MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snifpsrbag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snifpsrbag 21958
Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
snifpsrbag ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑓,𝑁,𝑦   𝑓,𝑋,𝑦   𝑦,𝐼   𝑦,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑦,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem snifpsrbag
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 0nn0 12539 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
41, 3ifcld 4577 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
54adantr 480 . . 3 (((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐼) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
65fmpttd 7135 . 2 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0)
7 id 22 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐼𝑉)
8 c0ex 11253 . . . . . 6 0 ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝑉 → 0 ∈ V)
10 eqid 2735 . . . . 5 (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0))
117, 9, 10sniffsupp 9438 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
1211adantr 480 . . 3 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
13 fcdmnn0fsupp 12582 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
1413adantlr 715 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
1514bicomd 223 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → (((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
166, 15mpdan 687 . . 3 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
1712, 16mpbird 257 . 2 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
18 psrbag.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
1918psrbag 21955 . . 3 (𝐼𝑉 → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
2019adantr 480 . 2 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
216, 17, 20mpbir2and 713 1 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  cima 5692  wf 6559  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-nn 12265  df-n0 12525
This theorem is referenced by:  fczpsrbag  21959  mvrid  22022  mvrf1  22024  mplcoe3  22074  mplcoe5  22076  psdcl  22183
  Copyright terms: Public domain W3C validator