	con2d 135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ¬ 0 = 𝐴))
35	34	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ 0 = 𝐴)
36	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ 0 < 𝐵)
37		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
38	9	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	11	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
40		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
41	38, 39, 40	mullt0b1d 43371	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
42	37, 41	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
43	36, 42	mtand 828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ 𝐴 < 0)
44		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) ↔ (¬ 0 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 0))
45	35, 43, 44	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
46	15, 9	lttrid 11372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
47	46	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
48	45, 47	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 0 < 𝐴)
49	25, 48	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124   · cmul 11129   < clt 11267

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-2 12327  df-3 12328  df-resub 43241  df-rediv 43316

This theorem is used by: (None)