Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzfissfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzfissfz 40286
Description: For any finite subset of the upper integers, there is a finite set of sequential integers that includes it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uzfissfz.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzfissfz.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzfissfz.a (𝜑𝐴𝑍)
uzfissfz.fi (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
uzfissfz (𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzfissfz
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzfissfz.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 uzid 11945 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4 uzfissfz.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑍 = (ℤ𝑀))
65eqcomd 2805 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ𝑀) = 𝑍)
73, 6eleqtrd 2880 . . . 4 (𝜑𝑀𝑍)
87adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → 𝑀𝑍)
9 id 22 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
10 0ss 4168 . . . . . 6 ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∅ ⊆ (𝑀...𝑀))
129, 11eqsstrd 3835 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀))
1312adantl 474 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀))
14 oveq2 6886 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝑀...𝑘) = (𝑀...𝑀))
1514sseq2d 3829 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀)))
1615rspcev 3497 . . 3 ((𝑀𝑍𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀)) → ∃𝑘𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
178, 13, 16syl2anc 580 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → ∃𝑘𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
18 uzfissfz.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑍)
1918adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴𝑍)
20 uzssz 11950 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
214, 20eqsstri 3831 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℤ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ⊆ ℤ)
2318, 22sstrd 3808 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
2423adantr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
259necon3bi 2997 . . . . . 6 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
2625adantl 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
27 uzfissfz.fi . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2827adantr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
29 suprfinzcl 11782 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
3024, 26, 28, 29syl3anc 1491 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
3119, 30sseldd 3799 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝑍)
321ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
3321, 31sseldi 3796 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
3433adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
3524sselda 3798 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℤ)
3632, 34, 353jca 1159 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
3718sselda 3798 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝑍)
384a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑍 = (ℤ𝑀))
3937, 38eleqtrd 2880 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
40 eluzle 11943 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑗)
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑀𝑗)
4241adantlr 707 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑀𝑗)
43 zssre 11673 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
4423, 43syl6ss 3810 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4544ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4626adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
47 fimaxre2 11261 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4844, 27, 47syl2anc 580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4948ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
50 simpr 478 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
51 suprub 11276 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
5245, 46, 49, 50, 51syl31anc 1493 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
5336, 42, 52jca32 512 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑗𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
54 elfz2 12587 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑗𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
5553, 54sylibr 226 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
5655ralrimiva 3147 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑗𝐴 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
57 dfss3 3787 . . . 4 (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑗𝐴 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
5856, 57sylibr 226 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
59 oveq2 6886 . . . . 5 (𝑘 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝑀...𝑘) = (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
6059sseq2d 3829 . . . 4 (𝑘 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
6160rspcev 3497 . . 3 ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝑍𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))) → ∃𝑘𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
6231, 58, 61syl2anc 580 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑘𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
6317, 62pm2.61dan 848 1 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  wrex 3090  wss 3769  c0 4115   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  supcsup 8588  cr 10223   < clt 10363  cle 10364  cz 11666  cuz 11930  ...cfz 12580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581
This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  41404  sge0seq  41406  sge0reuz  41407  carageniuncllem2  41482  caratheodorylem2  41487
  Copyright terms: Public domain W3C validator