MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano5uzs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano5uzs 28391
Description: Peano's inductive postulate for upper surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
peano5uzs.1 (𝜑𝑁 ∈ ℤs)
peano5uzs.2 (𝜑𝑁𝐴)
peano5uzs.3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 +s 1s ) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
peano5uzs (𝜑 → {𝑘 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑘} ⊆ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑥,𝑘   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem peano5uzs
Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5146 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (𝑁 ≤s 𝑘𝑁 ≤s 𝑛))
21elrab 3691 . . 3 (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑘} ↔ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛))
3 zno 28369 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤs𝑛 No )
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛) → 𝑛 No )
5 peano5uzs.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤs)
65znod 28370 . . . . . 6 (𝜑𝑁 No )
7 npcans 28106 . . . . . 6 ((𝑛 No 𝑁 No ) → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) = 𝑛)
84, 6, 7syl2anr 597 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) = 𝑛)
9 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤs)
105adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤs)
119, 10zsubscld 28383 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → (𝑛 -s 𝑁) ∈ ℤs)
123adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℤs) → 𝑛 No )
136adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℤs) → 𝑁 No )
1412, 13subsge0d 28130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℤs) → ( 0s ≤s (𝑛 -s 𝑁) ↔ 𝑁 ≤s 𝑛))
1514biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℤs) ∧ 𝑁 ≤s 𝑛) → 0s ≤s (𝑛 -s 𝑁))
1615anasss 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → 0s ≤s (𝑛 -s 𝑁))
1711, 16jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → ((𝑛 -s 𝑁) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑛 -s 𝑁)))
18 eln0zs 28387 . . . . . . . . 9 ((𝑛 -s 𝑁) ∈ ℕ0s ↔ ((𝑛 -s 𝑁) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑛 -s 𝑁)))
1917, 18sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → (𝑛 -s 𝑁) ∈ ℕ0s)
2019ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛) → (𝑛 -s 𝑁) ∈ ℕ0s))
21 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 0s → (𝑧 +s 𝑁) = ( 0s +s 𝑁))
2221eleq1d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 0s → ((𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ ( 0s +s 𝑁) ∈ 𝐴))
2322imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0s → ((𝜑 → (𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → ( 0s +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
24 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 +s 𝑁) = (𝑦 +s 𝑁))
2524eleq1d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴))
2625imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → (𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
27 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑦 +s 1s ) → (𝑧 +s 𝑁) = ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁))
2827eleq1d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑦 +s 1s ) → ((𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
2928imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦 +s 1s ) → ((𝜑 → (𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
30 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑛 -s 𝑁) → (𝑧 +s 𝑁) = ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁))
3130eleq1d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑛 -s 𝑁) → ((𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
3231imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑛 -s 𝑁) → ((𝜑 → (𝑧 +s 𝑁) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
33 addslid 28002 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 No → ( 0s +s 𝑁) = 𝑁)
346, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( 0s +s 𝑁) = 𝑁)
35 peano5uzs.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝐴)
3634, 35eqeltrd 2840 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 0s +s 𝑁) ∈ 𝐴)
37 peano5uzs.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 +s 1s ) ∈ 𝐴)
3837ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝑥 +s 1s ) ∈ 𝐴)
39 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 +s 𝑁) → (𝑥 +s 1s ) = ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ))
4039eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 +s 𝑁) → ((𝑥 +s 1s ) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ) ∈ 𝐴))
4140rspccv 3618 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐴 (𝑥 +s 1s ) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ) ∈ 𝐴))
4238, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ) ∈ 𝐴))
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0s𝜑) → ((𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ) ∈ 𝐴))
44 n0sno 28329 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ0s𝑦 No )
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0s𝜑) → 𝑦 No )
46 1sno 27873 . . . . . . . . . . . . . . 15 1s No
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0s𝜑) → 1s No )
486adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0s𝜑) → 𝑁 No )
4945, 47, 48adds32d 28041 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0s𝜑) → ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) = ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ))
5049eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0s𝜑) → (((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +s 𝑁) +s 1s ) ∈ 𝐴))
5143, 50sylibrd 259 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0s𝜑) → ((𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
5251ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0s → (𝜑 → ((𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
5352a2d 29 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0s → ((𝜑 → (𝑦 +s 𝑁) ∈ 𝐴) → (𝜑 → ((𝑦 +s 1s ) +s 𝑁) ∈ 𝐴)))
5423, 26, 29, 32, 36, 53n0sind 28338 . . . . . . . 8 ((𝑛 -s 𝑁) ∈ ℕ0s → (𝜑 → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
5554com12 32 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑛 -s 𝑁) ∈ ℕ0s → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
5620, 55syld 47 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛) → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴))
5756imp 406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → ((𝑛 -s 𝑁) +s 𝑁) ∈ 𝐴)
588, 57eqeltrrd 2841 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛)) → 𝑛𝐴)
5958ex 412 . . 3 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑛) → 𝑛𝐴))
602, 59biimtrid 242 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑘} → 𝑛𝐴))
6160ssrdv 3988 1 (𝜑 → {𝑘 ∈ ℤs𝑁 ≤s 𝑘} ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  {crab 3435  wss 3950   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432   No csur 27685   ≤s csle 27790   0s c0s 27868   1s c1s 27869   +s cadds 27993   -s csubs 28053  0scnn0s 28319  sczs 28365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-nadd 8705  df-no 27688  df-slt 27689  df-bday 27690  df-sle 27791  df-sslt 27827  df-scut 27829  df-0s 27870  df-1s 27871  df-made 27887  df-old 27888  df-left 27890  df-right 27891  df-norec 27972  df-norec2 27983  df-adds 27994  df-negs 28054  df-subs 28055  df-n0s 28321  df-nns 28322  df-zs 28366
This theorem is referenced by:  uzsind  28392
  Copyright terms: Public domain W3C validator