Theorem uzfissfz 41958

Description: For any finite subset of the upper integers, there is a finite set of sequential integers that includes it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzfissfz.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzfissfz.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzfissfz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
uzfissfz.fi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
uzfissfz	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzfissfz

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzfissfz.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12246	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		uzfissfz.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
6	5	eqcomd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍)
7	3, 6	eleqtrd 2892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
8	7	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ 𝑍)
9		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
10		0ss 4304	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∅ ⊆ (𝑀...𝑀))
12	9, 11	eqsstrd 3953	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀))
13	12	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀))
14		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑀...𝑘) = (𝑀...𝑀))
15	14	sseq2d 3947	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀)))
16	15	rspcev 3571	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
17	8, 13, 16	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
18		uzfissfz.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
19	18	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
20		uzssz 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
21	4, 20	eqsstri 3949	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
23	18, 22	sstrd 3925	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
24	23	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
25	9	necon3bi 3013	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
26	25	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
27		uzfissfz.fi	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
28	27	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
29		suprfinzcl 12085	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
30	24, 26, 28, 29	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
31	19, 30	sseldd 3916	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝑍)
32	1	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
33	21, 31	sseldi 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
34	33	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
35	24	sselda 3915	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℤ)
36	32, 34, 35	3jca 1125	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
37	18	sselda 3915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝑍)
38	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
39	37, 38	eleqtrd 2892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40		eluzle 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑗)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑗)
42	41	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑗)
43		zssre 11976	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
44	23, 43	sstrdi 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
45	44	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
46	26	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
47		fimaxre2 11574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
48	44, 27, 47	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
49	48	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
50		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
51		suprub 11589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
52	45, 46, 49, 50, 51	syl31anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
53	36, 42, 52	jca32 519	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
54		elfz2 12892	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
55	53, 54	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
56	55	ralrimiva 3149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
57		dfss3 3903	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
58	56, 57	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
59		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝑀...𝑘) = (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
60	59	sseq2d 3947	. . . 4 ⊢ (𝑘 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
61	60	rspcev 3571	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝑍 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
62	31, 58, 61	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
63	17, 62	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  supcsup 8888  ℝcr 10525   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886

This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  43083  sge0seq  43085  sge0reuz  43086  carageniuncllem2  43161  caratheodorylem2  43166