Theorem zn0subs 28348

Description: The non-negative difference of surreal integers is a non-negative integer. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zn0subs	⊢ ((𝑀 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s))

Proof of Theorem zn0subs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zno 28327	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs → 𝑁 ∈ No )
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑁 ∈ No )
3		zno 28327	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤs → 𝑀 ∈ No )
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑀 ∈ No )
5	2, 4	subsge0d 28060	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → ( 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀) ↔ 𝑀 ≤s 𝑁))
6		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑁 ∈ ℤs)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑀 ∈ ℤs)
8	6, 7	zsubscld 28341	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs)
9	8	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → ( 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀) ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀))))
10	5, 9	bitr3d 281	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀))))
11	10	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀))))
12		eln0zs 28345	. 2 ⊢ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀)))
13	11, 12	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410   No csur 27608   ≤s csle 27713   0_s c0s 27791   -_s csubs 27983  ℕ_0scnn0s 28263  ℤ_sczs 28323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-nadd 8683  df-no 27611  df-slt 27612  df-bday 27613  df-sle 27714  df-sslt 27750  df-scut 27752  df-0s 27793  df-1s 27794  df-made 27812  df-old 27813  df-left 27815  df-right 27816  df-norec 27902  df-norec2 27913  df-adds 27924  df-negs 27984  df-subs 27985  df-n0s 28265  df-nns 28266  df-zs 28324

This theorem is referenced by: (None)