Theorem supxrre3rnmpt 46242

Description: The indexed supremum of a nonempty set of reals, is real if and only if it is bounded-above . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrre3rnmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
supxrre3rnmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supxrre3rnmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
supxrre3rnmpt	⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem supxrre3rnmpt

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrre3rnmpt.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		supxrre3rnmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	rnmptssd 7120	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
5		supxrre3rnmpt.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
6	1, 3, 2, 5	rnmptn0 6244	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≠ ∅)
7		supxrre3 46140	. . 3 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≠ ∅) → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑧 ≤ 𝑦))
8	4, 6, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑧 ≤ 𝑦))
9	1, 3	rnmptbd 46070	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑧 ≤ 𝑦))
10	8, 9	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ran crn 5660  supcsup 9413  ℝcr 11124  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268   ≤ cle 11269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is used by:  limsupvaluz2  46551  supcnvlimsup  46553  smfsupxr  47629  smflimsuplem2  47634  smflimsuplem5  47637