Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlconid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem trlconid 39682
Description: The composition of two different translations is not the identity translation. (Contributed by NM, 22-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlconid.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
trlconid.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlconid.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlconid.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlconid (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
Proof of Theorem trlconid
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
2 trlconid.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 trlconid.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 trlconid.r . . 3 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
51, 2, 3, 4trlcoat 39680 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
6 simp1 1136 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 simp2l 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
8 simp2r 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
92, 3ltrnco 39676 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
106, 7, 8, 9syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
11 trlconid.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1211, 1, 2, 3, 4trlnidatb 39134 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)))
136, 10, 12syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)))
145, 13mpbird 256 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   I cid 5573   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  Basecbs 17146  Atomscatm 38219  HLchlt 38306  LHypclh 38941  LTrncltrn 39058  trLctrl 39115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-riotaBAD 37909
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-map 8824  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-llines 38455  df-lplanes 38456  df-lvols 38457  df-lines 38458  df-psubsp 38460  df-pmap 38461  df-padd 38753  df-lhyp 38945  df-laut 38946  df-ldil 39061  df-ltrn 39062  df-trl 39116
This theorem is referenced by:  cdlemk47  39906  cdlemk52  39911  cdlemk53a  39912
  Copyright terms: Public domain W3C validator