Theorem zornn0 10542

Description: Variant of Zorn's lemma zorn 10541 in which ∅, the union of the empty chain, is not required to be an element of 𝐴. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
zornn0.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
zornn0	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem zornn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zornn0.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		numth3 10504	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ dom card
4		zornn0g 10539	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)
5	3, 4	mp3an1 1445	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084  ∀wal 1532   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3462   ⊆ wss 3946   ⊊ wpss 3947  ∅c0 4322  ∪ cuni 4905   Or wor 5585  dom cdm 5674   [⊊] crpss 7725  cardccrd 9971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-ac2 10497

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-rpss 7726  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oadd 8492  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-fin 8970  df-dju 9937  df-card 9975  df-ac 10152

This theorem is referenced by:  ssdifidl  33338  ssmxidl  33355