Theorem ltsubrpd 13083

Description: Subtracting a positive real from another number decreases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltsubrpd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)

Proof of Theorem ltsubrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltsubrp 13045	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128   < clt 11269   − cmin 11466  ℝ⁺crp 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-rp 13009

This theorem is referenced by:  2swrd2eqwrdeq  14972  tanhlt1  16178  prmdvdsbc  16745  pythagtriplem13  16847  iccntr  24761  icccmplem2  24763  opnreen  24771  evth  24909  ovollb2lem  25441  ismbf3d  25607  itg2seq  25695  itg2cn  25716  dvferm2lem  25942  lhop  25973  dvcnvrelem1  25974  dvcnvrelem2  25975  aaliou3lem7  26309  lgseisenlem1  27338  pntlem3  27572  lt2addrd  32728  ltesubnnd  32801  tpr2rico  33943  fiblem  34430  signstfveq0  34609  mblfinlem3  37683  mblfinlem4  37684  hashscontpow1  42134  metakunt18  42235  metakunt28  42245  metakunt29  42246  metakunt30  42247  fltltc  42684  suprltrp  45355  suplesup  45366  xrralrecnnge  45417  iooiinicc  45571  sumnnodd  45659  lptre2pt  45669  ioodvbdlimc2lem  45963  dvnmul  45972  stoweidlem18  46047  fourierdlem107  46242  fouriersw  46260  hoiqssbllem3  46653  ovolval5lem2  46682  preimageiingt  46749  smfmullem3  46822  gpgedgvtx1  48066  eenglngeehlnmlem2  48718