Theorem uzfissfz 45714

Description: For any finite subset of the upper integers, there is a finite set of sequential integers that includes it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzfissfz.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzfissfz.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzfissfz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
uzfissfz.fi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
uzfissfz	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzfissfz

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzfissfz.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12780	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		uzfissfz.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
6	5	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍)
7	3, 6	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ 𝑍)
9		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
10		0ss 4354	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∅ ⊆ (𝑀...𝑀))
12	9, 11	eqsstrd 3970	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀))
14		oveq2 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑀...𝑘) = (𝑀...𝑀))
15	14	sseq2d 3968	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀)))
16	15	rspcev 3578	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
17	8, 13, 16	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
18		uzfissfz.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
20		uzssz 12786	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
21	4, 20	eqsstri 3982	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
23	18, 22	sstrd 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
25	9	necon3bi 2959	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
27		uzfissfz.fi	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
29		suprfinzcl 12620	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
30	24, 26, 28, 29	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
31	19, 30	sseldd 3936	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝑍)
32	1	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
33	21, 31	sselid 3933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
35	24	sselda 3935	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℤ)
36	18	sselda 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝑍)
37	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
38	36, 37	eleqtrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39		eluzle 12778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑗)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑗)
41	40	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑗)
42		zssre 12509	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
43	23, 42	sstrdi 3948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
44	43	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
45	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
46		fimaxre2 12101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
47	43, 27, 46	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
48	47	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
49		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
50		suprub 12117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
51	44, 45, 48, 49, 50	syl31anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
52	32, 34, 35, 41, 51	elfzd 13445	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
53	52	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
54		dfss3 3924	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
55	53, 54	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
56		oveq2 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝑀...𝑘) = (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
57	56	sseq2d 3968	. . . 4 ⊢ (𝑘 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
58	57	rspcev 3578	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝑍 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
59	31, 55, 58	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
60	17, 59	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Fincfn 8897  supcsup 9357  ℝcr 11039   < clt 11180   ≤ cle 11181  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765  ...cfz 13437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438

This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  46831  sge0seq  46833  sge0reuz  46834  carageniuncllem2  46909  caratheodorylem2  46914