Theorem inffien 10146

Description: The set of finite intersections of an infinite well-orderable set is equinumerous to the set itself. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
inffien	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem inffien

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpwfien 10145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ 𝐴)
2		relen 8982	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≈
3	2	brrelex1i 5706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
4	1, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
5		difss 4072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
6		ssdomg 9031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V → (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
7	4, 5, 6	mpisyl 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
8		domentr 9044	. . . . . 6 ⊢ ((((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
9	7, 1, 8	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
10		numdom 10121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
11	9, 10	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑥)
13	12	fifo 9428	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑥):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑥):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
15		fodomnum 10140	. . . 4 ⊢ (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card → ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑥):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})))
16	11, 14, 15	sylc 66	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}))
17		domtr 9038	. . 3 ⊢ (((fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ 𝐴)
18	16, 9, 17	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ 𝐴)
19		fvex 6899	. . 3 ⊢ (fi‘𝐴) ∈ V
20		ssfii 9415	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
22		ssdomg 9031	. . 3 ⊢ ((fi‘𝐴) ∈ V → (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) → 𝐴 ≼ (fi‘𝐴)))
23	19, 21, 22	mpsyl 69	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (fi‘𝐴))
24		sbth 9120	. 2 ⊢ (((fi‘𝐴) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (fi‘𝐴)) → (fi‘𝐴) ≈ 𝐴)
25	18, 23, 24	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  ∩ cint 4906   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  –onto→wfo 6537  ‘cfv 6539  ωcom 7878   ≈ cen 8974   ≼ cdom 8975  Fincfn 8977  ficfi 9406  cardccrd 10020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-seqom 8462  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fi 9407  df-oi 9508  df-card 10024  df-acn 10027

This theorem is used by: (None)