Theorem weiunse 36463

Description: The relation constructed in weiunpo 36460, weiunso 36461, weiunfr 36462, and weiunwe 36464 is set-like if all members of the indexed union are sets. (Contributed by Matthew House, 23-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
weiun.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (℩𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
weiun.2	⊢ 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑧) ∨ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ∧ 𝑦⦋(𝐹‘𝑦) / 𝑥⦌𝑆𝑧)))}

Assertion

Ref	Expression
weiunse	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑇 Se ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑤,𝑥   𝑦,𝐴,𝑧,𝑥   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑤   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem weiunse

Dummy variables 𝑡 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑅 Se 𝐴)
2		weiun.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (℩𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
3		weiun.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑧) ∨ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ∧ 𝑦⦋(𝐹‘𝑦) / 𝑥⦌𝑆𝑧)))}
4		simpl1 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑅 We 𝐴)
5	2, 3, 4, 1	weiunlem2 36458	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ ⦋ 𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ¬ 𝑠𝑅(𝐹‘𝑡)))
6	5	simp1d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶𝐴)
7		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
8	6, 7	ffvelcdmd 7112	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝐹‘𝑝) ∈ 𝐴)
9		seex 5652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Se 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ 𝐴) → {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∈ V)
10	1, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∈ V)
11		snex 5445	. . . . . 6 ⊢ {(𝐹‘𝑝)} ∈ V
12		unexg 7769	. . . . . 6 ⊢ (({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∈ V ∧ {(𝐹‘𝑝)} ∈ V) → ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}) ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}) ∈ V)
14		ssrab2 4093	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ⊆ 𝐴
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ⊆ 𝐴)
16	8	snssd 4817	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {(𝐹‘𝑝)} ⊆ 𝐴)
17	15, 16	unssd 4205	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}) ⊆ 𝐴)
18		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
19		elex 3502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
20	19	ralimi 3083	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
21	18, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
22		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠 𝐵 ∈ V
23		nfcsb1v 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵
24	23	nfel1 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V
25		csbeq1a 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝐵 = ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
26	25	eleq1d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝐵 ∈ V ↔ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V))
27	22, 24, 26	cbvralw 3306	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐴 ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
28	21, 27	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
29		ssralv 4067	. . . . . 6 ⊢ (({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}) ⊆ 𝐴 → (∀𝑠 ∈ 𝐴 ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V → ∀𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V))
30	17, 28, 29	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∀𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
31		iunexg 7996	. . . . 5 ⊢ ((({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}) ∈ V ∧ ∀𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V) → ∪ 𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
32	13, 30, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∪ 𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
33	6	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶𝐴)
34		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
35	33, 34	ffvelcdmd 7112	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴)
36		breq1 5154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (𝐹‘𝑞) → (𝑟𝑅(𝐹‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑝)))
37	36	elrab 3698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑞) ∈ {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ↔ ((𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑝)))
38		elun1 4195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑞) ∈ {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} → (𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}))
39	37, 38	sylbir 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑝)) → (𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}))
40	35, 39	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑝)) → (𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}))
41		fvex 6927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑞) ∈ V
42	41	elsn 4649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑞) ∈ {(𝐹‘𝑝)} ↔ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝))
43		elun2 4196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑞) ∈ {(𝐹‘𝑝)} → (𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}))
44	42, 43	sylbir 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝) → (𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}))
45	44	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑝)) → (𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}))
46	2, 3	weiunlem1 36457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞𝑇𝑝 ↔ ((𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑝) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑝))))
47	46	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞𝑇𝑝 → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑝) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑝)))
48	47	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑝) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑝)))
49	40, 45, 48	mpjaodan 961	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → (𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}))
50		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → 𝑡 = 𝑞)
51		fveq2 6914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑞))
52	51	csbeq1d 3915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
53	50, 52	eleq12d 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → (𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵))
54	5	simp2d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∀𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵)
55	54	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → ∀𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵)
56	53, 55, 34	rspcdva 3626	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
57		csbeq1 3914	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑞) → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
58	57	eliuni 5005	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}) ∧ 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
59	49, 56, 58	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
60	59	rabssdv 4088	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∣ 𝑞𝑇𝑝} ⊆ ∪ 𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
61	32, 60	ssexd 5333	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∣ 𝑞𝑇𝑝} ∈ V)
62	61	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵{𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∣ 𝑞𝑇𝑝} ∈ V)
63		df-se 5646	. 2 ⊢ (𝑇 Se ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵{𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∣ 𝑞𝑇𝑝} ∈ V)
64	62, 63	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑇 Se ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3481  ⦋csb 3911   ∪ cun 3964   ⊆ wss 3966  {csn 4634  ∪ ciun 4999   class class class wbr 5151  {copab 5213   ↦ cmpt 5234   Se wse 5643   We wwe 5644  ⟶wf 6565  ‘cfv 6569  ℩crio 7394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441  ax-un 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-fv 6577  df-riota 7395

This theorem is referenced by: (None)