Theorem peano5uzs 28299

Description: Peano's inductive postulate for upper surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
peano5uzs.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤs)
peano5uzs.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐴)
peano5uzs.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 +s 1s ) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
peano5uzs	⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ ℤs ∣ 𝑁 ≤s 𝑘} ⊆ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑥,𝑘   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem peano5uzs

Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5114	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑁 ≤s 𝑘 ↔ 𝑁 ≤s 𝑛))
2	1	elrab 3662	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤs ∣ 𝑁 ≤s 𝑘} ↔ (𝑛 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ≤s 𝑛))
3		zno 28277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤs → 𝑛 ∈ No )
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ≤s 𝑛) → 𝑛 ∈ No )
5		peano5uzs.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤs)
6	5	znod 28278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ No )
7		npcans 27986	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ No ) → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) = 𝑛)
8	4, 6, 7	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ≤s 𝑛)) → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) = 𝑛)
9		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ≤s 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤs)
10	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ≤s 𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤs)
11	9, 10	zsubscld 28291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ≤s 𝑛)) → (𝑛 -s 𝑁) ∈ ℤs)
12	3	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤs) → 𝑛 ∈ No )
13	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤs) → 𝑁 ∈ No )
14	12, 13	subsge0d 28010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤs) → ( 0s ≤s (𝑛 -s 𝑁) ↔ 𝑁 ≤s 𝑛))
15	14	biimpar 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤs) ∧ 𝑁 ≤s 𝑛) → 0s ≤s (𝑛 -s 𝑁))
16	15	anasss 466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ≤s 𝑛)) → 0s ≤s (𝑛 -s 𝑁))
17	11, 16	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ≤s 𝑛)) → ((𝑛 -s 𝑁) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑛 -s 𝑁)))
18		eln0zs 28295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 -s 𝑁) ∈ ℕ0s ↔ ((𝑛 -s 𝑁) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑛 -s 𝑁)))
19	17, 18	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ≤s 𝑛)) → (𝑛 -s 𝑁) ∈ ℕ0s)
20	19	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ≤s 𝑛) → (𝑛 -s 𝑁) ∈ ℕ0s))
21		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 0s → (𝑧 +s 𝑁) = ( 0s +s 𝑁))
22	21	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 0s → ((𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ ( 0s +s 𝑁) ∈ 𝐴))
23	22	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0s → ((𝜑 → (𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → ( 0s +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
24		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 +s 𝑁) = (𝑦 +s 𝑁))
25	24	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴))
26	25	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → (𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
27		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +s 1s ) → (𝑧 +s 𝑁) = ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁))
28	27	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +s 1s ) → ((𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
29	28	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +s 1s ) → ((𝜑 → (𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
30		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑛 -s 𝑁) → (𝑧 +s 𝑁) = ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁))
31	30	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑛 -s 𝑁) → ((𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
32	31	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑛 -s 𝑁) → ((𝜑 → (𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
33		addslid 27882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s +s 𝑁) = 𝑁)
34	6, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( 0s +s 𝑁) = 𝑁)
35		peano5uzs.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐴)
36	34, 35	eqeltrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 0s +s 𝑁) ∈ 𝐴)
37		peano5uzs.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 +s 1s ) ∈ 𝐴)
38	37	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +s 1s ) ∈ 𝐴)
39		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +s 𝑁) → (𝑥 +s 1s ) = ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ))
40	39	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +s 𝑁) → ((𝑥 +s 1s ) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ) ∈ 𝐴))
41	40	rspccv 3588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +s 1s ) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ) ∈ 𝐴))
42	38, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ) ∈ 𝐴))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝜑) → ((𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ) ∈ 𝐴))
44		n0sno 28223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0s → 𝑦 ∈ No )
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝜑) → 𝑦 ∈ No )
46		1sno 27746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1s ∈ No
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝜑) → 1s ∈ No )
48	6	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ No )
49	45, 47, 48	adds32d 27921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝜑) → ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) = ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ))
50	49	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝜑) → (((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ) ∈ 𝐴))
51	43, 50	sylibrd 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝜑) → ((𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
52	51	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0s → (𝜑 → ((𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
53	52	a2d 29	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0s → ((𝜑 → (𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴) → (𝜑 → ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
54	23, 26, 29, 32, 36, 53	n0sind 28232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 -s 𝑁) ∈ ℕ0s → (𝜑 → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
55	54	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 -s 𝑁) ∈ ℕ0s → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
56	20, 55	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ≤s 𝑛) → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
57	56	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ≤s 𝑛)) → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴)
58	8, 57	eqeltrrd 2830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ≤s 𝑛)) → 𝑛 ∈ 𝐴)
59	58	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ≤s 𝑛) → 𝑛 ∈ 𝐴))
60	2, 59	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤs ∣ 𝑁 ≤s 𝑘} → 𝑛 ∈ 𝐴))
61	60	ssrdv 3955	1 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ ℤs ∣ 𝑁 ≤s 𝑘} ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  {crab 3408   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390   No csur 27558   ≤s csle 27663   0_s c0s 27741   1_s c1s 27742   +_s cadds 27873   -_s csubs 27933  ℕ_0scnn0s 28213  ℤ_sczs 28273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-nadd 8633  df-no 27561  df-slt 27562  df-bday 27563  df-sle 27664  df-sslt 27700  df-scut 27702  df-0s 27743  df-1s 27744  df-made 27762  df-old 27763  df-left 27765  df-right 27766  df-norec 27852  df-norec2 27863  df-adds 27874  df-negs 27934  df-subs 27935  df-n0s 28215  df-nns 28216  df-zs 28274

This theorem is referenced by:  uzsind  28300