Theorem supxrrernmpt 40444

Description: The real and extended real indexed suprema match when the indexed real supremum exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrrernmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
supxrrernmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supxrrernmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
supxrrernmpt.y	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
supxrrernmpt	⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem supxrrernmpt

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrrernmpt.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqid 2826	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		supxrrernmpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	rnmptssd 40194	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
5		supxrrernmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
6	1, 3, 2, 5	rnmptn0 40220	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≠ ∅)
7		supxrrernmpt.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
8	1, 7	rnmptbdd 40258	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑧 ≤ 𝑦)
9		supxrre 12446	. 2 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑧 ≤ 𝑦) → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ, < ))
10	4, 6, 8, 9	syl3anc 1496	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658  Ⅎwnf 1884   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  ∀wral 3118  ∃wrex 3119   ⊆ wss 3799  ∅c0 4145   class class class wbr 4874   ↦ cmpt 4953  ran crn 5344  supcsup 8616  ℝcr 10252  ℝ^*cxr 10391   < clt 10392   ≤ cle 10393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589

This theorem is referenced by:  smfsupxr  41817