Theorem cdlemfnid 41396

Description: cdlemf 41395 with additional constraint of non-identity. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemfnid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemfnid.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemfnid.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemfnid.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemfnid.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemfnid.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemfnid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ≤ ,𝑓   𝑇,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑓)

Proof of Theorem cdlemfnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemfnid.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		cdlemfnid.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		cdlemfnid.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		cdlemfnid.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		cdlemfnid.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	cdlemf 41395	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑅‘𝑓) = 𝑈)
7		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → (𝑅‘𝑓) = 𝑈)
8		simp1rl 1257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
9	7, 8	eqeltrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐴)
10		simp1l 1216	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → 𝑓 ∈ 𝑇)
12		cdlemfnid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13	12, 2, 3, 4, 5	trlnidatb 41009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐴))
14	10, 11, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐴))
15	9, 14	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
16	7, 15	jca 521	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → ((𝑅‘𝑓) = 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
17	16	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝑓) = 𝑈 → ((𝑅‘𝑓) = 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
18	17	reximdva 3180	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑅‘𝑓) = 𝑈 → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
19	6, 18	mpd 16	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111   I cid 5557   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  lecple 17339  Atomscatm 40095  HLchlt 40182  LHypclh 40816  LTrncltrn 40933  trLctrl 40990

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-riotaBAD 39785

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-undef 8275  df-map 8832  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-lub 18422  df-glb 18423  df-join 18424  df-meet 18425  df-p0 18501  df-p1 18502  df-lat 18510  df-clat 18577  df-oposet 40008  df-ol 40010  df-oml 40011  df-covers 40098  df-ats 40099  df-atl 40130  df-cvlat 40154  df-hlat 40183  df-llines 40330  df-lplanes 40331  df-lvols 40332  df-lines 40333  df-psubsp 40335  df-pmap 40336  df-padd 40628  df-lhyp 40820  df-laut 40821  df-ldil 40936  df-ltrn 40937  df-trl 40991

This theorem is used by:  cdlemftr3  41397  cdlemj3  41655