MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snifpsrbag Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem snifpsrbag 21816
Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
snifpsrbag ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓   𝑦,𝑉   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷   𝑓,𝑋,𝑦   𝑓,𝑁,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)
Proof of Theorem snifpsrbag
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 0nn0 12491 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
32a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„•0)
41, 3ifcld 4569 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ β„•0)
54adantr 480 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ β„•0)
65fmpttd 7110 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0)
7 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
8 c0ex 11212 . . . . . 6 0 ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 0 ∈ V)
10 eqid 2726 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0))
117, 9, 10sniffsupp 9397 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
1211adantr 480 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
13 fcdmnn0fsupp 12533 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin))
1413adantlr 712 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin))
1514bicomd 222 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
166, 15mpdan 684 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
1712, 16mpbird 257 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)
18 psrbag.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
1918psrbag 21811 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)))
2019adantr 480 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)))
216, 17, 20mpbir2and 710 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6533  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  0cc0 11112  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-nn 12217  df-n0 12477
This theorem is referenced by:  fczpsrbag  21817  mvrid  21885  mvrf1  21887  mplcoe3  21935  mplcoe5  21937  psdcl  22044
  Copyright terms: Public domain W3C validator