Theorem uzfissfz 45337

Description: For any finite subset of the upper integers, there is a finite set of sequential integers that includes it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzfissfz.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzfissfz.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzfissfz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
uzfissfz.fi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
uzfissfz	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzfissfz

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzfissfz.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12893	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		uzfissfz.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
6	5	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍)
7	3, 6	eleqtrd 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ 𝑍)
9		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
10		0ss 4400	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∅ ⊆ (𝑀...𝑀))
12	9, 11	eqsstrd 4018	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀))
14		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑀...𝑘) = (𝑀...𝑀))
15	14	sseq2d 4016	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀)))
16	15	rspcev 3622	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
17	8, 13, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
18		uzfissfz.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
20		uzssz 12899	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
21	4, 20	eqsstri 4030	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
23	18, 22	sstrd 3994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
25	9	necon3bi 2967	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
27		uzfissfz.fi	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
29		suprfinzcl 12732	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
30	24, 26, 28, 29	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
31	19, 30	sseldd 3984	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝑍)
32	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
33	21, 31	sselid 3981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
35	24	sselda 3983	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℤ)
36	18	sselda 3983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝑍)
37	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
38	36, 37	eleqtrd 2843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39		eluzle 12891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑗)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑗)
41	40	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑗)
42		zssre 12620	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
43	23, 42	sstrdi 3996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
44	43	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
45	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
46		fimaxre2 12213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
47	43, 27, 46	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
48	47	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
49		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
50		suprub 12229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
51	44, 45, 48, 49, 50	syl31anc 1375	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
52	32, 34, 35, 41, 51	elfzd 13555	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
53	52	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
54		dfss3 3972	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
55	53, 54	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
56		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝑀...𝑘) = (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
57	56	sseq2d 4016	. . . 4 ⊢ (𝑘 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
58	57	rspcev 3622	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝑍 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
59	31, 55, 58	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
60	17, 59	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  supcsup 9480  ℝcr 11154   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548

This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  46459  sge0seq  46461  sge0reuz  46462  carageniuncllem2  46537  caratheodorylem2  46542