Theorem zornn0 10334

Description: Variant of Zorn's lemma zorn 10333 in which ∅, the union of the empty chain, is not required to be an element of 𝐴. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
zornn0.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
zornn0	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem zornn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zornn0.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		numth3 10296	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ dom card
4		zornn0g 10331	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)
5	3, 4	mp3an1 1447	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3441   ⊆ wss 3896   ⊊ wpss 3897  ∅c0 4266  ∪ cuni 4848   Or wor 5518  dom cdm 5605   [⊊] crpss 7613  cardccrd 9761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-ac2 10289

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-se 5561  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-isom 6472  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-rpss 7614  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-oadd 8346  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-fin 8783  df-dju 9727  df-card 9765  df-ac 9942

This theorem is referenced by:  ssmxidl  31747