MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unblem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unblem2 8420
Description: Lemma for unbnn 8423. The value of the function 𝐹 belongs to the unbounded set of natural numbers 𝐴. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
unblem.2 𝐹 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝐴 ∖ suc 𝑥)), 𝐴) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
unblem2 ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) → (𝑧 ∈ ω → (𝐹𝑧) ∈ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝑥,𝑧,𝐴   𝑣,𝐹,𝑤,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem unblem2
Dummy variables 𝑢 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6375 . . . 4 (𝑧 = ∅ → (𝐹𝑧) = (𝐹‘∅))
21eleq1d 2829 . . 3 (𝑧 = ∅ → ((𝐹𝑧) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘∅) ∈ 𝐴))
3 fveq2 6375 . . . 4 (𝑧 = 𝑢 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑢))
43eleq1d 2829 . . 3 (𝑧 = 𝑢 → ((𝐹𝑧) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹𝑢) ∈ 𝐴))
5 fveq2 6375 . . . 4 (𝑧 = suc 𝑢 → (𝐹𝑧) = (𝐹‘suc 𝑢))
65eleq1d 2829 . . 3 (𝑧 = suc 𝑢 → ((𝐹𝑧) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘suc 𝑢) ∈ 𝐴))
7 omsson 7267 . . . . . 6 ω ⊆ On
8 sstr 3769 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ω ∧ ω ⊆ On) → 𝐴 ⊆ On)
97, 8mpan2 682 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ω → 𝐴 ⊆ On)
10 peano1 7283 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ ω
11 eleq1 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑣 ↔ ∅ ∈ 𝑣))
1211rexbidv 3199 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ∅ → (∃𝑣𝐴 𝑤𝑣 ↔ ∃𝑣𝐴 ∅ ∈ 𝑣))
1312rspcv 3457 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ ω → (∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣 → ∃𝑣𝐴 ∅ ∈ 𝑣))
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣 → ∃𝑣𝐴 ∅ ∈ 𝑣)
15 df-rex 3061 . . . . . . . 8 (∃𝑣𝐴 ∅ ∈ 𝑣 ↔ ∃𝑣(𝑣𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝑣))
1614, 15sylib 209 . . . . . . 7 (∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣 → ∃𝑣(𝑣𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝑣))
17 exsimpl 1965 . . . . . . 7 (∃𝑣(𝑣𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝑣) → ∃𝑣 𝑣𝐴)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣 → ∃𝑣 𝑣𝐴)
19 n0 4095 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 𝑣𝐴)
2018, 19sylibr 225 . . . . 5 (∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣𝐴 ≠ ∅)
21 onint 7193 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
229, 20, 21syl2an 589 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) → 𝐴𝐴)
23 unblem.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝐴 ∖ suc 𝑥)), 𝐴) ↾ ω)
2423fveq1i 6376 . . . . . . 7 (𝐹‘∅) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝐴 ∖ suc 𝑥)), 𝐴) ↾ ω)‘∅)
25 fr0g 7735 . . . . . . 7 ( 𝐴𝐴 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝐴 ∖ suc 𝑥)), 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)
2624, 25syl5req 2812 . . . . . 6 ( 𝐴𝐴 𝐴 = (𝐹‘∅))
2726eleq1d 2829 . . . . 5 ( 𝐴𝐴 → ( 𝐴𝐴 ↔ (𝐹‘∅) ∈ 𝐴))
2827ibi 258 . . . 4 ( 𝐴𝐴 → (𝐹‘∅) ∈ 𝐴)
2922, 28syl 17 . . 3 ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) → (𝐹‘∅) ∈ 𝐴)
30 unblem1 8419 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴)
31 suceq 5973 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → suc 𝑦 = suc 𝑥)
3231difeq2d 3890 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 ∖ suc 𝑦) = (𝐴 ∖ suc 𝑥))
3332inteqd 4638 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 (𝐴 ∖ suc 𝑦) = (𝐴 ∖ suc 𝑥))
34 suceq 5973 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑢) → suc 𝑦 = suc (𝐹𝑢))
3534difeq2d 3890 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑢) → (𝐴 ∖ suc 𝑦) = (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)))
3635inteqd 4638 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑢) → (𝐴 ∖ suc 𝑦) = (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)))
3723, 33, 36frsucmpt2 7739 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ω ∧ (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘suc 𝑢) = (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)))
3837eqcomd 2771 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ω ∧ (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) = (𝐹‘suc 𝑢))
3938eleq1d 2829 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ω ∧ (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴) → ( (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘suc 𝑢) ∈ 𝐴))
4039ex 401 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ω → ( (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴 → ( (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘suc 𝑢) ∈ 𝐴)))
4140ibd 260 . . . . 5 (𝑢 ∈ ω → ( (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴 → (𝐹‘suc 𝑢) ∈ 𝐴))
4230, 41syl5 34 . . . 4 (𝑢 ∈ ω → (((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝐴) → (𝐹‘suc 𝑢) ∈ 𝐴))
4342expd 404 . . 3 (𝑢 ∈ ω → ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) → ((𝐹𝑢) ∈ 𝐴 → (𝐹‘suc 𝑢) ∈ 𝐴)))
442, 4, 6, 29, 43finds2 7292 . 2 (𝑧 ∈ ω → ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐴))
4544com12 32 1 ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) → (𝑧 ∈ ω → (𝐹𝑧) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cdif 3729  wss 3732  c0 4079   cint 4633  cmpt 4888  cres 5279  Oncon0 5908  suc csuc 5910  cfv 6068  ωcom 7263  reccrdg 7709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710
This theorem is referenced by:  unblem3  8421  unblem4  8422
  Copyright terms: Public domain W3C validator