MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snifpsrbag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snifpsrbag 21786
Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
snifpsrbag ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓   𝑦,𝑉   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷   𝑓,𝑋,𝑦   𝑓,𝑁,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem snifpsrbag
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 0nn0 12485 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
41, 3ifcld 4567 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
54adantr 480 . . 3 (((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐼) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
65fmpttd 7107 . 2 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0)
7 id 22 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐼𝑉)
8 c0ex 11206 . . . . . 6 0 ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝑉 → 0 ∈ V)
10 eqid 2724 . . . . 5 (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0))
117, 9, 10sniffsupp 9392 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
1211adantr 480 . . 3 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
13 fcdmnn0fsupp 12527 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
1413adantlr 712 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
1514bicomd 222 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → (((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
166, 15mpdan 684 . . 3 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
1712, 16mpbird 257 . 2 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
18 psrbag.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
1918psrbag 21781 . . 3 (𝐼𝑉 → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
2019adantr 480 . 2 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
216, 17, 20mpbir2and 710 1 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  ifcif 4521   class class class wbr 5139  cmpt 5222  ccnv 5666  cima 5670  wf 6530  (class class class)co 7402  m cmap 8817  Fincfn 8936   finSupp cfsupp 9358  0cc0 11107  cn 12210  0cn0 12470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-nn 12211  df-n0 12471
This theorem is referenced by:  fczpsrbag  21787  mvrid  21855  mvrf1  21857  mplcoe3  21905  mplcoe5  21907  psdcl  22014
  Copyright terms: Public domain W3C validator