Theorem zornn0 10587

Description: Variant of Zorn's lemma zorn 10586 in which ∅, the union of the empty chain, is not required to be an element of 𝐴. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
zornn0.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
zornn0	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem zornn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zornn0.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		numth3 10549	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ dom card
4		zornn0g 10584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)
5	3, 4	mp3an1 1477	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ⊆ wss 3914   ⊊ wpss 4034  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867   Or wor 5558  dom cdm 5651   [⊊] crpss 7739  cardccrd 10017

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-ac2 10542

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-rpss 7740  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-fin 8978  df-dju 9983  df-card 10021  df-ac 10196

This theorem is used by:  ssdifidl  21642  ssmxidl  34000