Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem4 36516
Description: Lemma for knoppndv 36535. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem4.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem4.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem4.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem4.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
knoppndvlem4.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem4 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑖,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem4
Dummy variables 𝑘 𝑣 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12920 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12625 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 knoppndvlem4.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
4 knoppndvlem4.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
5 knoppndvlem4.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 knoppndvlem4.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
76knoppndvlem3 36515 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
87simpld 494 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
93, 4, 5, 8knoppcnlem8 36501 . 2 (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
10 knoppndvlem4.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11 seqex 14044 . . 3 seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ V
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ V)
135adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
148adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
15 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
163, 4, 13, 14, 15knoppcnlem7 36500 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)))
1716fveq1d 6908 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝐴) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))‘𝐴))
18 eqid 2737 . . . . 5 (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))
19 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝐴))
2019seqeq3d 14050 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 → seq0( + , (𝐹𝑣)) = seq0( + , (𝐹𝐴)))
2120fveq1d 6908 . . . . 5 (𝑣 = 𝐴 → (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
22 fvexd 6921 . . . . 5 (𝜑 → (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘) ∈ V)
2318, 21, 10, 22fvmptd3 7039 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
2423adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
2517, 24eqtrd 2777 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
26 knoppndvlem4.w . . 3 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
277simprd 495 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
283, 4, 26, 5, 8, 27knoppcnlem9 36502 . 2 (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)
291, 2, 9, 10, 12, 25, 28ulmclm 26430 1 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  (,)cioo 13387  cfl 13830  seqcseq 14042  cexp 14102  abscabs 15273  cli 15520  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ulm 26420
This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  36518  knoppf  36536
  Copyright terms: Public domain W3C validator