Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dih1dimb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dih1dimb2 40770
Description: Isomorphism H at an atom under π‘Š. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimb2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dih1dimb2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dih1dimb2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dih1dimb2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dih1dimb2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimb2.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dih1dimb2.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimb2.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimb2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dih1dimb2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©})))
Distinct variable groups:   ≀ ,𝑓   𝐴,𝑓   𝐡,β„Ž   𝑓,𝐻   𝑓,β„Ž,𝐾   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓,β„Ž   𝑓,π‘Š,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝐴(β„Ž)   𝐡(𝑓)   𝑄(β„Ž)   π‘ˆ(𝑓,β„Ž)   𝐻(β„Ž)   𝐼(𝑓,β„Ž)   ≀ (β„Ž)   𝑁(𝑓,β„Ž)   𝑂(𝑓,β„Ž)

Proof of Theorem dih1dimb2
StepHypRef Expression
1 dih1dimb2.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 dih1dimb2.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3 dih1dimb2.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dih1dimb2.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2725 . . 3 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5cdlemf 40092 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) = 𝑄)
7 simp3 1135 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) = 𝑄) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) = 𝑄)
8 simp1rl 1235 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) = 𝑄) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
97, 8eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) = 𝑄) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ∈ 𝐴)
10 simp1l 1194 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) = 𝑄) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
11 simp2 1134 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) = 𝑄) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
12 dih1dimb2.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1312, 2, 3, 4, 5trlnidatb 39706 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ∈ 𝐴))
1410, 11, 13syl2anc 582 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) = 𝑄) β†’ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ∈ 𝐴))
159, 14mpbird 256 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) = 𝑄) β†’ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
167fveq2d 6896 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) = 𝑄) β†’ (πΌβ€˜(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“)) = (πΌβ€˜π‘„))
17 dih1dimb2.o . . . . . . . 8 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
18 dih1dimb2.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 dih1dimb2.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
20 dih1dimb2.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
2112, 3, 4, 5, 17, 18, 19, 20dih1dimb 40769 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“)) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}))
2210, 11, 21syl2anc 582 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) = 𝑄) β†’ (πΌβ€˜(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“)) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}))
2316, 22eqtr3d 2767 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) = 𝑄) β†’ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}))
2415, 23jca 510 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) = 𝑄) β†’ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©})))
25243expia 1118 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) = 𝑄 β†’ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}))))
2625reximdva 3158 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) = 𝑄 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©}))))
276, 26mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ©})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060  {csn 4624  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   I cid 5569   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6543  Basecbs 17179  lecple 17239  LSpanclspn 20859  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  trLctrl 39687  DVecHcdvh 40607  DIsoHcdih 40757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tendo 40284  df-edring 40286  df-disoa 40558  df-dvech 40608  df-dib 40668  df-dih 40758
This theorem is referenced by:  dihatlat  40863  dihatexv  40867
  Copyright terms: Public domain W3C validator