MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snifpsrbag Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem snifpsrbag 21475
Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
snifpsrbag ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓   𝑦,𝑉   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷   𝑓,𝑋,𝑦   𝑓,𝑁,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)
Proof of Theorem snifpsrbag
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 0nn0 12487 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
32a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„•0)
41, 3ifcld 4575 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ β„•0)
54adantr 482 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ β„•0)
65fmpttd 7115 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0)
7 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
8 c0ex 11208 . . . . . 6 0 ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 0 ∈ V)
10 eqid 2733 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0))
117, 9, 10sniffsupp 9395 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
1211adantr 482 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
13 fcdmnn0fsupp 12529 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin))
1413adantlr 714 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ (β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin))
1514bicomd 222 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
166, 15mpdan 686 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
1712, 16mpbird 257 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)
18 psrbag.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
1918psrbag 21470 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)))
2019adantr 482 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)))
216, 17, 20mpbir2and 712 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  0cc0 11110  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-nn 12213  df-n0 12473
This theorem is referenced by:  fczpsrbag  21476  mvrid  21543  mvrf1  21545  mplcoe3  21593  mplcoe5  21595
  Copyright terms: Public domain W3C validator