Theorem snifpsrbag 21874

Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
snifpsrbag	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑓,𝑁,𝑦   𝑓,𝑋,𝑦   𝑦,𝐼   𝑦,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑦,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem snifpsrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		0nn0 12414	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
4	1, 3	ifcld 4524	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
6	5	fmpttd 7058	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0)
7		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		c0ex 11124	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 ∈ V)
10		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0))
11	7, 9, 10	sniffsupp 9301	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
13		fcdmnn0fsupp 12457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
14	13	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
15	14	bicomd 223	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
16	6, 15	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
17	12, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
18		psrbag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
19	18	psrbag 21871	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
20	19	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
21	6, 17, 20	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3397  Vcvv 3438  ifcif 4477   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  ⟶wf 6486  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  Fincfn 8881   finSupp cfsupp 9262  0cc0 11024  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-nn 12144  df-n0 12400

This theorem is referenced by:  fczpsrbag  21875  mvrid  21937  mvrf1  21939  mplcoe3  21991  mplcoe5  21993  psdcl  22102