Theorem uzfissfz 44334

Description: For any finite subset of the upper integers, there is a finite set of sequential integers that includes it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzfissfz.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzfissfz.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzfissfz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
uzfissfz.fi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
uzfissfz	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzfissfz

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzfissfz.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12841	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		uzfissfz.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
6	5	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍)
7	3, 6	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
8	7	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ 𝑍)
9		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
10		0ss 4395	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∅ ⊆ (𝑀...𝑀))
12	9, 11	eqsstrd 4019	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀))
13	12	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀))
14		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑀...𝑘) = (𝑀...𝑀))
15	14	sseq2d 4013	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀)))
16	15	rspcev 3611	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑀)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
17	8, 13, 16	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
18		uzfissfz.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
19	18	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
20		uzssz 12847	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
21	4, 20	eqsstri 4015	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
23	18, 22	sstrd 3991	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
24	23	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
25	9	necon3bi 2965	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
26	25	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
27		uzfissfz.fi	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
28	27	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
29		suprfinzcl 12680	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
30	24, 26, 28, 29	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
31	19, 30	sseldd 3982	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝑍)
32	1	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
33	21, 31	sselid 3979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
34	33	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
35	24	sselda 3981	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℤ)
36	18	sselda 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝑍)
37	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
38	36, 37	eleqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39		eluzle 12839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑗)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑗)
41	40	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑗)
42		zssre 12569	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
43	23, 42	sstrdi 3993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
44	43	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
45	26	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
46		fimaxre2 12163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
47	43, 27, 46	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
48	47	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
49		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
50		suprub 12179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
51	44, 45, 48, 49, 50	syl31anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
52	32, 34, 35, 41, 51	elfzd 13496	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
53	52	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
54		dfss3 3969	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
55	53, 54	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
56		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝑀...𝑘) = (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
57	56	sseq2d 4013	. . . 4 ⊢ (𝑘 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
58	57	rspcev 3611	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝑍 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
59	31, 55, 58	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))
60	17, 59	pm2.61dan 809	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  supcsup 9437  ℝcr 11111   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489

This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  45458  sge0seq  45460  sge0reuz  45461  carageniuncllem2  45536  caratheodorylem2  45541