Theorem ltsubrpd 13236

Description: Subtracting a positive real from another number decreases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltsubrpd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)

Proof of Theorem ltsubrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltsubrp 13198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238   < clt 11382   − cmin 11580  ℝ⁺crp 13160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583  df-rp 13161

This theorem is used by:  2swrd2eqwrdeq  15149  tanhlt1  16372  prmdvdsbc  16946  pythagtriplem13  17049  iccntr  25196  icccmplem2  25198  opnreen  25206  evth  25335  ovollb2lem  25864  ismbf3d  26030  itg2seq  26118  itg2cn  26139  dvferm2lem  26361  lhop  26391  dvcnvrelem1  26392  dvcnvrelem2  26393  aaliou3lem7  26733  lgseisenlem1  27759  pntlem3  27993  lt2addrd  33438  ltesubnnd  33510  tpr2rico  34655  fiblem  35141  signstfveq0  35317  mblfinlem3  38845  mblfinlem4  38846  hashscontpow1  43437  fltltc  43938  suprltrp  46613  suplesup  46624  xrralrecnnge  46674  iooiinicc  46827  sumnnodd  46915  lptre2pt  46923  ioodvbdlimc2lem  47217  dvnmul  47226  stoweidlem18  47301  fourierdlem107  47496  fouriersw  47514  hoiqssbllem3  47907  ovolval5lem2  47936  preimageiingt  48003  smfmullem3  48076  gpgedgvtx1  49433  eenglngeehlnmlem2  50182