Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzfissfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzfissfz 43550
Description: For any finite subset of the upper integers, there is a finite set of sequential integers that includes it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uzfissfz.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzfissfz.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzfissfz.a (𝜑𝐴𝑍)
uzfissfz.fi (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
uzfissfz (𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzfissfz
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzfissfz.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 uzid 12778 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4 uzfissfz.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑍 = (ℤ𝑀))
65eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ𝑀) = 𝑍)
73, 6eleqtrd 2840 . . . 4 (𝜑𝑀𝑍)
87adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → 𝑀𝑍)
9 id 22 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
10 0ss 4356 . . . . . 6 ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∅ ⊆ (𝑀...𝑀))
129, 11eqsstrd 3982 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀))
1312adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀))
14 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝑀...𝑘) = (𝑀...𝑀))
1514sseq2d 3976 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀)))
1615rspcev 3581 . . 3 ((𝑀𝑍𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀)) → ∃𝑘𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
178, 13, 16syl2anc 584 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → ∃𝑘𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
18 uzfissfz.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑍)
1918adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴𝑍)
20 uzssz 12784 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
214, 20eqsstri 3978 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℤ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ⊆ ℤ)
2318, 22sstrd 3954 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
259necon3bi 2970 . . . . . 6 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
2625adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
27 uzfissfz.fi . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2827adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
29 suprfinzcl 12617 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
3024, 26, 28, 29syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
3119, 30sseldd 3945 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝑍)
321ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
3321, 31sselid 3942 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
3433adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
3524sselda 3944 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℤ)
3618sselda 3944 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝑍)
374a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑍 = (ℤ𝑀))
3836, 37eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
39 eluzle 12776 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑗)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑀𝑗)
4140adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑀𝑗)
42 zssre 12506 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
4323, 42sstrdi 3956 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4443ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4526adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
46 fimaxre2 12100 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4743, 27, 46syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4847ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
49 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
50 suprub 12116 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
5144, 45, 48, 49, 50syl31anc 1373 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
5232, 34, 35, 41, 51elfzd 13432 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
5352ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑗𝐴 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
54 dfss3 3932 . . . 4 (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑗𝐴 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
5553, 54sylibr 233 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
56 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑘 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝑀...𝑘) = (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
5756sseq2d 3976 . . . 4 (𝑘 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
5857rspcev 3581 . . 3 ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝑍𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))) → ∃𝑘𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
5931, 55, 58syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑘𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
6017, 59pm2.61dan 811 1 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  supcsup 9376  cr 11050   < clt 11189  cle 11190  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425
This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  44675  sge0seq  44677  sge0reuz  44678  carageniuncllem2  44753  caratheodorylem2  44758
  Copyright terms: Public domain W3C validator