Theorem uzfissfz 46541

Description: For any finite subset of the upper integers, there is a finite set of sequential integers that includes it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzfissfz.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzfissfz.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzfissfz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
uzfissfz.fi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
uzfissfz	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzfissfz

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzfissfz.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 13004	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		uzfissfz.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
6	5	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍)
7	3, 6	eleqtrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ 𝑍)
9		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
10		0ss 4353	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∅ ⊆ (𝑀...𝑀))
12	9, 11	eqsstrd 3947	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀))
13	12	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀))
14		oveq2 7448	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑀...𝑘) = (𝑀...𝑀))
15	14	sseq2d 3945	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀)))
16	15	rspcev 3580	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
17	8, 13, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
18		uzfissfz.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
20		uzssz 13010	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
21	4, 20	eqsstri 3959	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
23	18, 22	sstrd 3923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
24	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
25	9	necon3bi 2985	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
26	25	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
27		uzfissfz.fi	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
29		suprfinzcl 12837	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
30	24, 26, 28, 29	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
31	19, 30	sseldd 3914	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝑍)
32	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
33	21, 31	sselid 3911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
34	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
35	24	sselda 3913	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℤ)
36	18	sselda 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝑍)
37	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
38	36, 37	eleqtrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39		eluzle 13002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑗)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑗)
41	40	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑗)
42		zssre 12724	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
43	23, 42	sstrdi 3925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
45	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
46		fimaxre2 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
47	43, 27, 46	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
48	47	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
49		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
50		suprub 12302	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
51	44, 45, 48, 49, 50	syl31anc 1401	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
52	32, 34, 35, 41, 51	elfzd 13671	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
53	52	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
54		dfss3 3902	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
55	53, 54	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
56		oveq2 7448	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝑀...𝑘) = (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
57	56	sseq2d 3945	. . . 4 ⊢ (𝑘 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
58	57	rspcev 3580	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝑍 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
59	31, 55, 58	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
60	17, 59	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Fincfn 8998  supcsup 9456  ℝcr 11223   < clt 11367   ≤ cle 11368  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989  ...cfz 13663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664

This theorem is used by:  sge0uzfsumgt  47657  sge0seq  47659  sge0reuz  47660  carageniuncllem2  47735  caratheodorylem2  47740