Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dih1dimb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dih1dimb2 38495
 Description: Isomorphism H at an atom under 𝑊. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimb2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimb2.l = (le‘𝐾)
dih1dimb2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dih1dimb2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimb2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimb2.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimb2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimb2.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimb2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dih1dimb2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩})))
Distinct variable groups:   ,𝑓   𝐴,𝑓   𝐵,   𝑓,𝐻   𝑓,,𝐾   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓,   𝑓,𝑊,
Allowed substitution hints:   𝐴()   𝐵(𝑓)   𝑄()   𝑈(𝑓,)   𝐻()   𝐼(𝑓,)   ()   𝑁(𝑓,)   𝑂(𝑓,)

Proof of Theorem dih1dimb2
StepHypRef Expression
1 dih1dimb2.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 dih1dimb2.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 dih1dimb2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dih1dimb2.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2822 . . 3 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5cdlemf 37817 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ∃𝑓𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 𝑄)
7 simp3 1135 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 𝑄) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 𝑄)
8 simp1rl 1235 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 𝑄) → 𝑄𝐴)
97, 8eqeltrd 2914 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 𝑄) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ 𝐴)
10 simp1l 1194 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 𝑄) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simp2 1134 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 𝑄) → 𝑓𝑇)
12 dih1dimb2.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
1312, 2, 3, 4, 5trlnidatb 37431 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ 𝐴))
1410, 11, 13syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 𝑄) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ 𝐴))
159, 14mpbird 260 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 𝑄) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
167fveq2d 6656 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 𝑄) → (𝐼‘(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)) = (𝐼𝑄))
17 dih1dimb2.o . . . . . . . 8 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
18 dih1dimb2.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
19 dih1dimb2.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
20 dih1dimb2.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
2112, 3, 4, 5, 17, 18, 19, 20dih1dimb 38494 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐼‘(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
2210, 11, 21syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 𝑄) → (𝐼‘(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
2316, 22eqtr3d 2859 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 𝑄) → (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
2415, 23jca 515 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 𝑄) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩})))
25243expia 1118 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ 𝑓𝑇) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 𝑄 → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))))
2625reximdva 3260 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (∃𝑓𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 𝑄 → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))))
276, 26mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ∃wrex 3131  {csn 4539  ⟨cop 4545   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122   I cid 5436   ↾ cres 5534  ‘cfv 6334  Basecbs 16474  lecple 16563  LSpanclspn 19734  Atomscatm 36517  HLchlt 36604  LHypclh 37238  LTrncltrn 37355  trLctrl 37412  DVecHcdvh 38332  DIsoHcdih 38482 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36207 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-0g 16706  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19495  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-lvec 19866  df-oposet 36430  df-ol 36432  df-oml 36433  df-covers 36520  df-ats 36521  df-atl 36552  df-cvlat 36576  df-hlat 36605  df-llines 36752  df-lplanes 36753  df-lvols 36754  df-lines 36755  df-psubsp 36757  df-pmap 36758  df-padd 37050  df-lhyp 37242  df-laut 37243  df-ldil 37358  df-ltrn 37359  df-trl 37413  df-tendo 38009  df-edring 38011  df-disoa 38283  df-dvech 38333  df-dib 38393  df-dih 38483 This theorem is referenced by:  dihatlat  38588  dihatexv  38592
 Copyright terms: Public domain W3C validator