Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrrernmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrrernmpt 45370
Description: The real and extended real indexed suprema match when the indexed real supremum exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrrernmpt.x 𝑥𝜑
supxrrernmpt.a (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supxrrernmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
supxrrernmpt.y (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
Assertion
Ref Expression
supxrrernmpt (𝜑 → sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem supxrrernmpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supxrrernmpt.x . . 3 𝑥𝜑
2 eqid 2734 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
3 supxrrernmpt.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
41, 2, 3rnmptssd 45138 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
5 supxrrernmpt.a . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
61, 3, 2, 5rnmptn0 6265 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅)
7 supxrrernmpt.y . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
81, 7rnmptbdd 45189 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑧𝑦)
9 supxrre 13365 . 2 ((ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑧𝑦) → sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
104, 6, 8, 9syl3anc 1370 1 (𝜑 → sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wnf 1779  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ran crn 5689  supcsup 9477  cr 11151  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492
This theorem is referenced by:  smfsupxr  46771
  Copyright terms: Public domain W3C validator