Theorem supxrre3rnmpt 45044

Description: The indexed supremum of a nonempty set of reals, is real if and only if it is bounded-above . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrre3rnmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
supxrre3rnmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supxrre3rnmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
supxrre3rnmpt	⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem supxrre3rnmpt

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrre3rnmpt.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		supxrre3rnmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	rnmptssd 44803	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
5		supxrre3rnmpt.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
6	1, 3, 2, 5	rnmptn0 6255	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≠ ∅)
7		supxrre3 44940	. . 3 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≠ ∅) → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑧 ≤ 𝑦))
8	4, 6, 7	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑧 ≤ 𝑦))
9	1, 3	rnmptbd 44865	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑧 ≤ 𝑦))
10	8, 9	bitr4d 281	1 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3947  ∅c0 4325   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236  ran crn 5683  supcsup 9483  ℝcr 11157  ℝ^*cxr 11297   < clt 11298   ≤ cle 11299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497

This theorem is referenced by:  limsupvaluz2  45359  supcnvlimsup  45361  smfsupxr  46437  smflimsuplem2  46442  smflimsuplem5  46445