Theorem trlconid 40985

Description: The composition of two different translations is not the identity translation. (Contributed by NM, 22-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlconid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlconid.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlconid.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlconid.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlconid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem trlconid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2		trlconid.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		trlconid.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		trlconid.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	trlcoat 40983	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾))
6		simp1 1136	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simp2l 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
8		simp2r 1201	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
9	2, 3	ltrnco 40979	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
11		trlconid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12	11, 1, 2, 3, 4	trlnidatb 40437	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾)))
13	6, 10, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾)))
14	5, 13	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   I cid 5518   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  Atomscatm 39523  HLchlt 39610  LHypclh 40244  LTrncltrn 40361  trLctrl 40418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-riotaBAD 39213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-undef 8215  df-map 8765  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611  df-llines 39758  df-lplanes 39759  df-lvols 39760  df-lines 39761  df-psubsp 39763  df-pmap 39764  df-padd 40056  df-lhyp 40248  df-laut 40249  df-ldil 40364  df-ltrn 40365  df-trl 40419

This theorem is referenced by:  cdlemk47  41209  cdlemk52  41214  cdlemk53a  41215