Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlconid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlconid 38489
Description: The composition of two different translations is not the identity translation. (Contributed by NM, 22-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlconid.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlconid.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlconid.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlconid.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlconid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem trlconid
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2 trlconid.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 trlconid.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 trlconid.r . . 3 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4trlcoat 38487 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾))
6 simp1 1138 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simp2l 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝐹𝑇)
8 simp2r 1202 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝐺𝑇)
92, 3ltrnco 38483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
106, 7, 8, 9syl3anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
11 trlconid.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
1211, 1, 2, 3, 4trlnidatb 37941 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾)))
136, 10, 12syl2anc 587 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → ((𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾)))
145, 13mpbird 260 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  wne 2941   I cid 5463  cres 5562  ccom 5564  cfv 6389  Basecbs 16773  Atomscatm 37027  HLchlt 37114  LHypclh 37748  LTrncltrn 37865  trLctrl 37922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5188  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pow 5267  ax-pr 5331  ax-un 7532  ax-riotaBAD 36717
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3417  df-sbc 3704  df-csb 3821  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-nul 4247  df-if 4449  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4829  df-iun 4915  df-iin 4916  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-id 5464  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-rn 5571  df-res 5572  df-ima 5573  df-iota 6347  df-fun 6391  df-fn 6392  df-f 6393  df-f1 6394  df-fo 6395  df-f1o 6396  df-fv 6397  df-riota 7179  df-ov 7225  df-oprab 7226  df-mpo 7227  df-1st 7770  df-2nd 7771  df-undef 8024  df-map 8519  df-proset 17815  df-poset 17833  df-plt 17849  df-lub 17865  df-glb 17866  df-join 17867  df-meet 17868  df-p0 17944  df-p1 17945  df-lat 17951  df-clat 18018  df-oposet 36940  df-ol 36942  df-oml 36943  df-covers 37030  df-ats 37031  df-atl 37062  df-cvlat 37086  df-hlat 37115  df-llines 37262  df-lplanes 37263  df-lvols 37264  df-lines 37265  df-psubsp 37267  df-pmap 37268  df-padd 37560  df-lhyp 37752  df-laut 37753  df-ldil 37868  df-ltrn 37869  df-trl 37923
This theorem is referenced by:  cdlemk47  38713  cdlemk52  38718  cdlemk53a  38719
  Copyright terms: Public domain W3C validator