Theorem addsubs4d 28367

Description: Rearrangement of four terms in mixed addition and subtraction. Surreal version. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsubs4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsubs4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
addsubs4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
addsubs4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addsubs4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) -s (𝐶 +s 𝐷)) = ((𝐴 -s 𝐶) +s (𝐵 -s 𝐷)))

Proof of Theorem addsubs4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsubs4d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		addsubs4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		addsubs4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4	1, 2, 3	addsubsd 28348	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) -s 𝐶) = ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐵))
5	4	oveq1d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 +s 𝐵) -s 𝐶) -s 𝐷) = (((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐵) -s 𝐷))
6	1, 2	addscld 28246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
7		addsubs4d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
8	6, 3, 7	subsubs4d 28360	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 +s 𝐵) -s 𝐶) -s 𝐷) = ((𝐴 +s 𝐵) -s (𝐶 +s 𝐷)))
9	1, 3	subscld 28329	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐶) ∈ No )
10	9, 2, 7	addsubsassd 28347	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐵) -s 𝐷) = ((𝐴 -s 𝐶) +s (𝐵 -s 𝐷)))
11	5, 8, 10	3eqtr3d 2805	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) -s (𝐶 +s 𝐷)) = ((𝐴 -s 𝐶) +s (𝐵 -s 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416   No csur 27877   +_s cadds 28225   -_s csubs 28286

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-1o 8458  df-2o 8459  df-nadd 8657  df-no 27880  df-lts 27881  df-bday 27882  df-les 27982  df-slts 28024  df-cuts 28026  df-0s 28073  df-made 28093  df-old 28094  df-left 28096  df-right 28097  df-norec 28204  df-norec2 28215  df-adds 28226  df-negs 28287  df-subs 28288

This theorem is used by:  zaddscl  28660  zmulscld  28663  zseo  28688