Theorem ltsubrpd 13201

Description: Subtracting a positive real from another number decreases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltsubrpd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)

Proof of Theorem ltsubrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltsubrp 13163	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7422  ℝcr 11204   < clt 11348   − cmin 11546  ℝ⁺crp 13125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-ltxr 11353  df-sub 11548  df-neg 11549  df-rp 13126

This theorem is used by:  2swrd2eqwrdeq  15113  tanhlt1  16335  prmdvdsbc  16909  pythagtriplem13  17012  iccntr  25148  icccmplem2  25150  opnreen  25158  evth  25287  ovollb2lem  25816  ismbf3d  25982  itg2seq  26070  itg2cn  26091  dvferm2lem  26313  lhop  26343  dvcnvrelem1  26344  dvcnvrelem2  26345  aaliou3lem7  26683  lgseisenlem1  27709  pntlem3  27943  lt2addrd  33390  ltesubnnd  33462  tpr2rico  34592  fiblem  35078  signstfveq0  35254  mblfinlem3  38684  mblfinlem4  38685  hashscontpow1  43278  fltltc  43779  suprltrp  46447  suplesup  46458  xrralrecnnge  46508  iooiinicc  46661  sumnnodd  46749  lptre2pt  46757  ioodvbdlimc2lem  47051  dvnmul  47060  stoweidlem18  47135  fourierdlem107  47330  fouriersw  47348  hoiqssbllem3  47741  ovolval5lem2  47770  preimageiingt  47837  smfmullem3  47910  gpgedgvtx1  49267  eenglngeehlnmlem2  49958