MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snifpsrbag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snifpsrbag 20735
Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
snifpsrbag ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓   𝑦,𝑉   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷   𝑓,𝑋,𝑦   𝑓,𝑁,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem snifpsrbag
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 0nn0 11991 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
41, 3ifcld 4460 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
54adantr 484 . . 3 (((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐼) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
65fmpttd 6889 . 2 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0)
7 id 22 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐼𝑉)
8 c0ex 10713 . . . . . 6 0 ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝑉 → 0 ∈ V)
10 eqid 2738 . . . . 5 (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0))
117, 9, 10sniffsupp 8937 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
1211adantr 484 . . 3 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
13 frnnn0fsupp 12033 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
1413adantlr 715 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
1514bicomd 226 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → (((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
166, 15mpdan 687 . . 3 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
1712, 16mpbird 260 . 2 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
18 psrbag.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
1918psrbag 20730 . . 3 (𝐼𝑉 → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
2019adantr 484 . 2 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
216, 17, 20mpbir2and 713 1 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  {crab 3057  Vcvv 3398  ifcif 4414   class class class wbr 5030  cmpt 5110  ccnv 5524  cima 5528  wf 6335  (class class class)co 7170  m cmap 8437  Fincfn 8555   finSupp cfsupp 8906  0cc0 10615  cn 11716  0cn0 11976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-nn 11717  df-n0 11977
This theorem is referenced by:  fczpsrbag  20736  mvrid  20802  mvrf1  20804  mplcoe3  20849  mplcoe5  20851
  Copyright terms: Public domain W3C validator