Theorem snifpsrbag 21880

Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
snifpsrbag	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑓,𝑁,𝑦   𝑓,𝑋,𝑦   𝑦,𝐼   𝑦,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑦,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem snifpsrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		0nn0 12420	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
4	1, 3	ifcld 4527	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
6	5	fmpttd 7062	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0)
7		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		c0ex 11130	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 0 ∈ V)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0))
11	7, 9, 10	sniffsupp 9307	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
13		fcdmnn0fsupp 12463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
14	13	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
15	14	bicomd 223	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
16	6, 15	mpdan 688	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
17	12, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
18		psrbag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
19	18	psrbag 21877	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
20	19	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
21	6, 17, 20	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400  Vcvv 3441  ifcif 4480   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  ⟶wf 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887   finSupp cfsupp 9268  0cc0 11030  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-nn 12150  df-n0 12406

This theorem is referenced by:  fczpsrbag  21881  mvrid  21943  mvrf1  21945  mplcoe3  21997  mplcoe5  21999  psdcl  22108