Theorem ltsubrpd 13189

Description: Subtracting a positive real from another number decreases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltsubrpd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)

Proof of Theorem ltsubrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltsubrp 13151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝcr 11192   < clt 11336   − cmin 11534  ℝ⁺crp 13113

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-sub 11536  df-neg 11537  df-rp 13114

This theorem is used by:  2swrd2eqwrdeq  15099  tanhlt1  16321  prmdvdsbc  16895  pythagtriplem13  16998  iccntr  25134  icccmplem2  25136  opnreen  25144  evth  25273  ovollb2lem  25802  ismbf3d  25968  itg2seq  26056  itg2cn  26077  dvferm2lem  26299  lhop  26329  dvcnvrelem1  26330  dvcnvrelem2  26331  aaliou3lem7  26669  lgseisenlem1  27695  pntlem3  27929  lt2addrd  33335  ltesubnnd  33407  tpr2rico  34537  fiblem  35023  signstfveq0  35199  mblfinlem3  38557  mblfinlem4  38558  hashscontpow1  43151  fltltc  43652  suprltrp  46309  suplesup  46320  xrralrecnnge  46370  iooiinicc  46523  sumnnodd  46611  lptre2pt  46619  ioodvbdlimc2lem  46913  dvnmul  46922  stoweidlem18  46997  fourierdlem107  47192  fouriersw  47210  hoiqssbllem3  47603  ovolval5lem2  47632  preimageiingt  47699  smfmullem3  47772  gpgedgvtx1  49129  eenglngeehlnmlem2  49819