Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemfnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemfnid 37859
Description: cdlemf 37858 with additional constraint of non-identity. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemfnid.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemfnid.l = (le‘𝐾)
cdlemfnid.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemfnid.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemfnid.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemfnid.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemfnid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑈𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ,𝑓   𝑇,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑓)

Proof of Theorem cdlemfnid
StepHypRef Expression
1 cdlemfnid.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 cdlemfnid.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 cdlemfnid.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 cdlemfnid.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 cdlemfnid.r . . 3 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5cdlemf 37858 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ∃𝑓𝑇 (𝑅𝑓) = 𝑈)
7 simp3 1135 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → (𝑅𝑓) = 𝑈)
8 simp1rl 1235 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → 𝑈𝐴)
97, 8eqeltrd 2893 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐴)
10 simp1l 1194 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simp2 1134 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → 𝑓𝑇)
12 cdlemfnid.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
1312, 2, 3, 4, 5trlnidatb 37472 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝑓) ∈ 𝐴))
1410, 11, 13syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝑓) ∈ 𝐴))
159, 14mpbird 260 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
167, 15jca 515 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → ((𝑅𝑓) = 𝑈𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
17163expia 1118 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇) → ((𝑅𝑓) = 𝑈 → ((𝑅𝑓) = 𝑈𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
1817reximdva 3236 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → (∃𝑓𝑇 (𝑅𝑓) = 𝑈 → ∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑈𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
196, 18mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑈𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wrex 3110   class class class wbr 5033   I cid 5427  cres 5525  cfv 6328  Basecbs 16479  lecple 16568  Atomscatm 36558  HLchlt 36645  LHypclh 37279  LTrncltrn 37396  trLctrl 37453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-riotaBAD 36248
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-map 8395  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-oposet 36471  df-ol 36473  df-oml 36474  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-llines 36793  df-lplanes 36794  df-lvols 36795  df-lines 36796  df-psubsp 36798  df-pmap 36799  df-padd 37091  df-lhyp 37283  df-laut 37284  df-ldil 37399  df-ltrn 37400  df-trl 37454
This theorem is referenced by:  cdlemftr3  37860  cdlemj3  38118
  Copyright terms: Public domain W3C validator