Theorem knoppndvlem4 36821

Description: Lemma for knoppndv 36840. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem4.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem4.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppndvlem4.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem4.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem4	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ⇝ (𝑊‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑖,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem4

Dummy variables 𝑘 𝑣 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12817	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12527	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		knoppndvlem4.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
4		knoppndvlem4.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
5		knoppndvlem4.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		knoppndvlem4.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
7	6	knoppndvlem3 36820	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
8	7	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	3, 4, 5, 8	knoppcnlem8 36806	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
10		knoppndvlem4.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11		seqex 13956	. . 3 ⊢ seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ V
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ V)
13	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
15		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16	3, 4, 13, 14, 15	knoppcnlem7 36805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)))
17	16	fveq1d 6829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝐴) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))‘𝐴))
18		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))
19		fveq2 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝐴))
20	19	seqeq3d 13962	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → seq0( + , (𝐹‘𝑣)) = seq0( + , (𝐹‘𝐴)))
21	20	fveq1d 6829	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘) = (seq0( + , (𝐹‘𝐴))‘𝑘))
22		fvexd 6842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝐹‘𝐴))‘𝑘) ∈ V)
23	18, 21, 10, 22	fvmptd3 6959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹‘𝐴))‘𝑘))
24	23	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹‘𝐴))‘𝑘))
25	17, 24	eqtrd 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹‘𝐴))‘𝑘))
26		knoppndvlem4.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
27	7	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
28	3, 4, 26, 5, 8, 27	knoppcnlem9 36807	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)
29	1, 2, 9, 10, 12, 25, 28	ulmclm 26370	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ⇝ (𝑊‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  (,)cioo 13289  ⌊cfl 13740  seqcseq 13954  ↑cexp 14014  abscabs 15187   ⇝ cli 15437  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ulm 26360

This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  36823  knoppf  36841