Theorem supxrubd 46401

Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
supxrubd.3	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )

Assertion

Ref	Expression
supxrubd	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑆)

Proof of Theorem supxrubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrubd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
2		supxrubd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
3		supxrub 13494	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
5		supxrubd.3	. 2 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
6	4, 5	breqtrrdi 5153	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  supcsup 9469  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by:  infxrlesupxr  46719  limsupequzlem  47005  limsupvaluz2  47021  supcnvlimsup  47023  limsupgtlem  47060