Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem4 33915
 Description: Lemma for knoppndv 33934. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem4.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem4.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem4.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem4.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
knoppndvlem4.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem4 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑖,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem4
Dummy variables 𝑘 𝑣 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12277 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11990 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 knoppndvlem4.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
4 knoppndvlem4.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
5 knoppndvlem4.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 knoppndvlem4.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
76knoppndvlem3 33914 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
87simpld 498 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
93, 4, 5, 8knoppcnlem8 33900 . 2 (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
10 knoppndvlem4.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11 seqex 13375 . . 3 seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ V
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ V)
135adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
148adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
15 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
163, 4, 13, 14, 15knoppcnlem7 33899 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)))
1716fveq1d 6663 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝐴) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))‘𝐴))
18 eqid 2824 . . . . 5 (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))
19 fveq2 6661 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝐴))
2019seqeq3d 13381 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 → seq0( + , (𝐹𝑣)) = seq0( + , (𝐹𝐴)))
2120fveq1d 6663 . . . . 5 (𝑣 = 𝐴 → (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
22 fvexd 6676 . . . . 5 (𝜑 → (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘) ∈ V)
2318, 21, 10, 22fvmptd3 6782 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
2423adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
2517, 24eqtrd 2859 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
26 knoppndvlem4.w . . 3 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
277simprd 499 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
283, 4, 26, 5, 8, 27knoppcnlem9 33901 . 2 (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)
291, 2, 9, 10, 12, 25, 28ulmclm 24989 1 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∘f cof 7401  ℝcr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540   < clt 10673   − cmin 10868  -cneg 10869   / cdiv 11295  ℕcn 11634  2c2 11689  ℕ0cn0 11894  (,)cioo 12735  ⌊cfl 13164  seqcseq 13373  ↑cexp 13434  abscabs 14593   ⇝ cli 14841  Σcsu 15042 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-ioo 12739  df-ico 12741  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ulm 24979 This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  33917  knoppf  33935
 Copyright terms: Public domain W3C validator