Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrubd 41386
Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrubd.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrubd.2 (𝜑𝐵𝐴)
supxrubd.3 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
supxrubd (𝜑𝐵𝑆)

Proof of Theorem supxrubd
StepHypRef Expression
1 supxrubd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
2 supxrubd.2 . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
3 supxrub 12720 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
41, 2, 3syl2anc 586 . 2 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
5 supxrubd.3 . 2 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
64, 5breqtrrdi 5111 1 (𝜑𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2113  wss 3939   class class class wbr 5069  supcsup 8907  *cxr 10677   < clt 10678  cle 10679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876
This theorem is referenced by:  infxrlesupxr  41716  limsupequzlem  42009  limsupvaluz2  42025  supcnvlimsup  42027  limsupgtlem  42064
  Copyright terms: Public domain W3C validator