Theorem snifpsrbag 22136

Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
snifpsrbag	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑓,𝑁,𝑦   𝑓,𝑋,𝑦   𝑦,𝐼   𝑦,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑦, 𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem snifpsrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		0nn0 12546	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
4	1, 3	ifcld 4532	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
6	5	fmpttd 7111	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0)
7		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		c0ex 11227	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 ∈ V)
10		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0))
11	7, 9, 10	sniffsupp 9373	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
13		fcdmnn0fsupp 12589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
14	13	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
15	14	bicomd 226	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
16	6, 15	mpdan 700	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
17	12, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
18		psrbag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
19	18	psrbag 22133	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
20	19	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
21	6, 17, 20	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453  ifcif 4485   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6533  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9334  0cc0 11127  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-nn 12261  df-n0 12532

This theorem is used by:  fczpsrbag  22137  mvrid  22199  mvrf1  22201  mplcoe3  22255  mplcoe5  22257  psdcl  22390