MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsubrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltsubrpd 12453
Description: Subtracting a positive real from another number decreases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ltsubrpd (𝜑 → (𝐴𝐵) < 𝐴)

Proof of Theorem ltsubrpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 ltsubrp 12415 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵) < 𝐴)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5063  (class class class)co 7148  cr 10525   < clt 10664  cmin 10859  +crp 12379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862  df-rp 12380
This theorem is referenced by:  2swrd2eqwrdeq  14305  tanhlt1  15503  pythagtriplem13  16154  iccntr  23344  icccmplem2  23346  opnreen  23354  evth  23478  ovollb2lem  24004  ismbf3d  24170  itg2seq  24258  itg2cn  24279  dvferm2lem  24498  lhop  24528  dvcnvrelem1  24529  dvcnvrelem2  24530  aaliou3lem7  24853  lgseisenlem1  25865  pntlem3  26099  lt2addrd  30388  prmdvdsbc  30445  ltesubnnd  30452  tpr2rico  31041  fiblem  31542  signstfveq0  31733  mblfinlem3  34798  mblfinlem4  34799  fltltc  39138  suprltrp  41461  suplesup  41472  xrralrecnnge  41527  iooiinicc  41683  sumnnodd  41776  lptre2pt  41786  ioodvbdlimc2lem  42084  dvnmul  42093  stoweidlem18  42169  fourierdlem107  42364  fouriersw  42382  hoiqssbllem3  42772  ovolval5lem2  42801  preimageiingt  42864  smfmullem3  42934  eenglngeehlnmlem2  44557
  Copyright terms: Public domain W3C validator