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Theorem peano5uzs 28405
Description: Peano's inductive postulate for upper surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
peano5uzs.1 (𝜑𝑁 ∈ ℤs)
peano5uzs.2 (𝜑𝑁𝐴)
peano5uzs.3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 +s 1s ) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
peano5uzs (𝜑 → {𝑘 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑘} ⊆ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑥,𝑘   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem peano5uzs
Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5152 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (𝑁 ≤s 𝑘𝑁 ≤s 𝑛))
21elrab 3695 . . 3 (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑘} ↔ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛))
3 zno 28383 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤs𝑛 No )
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛) → 𝑛 No )
5 peano5uzs.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤs)
65znod 28384 . . . . . 6 (𝜑𝑁 No )
7 npcans 28120 . . . . . 6 ((𝑛 No 𝑁 No ) → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) = 𝑛)
84, 6, 7syl2anr 597 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) = 𝑛)
9 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤs)
105adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤs)
119, 10zsubscld 28397 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → (𝑛 -s 𝑁) ∈ ℤs)
123adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℤs) → 𝑛 No )
136adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℤs) → 𝑁 No )
1412, 13subsge0d 28144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℤs) → ( 0s ≤s (𝑛 -s 𝑁) ↔ 𝑁 ≤s 𝑛))
1514biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℤs) ∧ 𝑁 ≤s 𝑛) → 0s ≤s (𝑛 -s 𝑁))
1615anasss 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → 0s ≤s (𝑛 -s 𝑁))
1711, 16jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → ((𝑛 -s 𝑁) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑛 -s 𝑁)))
18 eln0zs 28401 . . . . . . . . 9 ((𝑛 -s 𝑁) ∈ ℕ0s ↔ ((𝑛 -s 𝑁) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑛 -s 𝑁)))
1917, 18sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → (𝑛 -s 𝑁) ∈ ℕ0s)
2019ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛) → (𝑛 -s 𝑁) ∈ ℕ0s))
21 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 0s → (𝑧 +s 𝑁) = ( 0s +s 𝑁))
2221eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 0s → ((𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ ( 0s +s 𝑁) ∈ 𝐴))
2322imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0s → ((𝜑 → (𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → ( 0s +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
24 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 +s 𝑁) = (𝑦 +s 𝑁))
2524eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴))
2625imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → (𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
27 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑦 +s 1s ) → (𝑧 +s 𝑁) = ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁))
2827eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑦 +s 1s ) → ((𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
2928imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦 +s 1s ) → ((𝜑 → (𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
30 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑛 -s 𝑁) → (𝑧 +s 𝑁) = ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁))
3130eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑛 -s 𝑁) → ((𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
3231imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑛 -s 𝑁) → ((𝜑 → (𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
33 addslid 28016 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 No → ( 0s +s 𝑁) = 𝑁)
346, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( 0s +s 𝑁) = 𝑁)
35 peano5uzs.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝐴)
3634, 35eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 0s +s 𝑁) ∈ 𝐴)
37 peano5uzs.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 +s 1s ) ∈ 𝐴)
3837ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝑥 +s 1s ) ∈ 𝐴)
39 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 +s 𝑁) → (𝑥 +s 1s ) = ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ))
4039eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 +s 𝑁) → ((𝑥 +s 1s ) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ) ∈ 𝐴))
4140rspccv 3619 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐴 (𝑥 +s 1s ) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ) ∈ 𝐴))
4238, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ) ∈ 𝐴))
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0s𝜑) → ((𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ) ∈ 𝐴))
44 n0sno 28343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ0s𝑦 No )
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0s𝜑) → 𝑦 No )
46 1sno 27887 . . . . . . . . . . . . . . 15 1s No
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0s𝜑) → 1s No )
486adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0s𝜑) → 𝑁 No )
4945, 47, 48adds32d 28055 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0s𝜑) → ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) = ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ))
5049eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0s𝜑) → (((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ) ∈ 𝐴))
5143, 50sylibrd 259 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0s𝜑) → ((𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
5251ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0s → (𝜑 → ((𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
5352a2d 29 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0s → ((𝜑 → (𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴) → (𝜑 → ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
5423, 26, 29, 32, 36, 53n0sind 28352 . . . . . . . 8 ((𝑛 -s 𝑁) ∈ ℕ0s → (𝜑 → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
5554com12 32 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑛 -s 𝑁) ∈ ℕ0s → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
5620, 55syld 47 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛) → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
5756imp 406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴)
588, 57eqeltrrd 2840 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → 𝑛𝐴)
5958ex 412 . . 3 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛) → 𝑛𝐴))
602, 59biimtrid 242 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑘} → 𝑛𝐴))
6160ssrdv 4001 1 (𝜑 → {𝑘 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑘} ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  wss 3963   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431   No csur 27699   ≤s csle 27804   0s c0s 27882   1s c1s 27883   +s cadds 28007   -s csubs 28067  0scnn0s 28333  sczs 28379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-nadd 8703  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sle 27805  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-0s 27884  df-1s 27885  df-made 27901  df-old 27902  df-left 27904  df-right 27905  df-norec 27986  df-norec2 27997  df-adds 28008  df-negs 28068  df-subs 28069  df-n0s 28335  df-nns 28336  df-zs 28380
This theorem is referenced by:  uzsind  28406
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