Theorem inffien 10043

Description: The set of finite intersections of an infinite well-orderable set is equinumerous to the set itself. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
inffien	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem inffien

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpwfien 10042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ 𝐴)
2		relen 8944	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≈
3	2	brrelex1i 5717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
4	1, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
5		difss 4090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
6		ssdomg 8993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V → (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
7	4, 5, 6	mpisyl 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
8		domentr 9006	. . . . . 6 ⊢ ((((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
9	7, 1, 8	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
10		numdom 10018	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
11	9, 10	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑥)
13	12	fifo 9388	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑥):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
14	13	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑥):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
15		fodomnum 10037	. . . 4 ⊢ (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card → ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑥):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})))
16	11, 14, 15	sylc 66	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}))
17		domtr 9000	. . 3 ⊢ (((fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ 𝐴)
18	16, 9, 17	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ 𝐴)
19		fvex 6894	. . 3 ⊢ (fi‘𝐴) ∈ V
20		ssfii 9375	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
21	20	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
22		ssdomg 8993	. . 3 ⊢ ((fi‘𝐴) ∈ V → (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) → 𝐴 ≼ (fi‘𝐴)))
23	19, 21, 22	mpsyl 69	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (fi‘𝐴))
24		sbth 9081	. 2 ⊢ (((fi‘𝐴) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (fi‘𝐴)) → (fi‘𝐴) ≈ 𝐴)
25	18, 23, 24	syl2anc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562  {csn 4589  ∩ cint 4912   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  ωcom 7858   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937  Fincfn 8939  ficfi 9366  cardccrd 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-seqom 8431  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924

This theorem is referenced by: (None)