Theorem snifpsrbag 20735

Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
snifpsrbag	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑓   𝑦,𝑉   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷   𝑓,𝑋,𝑦   𝑓,𝑁,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem snifpsrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		0nn0 11991	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
4	1, 3	ifcld 4460	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
5	4	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
6	5	fmpttd 6889	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0)
7		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		c0ex 10713	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 ∈ V)
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0))
11	7, 9, 10	sniffsupp 8937	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
12	11	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
13		frnnn0fsupp 12033	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
14	13	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
15	14	bicomd 226	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
16	6, 15	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
17	12, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
18		psrbag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
19	18	psrbag 20730	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
20	19	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
21	6, 17, 20	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3057  Vcvv 3398  ifcif 4414   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ^◡ccnv 5524   “ cima 5528  ⟶wf 6335  (class class class)co 7170   ↑_m cmap 8437  Fincfn 8555   finSupp cfsupp 8906  0cc0 10615  ℕcn 11716  ℕ₀cn0 11976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-nn 11717  df-n0 11977

This theorem is referenced by:  fczpsrbag  20736  mvrid  20802  mvrf1  20804  mplcoe3  20849  mplcoe5  20851