MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snifpsrbag Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem snifpsrbag 21857
Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
snifpsrbag ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝑓,𝑁,𝑦   𝑦,𝐼   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑦,𝑓)   𝑉(𝑓)
Proof of Theorem snifpsrbag
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 0nn0 12515 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
32a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„•0)
41, 3ifcld 4570 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ β„•0)
54adantr 479 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ β„•0)
65fmpttd 7119 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0)
7 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
8 c0ex 11236 . . . . . 6 0 ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 0 ∈ V)
10 eqid 2725 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0))
117, 9, 10sniffsupp 9421 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
1211adantr 479 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
13 fcdmnn0fsupp 12557 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin))
1413adantlr 713 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin))
1514bicomd 222 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
166, 15mpdan 685 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
1712, 16mpbird 256 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)
18 psrbag.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
1918psrbag 21852 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)))
2019adantr 479 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)))
216, 17, 20mpbir2and 711 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463  ifcif 4524   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  (class class class)co 7415   ↑m cmap 8841  Fincfn 8960   finSupp cfsupp 9383  0cc0 11136  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-nn 12241  df-n0 12501
This theorem is referenced by:  fczpsrbag  21858  mvrid  21931  mvrf1  21933  mplcoe3  21981  mplcoe5  21983  psdcl  22091
  Copyright terms: Public domain W3C validator