Theorem zn0subs 28414

Description: The non-negative difference of surreal integers is a non-negative integer. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zn0subs	⊢ ((𝑀 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s))

Proof of Theorem zn0subs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zno 28393	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs → 𝑁 ∈ No )
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑁 ∈ No )
3		zno 28393	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤs → 𝑀 ∈ No )
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑀 ∈ No )
5	2, 4	subsge0d 28111	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → ( 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀) ↔ 𝑀 ≤s 𝑁))
6		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑁 ∈ ℤs)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → 𝑀 ∈ ℤs)
8	6, 7	zsubscld 28407	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs)
9	8	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → ( 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀) ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀))))
10	5, 9	bitr3d 281	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 𝑀 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀))))
11	10	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀))))
12		eln0zs 28411	. 2 ⊢ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s ↔ ((𝑁 -s 𝑀) ∈ ℤs ∧ 0s ≤s (𝑁 -s 𝑀)))
13	11, 12	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤs ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑁 -s 𝑀) ∈ ℕ0s))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358   No csur 27622   ≤s cles 27727   0_s c0s 27816   -_s csubs 28031  ℕ_0scn0s 28323  ℤ_sczs 28389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-nadd 8593  df-no 27625  df-lts 27626  df-bday 27627  df-les 27728  df-slts 27769  df-cuts 27771  df-0s 27818  df-1s 27819  df-made 27838  df-old 27839  df-left 27841  df-right 27842  df-norec 27949  df-norec2 27960  df-adds 27971  df-negs 28032  df-subs 28033  df-n0s 28325  df-nns 28326  df-zs 28390

This theorem is referenced by: (None)