Theorem subsge0d 28109

Description: Non-negative subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 26-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsge0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subsge0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subsge0d	⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s (𝐴 -s 𝐵) ↔ 𝐵 ≤s 𝐴))

Proof of Theorem subsge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0no 27818	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
3		subsge0d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		subsge0d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5	3, 4	subscld 28072	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
6	2, 5, 4	leadds1d 28004	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s (𝐴 -s 𝐵) ↔ ( 0s +s 𝐵) ≤s ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵)))
7		addslid 27977	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( 0s +s 𝐵) = 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 0s +s 𝐵) = 𝐵)
9		npcans 28084	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
10	3, 4, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
11	8, 10	breq12d 5099	. 2 ⊢ (𝜑 → (( 0s +s 𝐵) ≤s ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) ↔ 𝐵 ≤s 𝐴))
12	6, 11	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s (𝐴 -s 𝐵) ↔ 𝐵 ≤s 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361   No csur 27620   ≤s cles 27725   0_s c0s 27814   +_s cadds 27968   -_s csubs 28029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-1o 8399  df-2o 8400  df-nadd 8596  df-no 27623  df-lts 27624  df-bday 27625  df-les 27726  df-slts 27767  df-cuts 27769  df-0s 27816  df-made 27836  df-old 27837  df-left 27839  df-right 27840  df-norec 27947  df-norec2 27958  df-adds 27969  df-negs 28030  df-subs 28031

This theorem is referenced by:  n0subs  28372  eln0zs  28409  zn0subs  28412  peano5uzs  28413