Theorem zn0subs 28328

Description: The non-negative difference of surreal integers is a non-negative integer. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zn0subs	⊢ ((𝑀 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s))

Proof of Theorem zn0subs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zno 28307	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs → 𝑁 ∈ No )
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑁 ∈ No )
3		zno 28307	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤs → 𝑀 ∈ No )
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑀 ∈ No )
5	2, 4	subsge0d 28040	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → ( 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀) ↔ 𝑀 ≤s 𝑁))
6		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑁 ∈ ℤs)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑀 ∈ ℤs)
8	6, 7	zsubscld 28321	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs)
9	8	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → ( 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀) ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀))))
10	5, 9	bitr3d 281	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀))))
11	10	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀))))
12		eln0zs 28325	. 2 ⊢ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀)))
13	11, 12	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352   No csur 27579   ≤s csle 27684   0_s c0s 27767   -_s csubs 27963  ℕ_0scnn0s 28243  ℤ_sczs 28303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-nadd 8587  df-no 27582  df-slt 27583  df-bday 27584  df-sle 27685  df-sslt 27722  df-scut 27724  df-0s 27769  df-1s 27770  df-made 27789  df-old 27790  df-left 27792  df-right 27793  df-norec 27882  df-norec2 27893  df-adds 27904  df-negs 27964  df-subs 27965  df-n0s 28245  df-nns 28246  df-zs 28304

This theorem is referenced by: (None)