Theorem ltsubrpd 13108

Description: Subtracting a positive real from another number decreases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltsubrpd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)

Proof of Theorem ltsubrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltsubrp 13070	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝcr 11114   < clt 11258   − cmin 11456  ℝ⁺crp 13032

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263  df-sub 11458  df-neg 11459  df-rp 13033

This theorem is used by:  2swrd2eqwrdeq  15014  tanhlt1  16238  prmdvdsbc  16807  pythagtriplem13  16909  iccntr  25030  icccmplem2  25032  opnreen  25040  evth  25169  ovollb2lem  25698  ismbf3d  25864  itg2seq  25952  itg2cn  25973  dvferm2lem  26196  lhop  26226  dvcnvrelem1  26227  dvcnvrelem2  26228  aaliou3lem7  26563  lgseisenlem1  27590  pntlem3  27824  lt2addrd  33165  ltesubnnd  33237  tpr2rico  34366  fiblem  34853  signstfveq0  35029  mblfinlem3  38367  mblfinlem4  38368  hashscontpow1  42946  fltltc  43451  suprltrp  46102  suplesup  46113  xrralrecnnge  46163  iooiinicc  46316  sumnnodd  46404  lptre2pt  46412  ioodvbdlimc2lem  46706  dvnmul  46715  stoweidlem18  46790  fourierdlem107  46985  fouriersw  47003  hoiqssbllem3  47396  ovolval5lem2  47425  preimageiingt  47492  smfmullem3  47565  gpgedgvtx1  48885  eenglngeehlnmlem2  49575