Theorem inffien 10132

Description: The set of finite intersections of an infinite well-orderable set is equinumerous to the set itself. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
inffien	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem inffien

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpwfien 10131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ 𝐴)
2		relen 9008	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≈
3	2	brrelex1i 5756	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
4	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
5		difss 4159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
6		ssdomg 9060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V → (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
7	4, 5, 6	mpisyl 21	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
8		domentr 9073	. . . . . 6 ⊢ ((((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
9	7, 1, 8	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
10		numdom 10107	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
11	9, 10	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
12		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑥)
13	12	fifo 9501	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑥):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑥):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
15		fodomnum 10126	. . . 4 ⊢ (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card → ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑥):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})))
16	11, 14, 15	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}))
17		domtr 9067	. . 3 ⊢ (((fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ 𝐴)
18	16, 9, 17	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ 𝐴)
19		fvex 6933	. . 3 ⊢ (fi‘𝐴) ∈ V
20		ssfii 9488	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
22		ssdomg 9060	. . 3 ⊢ ((fi‘𝐴) ∈ V → (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) → 𝐴 ≼ (fi‘𝐴)))
23	19, 21, 22	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (fi‘𝐴))
24		sbth 9159	. 2 ⊢ (((fi‘𝐴) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (fi‘𝐴)) → (fi‘𝐴) ≈ 𝐴)
25	18, 23, 24	syl2anc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  ∩ cint 4970   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  –onto→wfo 6571  ‘cfv 6573  ωcom 7903   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001  Fincfn 9003  ficfi 9479  cardccrd 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-seqom 8504  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011

This theorem is referenced by: (None)