Theorem knoppndvlem4 36476

Description: Lemma for knoppndv 36495. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem4.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem4.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppndvlem4.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem4.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem4	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ⇝ (𝑊‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑖,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem4

Dummy variables 𝑘 𝑣 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12811	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12517	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		knoppndvlem4.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
4		knoppndvlem4.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
5		knoppndvlem4.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		knoppndvlem4.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
7	6	knoppndvlem3 36475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
8	7	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	3, 4, 5, 8	knoppcnlem8 36461	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
10		knoppndvlem4.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11		seqex 13944	. . 3 ⊢ seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ V
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ V)
13	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16	3, 4, 13, 14, 15	knoppcnlem7 36460	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)))
17	16	fveq1d 6842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝐴) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))‘𝐴))
18		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))
19		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝐴))
20	19	seqeq3d 13950	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → seq0( + , (𝐹‘𝑣)) = seq0( + , (𝐹‘𝐴)))
21	20	fveq1d 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘) = (seq0( + , (𝐹‘𝐴))‘𝑘))
22		fvexd 6855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝐹‘𝐴))‘𝑘) ∈ V)
23	18, 21, 10, 22	fvmptd3 6973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹‘𝐴))‘𝑘))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹‘𝐴))‘𝑘))
25	17, 24	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹‘𝐴))‘𝑘))
26		knoppndvlem4.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
27	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
28	3, 4, 26, 5, 8, 27	knoppcnlem9 36462	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)
29	1, 2, 9, 10, 12, 25, 28	ulmclm 26272	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ⇝ (𝑊‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   < clt 11184   − cmin 11381  -cneg 11382   / cdiv 11811  ℕcn 12162  2c2 12217  ℕ₀cn0 12418  (,)cioo 13282  ⌊cfl 13728  seqcseq 13942  ↑cexp 14002  abscabs 15176   ⇝ cli 15426  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ulm 26262

This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  36478  knoppf  36496