Theorem supxrubd 43033

Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
supxrubd.3	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )

Assertion

Ref	Expression
supxrubd	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑆)

Proof of Theorem supxrubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrubd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
2		supxrubd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
3		supxrub 13164	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
5		supxrubd.3	. 2 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
6	4, 5	breqtrrdi 5139	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5097  supcsup 9302  ℝ^*cxr 11114   < clt 11115   ≤ cle 11116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-id 5523  df-po 5537  df-so 5538  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-sup 9304  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314

This theorem is referenced by:  infxrlesupxr  43361  limsupequzlem  43649  limsupvaluz2  43665  supcnvlimsup  43667  limsupgtlem  43704