Theorem cdlemfnid 41887

Description: cdlemf 41886 with additional constraint of non-identity. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemfnid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemfnid.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemfnid.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemfnid.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemfnid.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemfnid.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemfnid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ≤ ,𝑓   𝑇,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑓)

Proof of Theorem cdlemfnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemfnid.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		cdlemfnid.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		cdlemfnid.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		cdlemfnid.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		cdlemfnid.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	cdlemf 41886	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑅‘𝑓) = 𝑈)
7		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → (𝑅‘𝑓) = 𝑈)
8		simp1rl 1257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
9	7, 8	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐴)
10		simp1l 1216	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → 𝑓 ∈ 𝑇)
12		cdlemfnid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13	12, 2, 3, 4, 5	trlnidatb 41500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐴))
14	10, 11, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐴))
15	9, 14	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
16	7, 15	jca 521	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) = 𝑈) → ((𝑅‘𝑓) = 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
17	16	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝑓) = 𝑈 → ((𝑅‘𝑓) = 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
18	17	reximdva 3179	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑅‘𝑓) = 𝑈 → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
19	6, 18	mpd 16	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108   I cid 5552   ↾ cres 5660  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  lecple 17479  Atomscatm 40586  HLchlt 40673  LHypclh 41307  LTrncltrn 41424  trLctrl 41481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-riotaBAD 40276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-undef 8328  df-map 8887  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-llines 40821  df-lplanes 40822  df-lvols 40823  df-lines 40824  df-psubsp 40826  df-pmap 40827  df-padd 41119  df-lhyp 41311  df-laut 41312  df-ldil 41427  df-ltrn 41428  df-trl 41482

This theorem is used by:  cdlemftr3  41888  cdlemj3  42146