MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unblem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unblem2 9298
Description: Lemma for unbnn 9301. The value of the function 𝐹 belongs to the unbounded set of natural numbers 𝐴. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
unblem.2 𝐹 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝐴 ∖ suc 𝑥)), 𝐴) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
unblem2 ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) → (𝑧 ∈ ω → (𝐹𝑧) ∈ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝑥,𝑧,𝐴   𝑣,𝐹,𝑤,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem unblem2
Dummy variables 𝑢 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6890 . . . 4 (𝑧 = ∅ → (𝐹𝑧) = (𝐹‘∅))
21eleq1d 2816 . . 3 (𝑧 = ∅ → ((𝐹𝑧) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘∅) ∈ 𝐴))
3 fveq2 6890 . . . 4 (𝑧 = 𝑢 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑢))
43eleq1d 2816 . . 3 (𝑧 = 𝑢 → ((𝐹𝑧) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹𝑢) ∈ 𝐴))
5 fveq2 6890 . . . 4 (𝑧 = suc 𝑢 → (𝐹𝑧) = (𝐹‘suc 𝑢))
65eleq1d 2816 . . 3 (𝑧 = suc 𝑢 → ((𝐹𝑧) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘suc 𝑢) ∈ 𝐴))
7 omsson 7861 . . . . . 6 ω ⊆ On
8 sstr 3989 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ω ∧ ω ⊆ On) → 𝐴 ⊆ On)
97, 8mpan2 687 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ω → 𝐴 ⊆ On)
10 peano1 7881 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ ω
11 eleq1 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑣 ↔ ∅ ∈ 𝑣))
1211rexbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ∅ → (∃𝑣𝐴 𝑤𝑣 ↔ ∃𝑣𝐴 ∅ ∈ 𝑣))
1312rspcv 3607 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ ω → (∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣 → ∃𝑣𝐴 ∅ ∈ 𝑣))
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣 → ∃𝑣𝐴 ∅ ∈ 𝑣)
15 df-rex 3069 . . . . . . . 8 (∃𝑣𝐴 ∅ ∈ 𝑣 ↔ ∃𝑣(𝑣𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝑣))
1614, 15sylib 217 . . . . . . 7 (∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣 → ∃𝑣(𝑣𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝑣))
17 exsimpl 1869 . . . . . . 7 (∃𝑣(𝑣𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝑣) → ∃𝑣 𝑣𝐴)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣 → ∃𝑣 𝑣𝐴)
19 n0 4345 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 𝑣𝐴)
2018, 19sylibr 233 . . . . 5 (∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣𝐴 ≠ ∅)
21 onint 7780 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
229, 20, 21syl2an 594 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) → 𝐴𝐴)
23 unblem.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝐴 ∖ suc 𝑥)), 𝐴) ↾ ω)
2423fveq1i 6891 . . . . . . 7 (𝐹‘∅) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝐴 ∖ suc 𝑥)), 𝐴) ↾ ω)‘∅)
25 fr0g 8438 . . . . . . 7 ( 𝐴𝐴 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝐴 ∖ suc 𝑥)), 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)
2624, 25eqtr2id 2783 . . . . . 6 ( 𝐴𝐴 𝐴 = (𝐹‘∅))
2726eleq1d 2816 . . . . 5 ( 𝐴𝐴 → ( 𝐴𝐴 ↔ (𝐹‘∅) ∈ 𝐴))
2827ibi 266 . . . 4 ( 𝐴𝐴 → (𝐹‘∅) ∈ 𝐴)
2922, 28syl 17 . . 3 ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) → (𝐹‘∅) ∈ 𝐴)
30 unblem1 9297 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴)
31 suceq 6429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → suc 𝑦 = suc 𝑥)
3231difeq2d 4121 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 ∖ suc 𝑦) = (𝐴 ∖ suc 𝑥))
3332inteqd 4954 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 (𝐴 ∖ suc 𝑦) = (𝐴 ∖ suc 𝑥))
34 suceq 6429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑢) → suc 𝑦 = suc (𝐹𝑢))
3534difeq2d 4121 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑢) → (𝐴 ∖ suc 𝑦) = (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)))
3635inteqd 4954 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑢) → (𝐴 ∖ suc 𝑦) = (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)))
3723, 33, 36frsucmpt2 8442 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ω ∧ (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘suc 𝑢) = (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)))
3837eqcomd 2736 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ω ∧ (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) = (𝐹‘suc 𝑢))
3938eleq1d 2816 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ω ∧ (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴) → ( (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘suc 𝑢) ∈ 𝐴))
4039ex 411 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ω → ( (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴 → ( (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘suc 𝑢) ∈ 𝐴)))
4140ibd 268 . . . . 5 (𝑢 ∈ ω → ( (𝐴 ∖ suc (𝐹𝑢)) ∈ 𝐴 → (𝐹‘suc 𝑢) ∈ 𝐴))
4230, 41syl5 34 . . . 4 (𝑢 ∈ ω → (((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝐴) → (𝐹‘suc 𝑢) ∈ 𝐴))
4342expd 414 . . 3 (𝑢 ∈ ω → ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) → ((𝐹𝑢) ∈ 𝐴 → (𝐹‘suc 𝑢) ∈ 𝐴)))
442, 4, 6, 29, 43finds2 7893 . 2 (𝑧 ∈ ω → ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐴))
4544com12 32 1 ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ω ∃𝑣𝐴 𝑤𝑣) → (𝑧 ∈ ω → (𝐹𝑧) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wex 1779  wcel 2104  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3472  cdif 3944  wss 3947  c0 4321   cint 4949  cmpt 5230  cres 5677  Oncon0 6363  suc csuc 6365  cfv 6542  ωcom 7857  reccrdg 8411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412
This theorem is referenced by:  unblem3  9299  unblem4  9300
  Copyright terms: Public domain W3C validator