Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemfnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemfnid 40546
Description: cdlemf 40545 with additional constraint of non-identity. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemfnid.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemfnid.l = (le‘𝐾)
cdlemfnid.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemfnid.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemfnid.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemfnid.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemfnid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑈𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ,𝑓   𝑇,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑓)

Proof of Theorem cdlemfnid
StepHypRef Expression
1 cdlemfnid.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 cdlemfnid.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 cdlemfnid.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 cdlemfnid.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 cdlemfnid.r . . 3 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5cdlemf 40545 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ∃𝑓𝑇 (𝑅𝑓) = 𝑈)
7 simp3 1137 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → (𝑅𝑓) = 𝑈)
8 simp1rl 1237 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → 𝑈𝐴)
97, 8eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐴)
10 simp1l 1196 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simp2 1136 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → 𝑓𝑇)
12 cdlemfnid.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
1312, 2, 3, 4, 5trlnidatb 40159 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝑓) ∈ 𝐴))
1410, 11, 13syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝑓) ∈ 𝐴))
159, 14mpbird 257 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
167, 15jca 511 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) = 𝑈) → ((𝑅𝑓) = 𝑈𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
17163expia 1120 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇) → ((𝑅𝑓) = 𝑈 → ((𝑅𝑓) = 𝑈𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
1817reximdva 3165 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → (∃𝑓𝑇 (𝑅𝑓) = 𝑈 → ∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑈𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
196, 18mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑈𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067   class class class wbr 5147   I cid 5581  cres 5690  cfv 6562  Basecbs 17244  lecple 17304  Atomscatm 39244  HLchlt 39331  LHypclh 39966  LTrncltrn 40083  trLctrl 40140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-riotaBAD 38934
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-undef 8296  df-map 8866  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-llines 39480  df-lplanes 39481  df-lvols 39482  df-lines 39483  df-psubsp 39485  df-pmap 39486  df-padd 39778  df-lhyp 39970  df-laut 39971  df-ldil 40086  df-ltrn 40087  df-trl 40141
This theorem is referenced by:  cdlemftr3  40547  cdlemj3  40805
  Copyright terms: Public domain W3C validator