Theorem zn0subs 28669

Description: The non-negative difference of surreal integers is a non-negative integer. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zn0subs	⊢ ((𝑀 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s))

Proof of Theorem zn0subs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zno 28648	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs → 𝑁 ∈ No )
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑁 ∈ No )
3		zno 28648	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤs → 𝑀 ∈ No )
4	3	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑀 ∈ No )
5	2, 4	subsge0d 28366	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → ( 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀) ↔ 𝑀 ≤s 𝑁))
6		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑁 ∈ ℤs)
7		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑀 ∈ ℤs)
8	6, 7	zsubscld 28662	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs)
9	8	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → ( 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀) ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀))))
10	5, 9	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀))))
11	10	ancoms 464	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀))))
12		eln0zs 28666	. 2 ⊢ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀)))
13	11, 12	bitr4di 292	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416   No csur 27877   ≤s cles 27981   0_s c0s 28071   -_s csubs 28286  ℕ_0scn0s 28578  ℤ_sczs 28644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-nadd 8657  df-no 27880  df-lts 27881  df-bday 27882  df-les 27982  df-slts 28024  df-cuts 28026  df-0s 28073  df-1s 28074  df-made 28093  df-old 28094  df-left 28096  df-right 28097  df-norec 28204  df-norec2 28215  df-adds 28226  df-negs 28287  df-subs 28288  df-n0s 28580  df-nns 28581  df-zs 28645

This theorem is used by: (None)