MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsubrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltsubrpd 12990
Description: Subtracting a positive real from another number decreases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ltsubrpd (𝜑 → (𝐴𝐵) < 𝐴)

Proof of Theorem ltsubrpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 ltsubrp 12952 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵) < 𝐴)
41, 2, 3syl2anc 585 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051   < clt 11190  cmin 11386  +crp 12916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388  df-neg 11389  df-rp 12917
This theorem is referenced by:  2swrd2eqwrdeq  14843  tanhlt1  16043  pythagtriplem13  16700  iccntr  24187  icccmplem2  24189  opnreen  24197  evth  24325  ovollb2lem  24855  ismbf3d  25021  itg2seq  25110  itg2cn  25131  dvferm2lem  25353  lhop  25383  dvcnvrelem1  25384  dvcnvrelem2  25385  aaliou3lem7  25712  lgseisenlem1  26726  pntlem3  26960  lt2addrd  31659  prmdvdsbc  31715  ltesubnnd  31721  tpr2rico  32496  fiblem  33001  signstfveq0  33192  mblfinlem3  36120  mblfinlem4  36121  metakunt18  40597  metakunt28  40607  metakunt29  40608  metakunt30  40609  fltltc  41002  suprltrp  43569  suplesup  43580  xrralrecnnge  43632  iooiinicc  43787  sumnnodd  43878  lptre2pt  43888  ioodvbdlimc2lem  44182  dvnmul  44191  stoweidlem18  44266  fourierdlem107  44461  fouriersw  44479  hoiqssbllem3  44872  ovolval5lem2  44901  preimageiingt  44968  smfmullem3  45041  eenglngeehlnmlem2  46831
  Copyright terms: Public domain W3C validator