Theorem mullt0b2d 42477

Description: When the second term is negative, the first term is positive iff the product is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullt0b2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mullt0b2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mullt0b2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Assertion

Ref	Expression
mullt0b2d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Proof of Theorem mullt0b2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
2	1	gt0ne0d 11703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3		mullt0b2d.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0)
5	4	lt0ne0d 11704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
6	2, 5	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
7		neanior 3018	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
8	6, 7	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
9		mullt0b2d.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		mullt0b2d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	10, 12	sn-remul0ord 42401	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
14	8, 13	mtbird 325	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 · 𝐵) = 0)
15		0red 11137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16	11, 15, 3	ltnsymd 11284	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐵)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐵)
18	10, 12, 1	mulgt0b1d 42465	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
19	17, 18	mtbid 324	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵))
20		ioran 985	. . . 4 ⊢ (¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ↔ (¬ (𝐴 · 𝐵) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
21	14, 19, 20	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
22	9, 11	remulcld 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
23	22, 15	lttrid 11273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
25	21, 24	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
26		remul02 42398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
27	11, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
28	15	ltnrd 11269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 0)
29	27, 28	eqnbrtrd 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (0 · 𝐵) < 0)
30		oveq1 7360	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
31	30	breq1d 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 𝐴 → ((0 · 𝐵) < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
32	31	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐴 → (¬ (0 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
33	29, 32	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 = 𝐴 → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
34	33	con2d 134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ¬ 0 = 𝐴))
35	34	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ 0 = 𝐴)
36	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ 0 < 𝐵)
37		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
38	9	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	11	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
40		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
41	38, 39, 40	mullt0b1d 42476	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
42	37, 41	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
43	36, 42	mtand 815	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ 𝐴 < 0)
44		ioran 985	. . . 4 ⊢ (¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0) ↔ (¬ 0 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 0))
45	35, 43, 44	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
46	15, 9	lttrid 11273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
47	46	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ (0 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
48	45, 47	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 0 < 𝐴)
49	25, 48	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028   · cmul 11033   < clt 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-2 12210  df-3 12211  df-resub 42359  df-rediv 42434

This theorem is referenced by: (None)