Theorem weiunse 36662

Description: The relation constructed in weiunpo 36659, weiunso 36660, weiunfr 36661, and weiunwe 36663 is set-like if all members of the indexed union are sets. (Contributed by Matthew House, 23-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
weiun.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (℩𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
weiun.2	⊢ 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑧) ∨ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ∧ 𝑦⦋(𝐹‘𝑦) / 𝑥⦌𝑆𝑧)))}

Assertion

Ref	Expression
weiunse	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑇 Se ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑤,𝑥   𝑦,𝐴,𝑧,𝑥   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑤   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem weiunse

Dummy variables 𝑡 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑅 Se 𝐴)
2		weiun.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (℩𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
3		weiun.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑧) ∨ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ∧ 𝑦⦋(𝐹‘𝑦) / 𝑥⦌𝑆𝑧)))}
4		simpl1 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑅 We 𝐴)
5	2, 3, 4, 1	weiunlem 36657	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ ⦋ 𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ¬ 𝑠𝑅(𝐹‘𝑡)))
6	5	simp1d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶𝐴)
7		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
8	6, 7	ffvelcdmd 7030	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝐹‘𝑝) ∈ 𝐴)
9		seex 5583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Se 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ 𝐴) → {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∈ V)
10	1, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∈ V)
11		snex 5381	. . . . . 6 ⊢ {(𝐹‘𝑝)} ∈ V
12		unexg 7688	. . . . . 6 ⊢ (({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∈ V ∧ {(𝐹‘𝑝)} ∈ V) → ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}) ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}) ∈ V)
14		ssrab2 4032	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ⊆ 𝐴
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ⊆ 𝐴)
16	8	snssd 4765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {(𝐹‘𝑝)} ⊆ 𝐴)
17	15, 16	unssd 4144	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}) ⊆ 𝐴)
18		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
19		elex 3461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
20	19	ralimi 3073	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
21	18, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
22		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠 𝐵 ∈ V
23		nfcsb1v 3873	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵
24	23	nfel1 2915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V
25		csbeq1a 3863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝐵 = ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
26	25	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝐵 ∈ V ↔ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V))
27	22, 24, 26	cbvralw 3278	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐴 ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
28	21, 27	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
29		ssralv 4002	. . . . . 6 ⊢ (({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}) ⊆ 𝐴 → (∀𝑠 ∈ 𝐴 ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V → ∀𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V))
30	17, 28, 29	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∀𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
31		iunexg 7907	. . . . 5 ⊢ ((({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}) ∈ V ∧ ∀𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V) → ∪ 𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
32	13, 30, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∪ 𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
33	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶𝐴)
34		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
35	33, 34	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴)
36		breq1 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (𝐹‘𝑞) → (𝑟𝑅(𝐹‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑝)))
37	36	elrab 3646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑞) ∈ {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ↔ ((𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑝)))
38		elun1 4134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑞) ∈ {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} → (𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}))
39	37, 38	sylbir 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑝)) → (𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}))
40	35, 39	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑝)) → (𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}))
41		fvex 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑞) ∈ V
42	41	elsn 4595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑞) ∈ {(𝐹‘𝑝)} ↔ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝))
43		elun2 4135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑞) ∈ {(𝐹‘𝑝)} → (𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}))
44	42, 43	sylbir 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝) → (𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}))
45	44	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑝)) → (𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}))
46	2, 3	weiunval 36656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞𝑇𝑝 ↔ ((𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑝) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑝))))
47	46	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞𝑇𝑝 → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑝) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑝)))
48	47	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑝) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑝)))
49	40, 45, 48	mpjaodan 960	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → (𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}))
50		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → 𝑡 = 𝑞)
51		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑞))
52	51	csbeq1d 3853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
53	50, 52	eleq12d 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → (𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵))
54	5	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∀𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵)
55	54	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → ∀𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵)
56	53, 55, 34	rspcdva 3577	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
57		csbeq1 3852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑞) → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
58	57	eliuni 4952	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)}) ∧ 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
59	49, 56, 58	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞𝑇𝑝) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
60	59	rabssdv 4026	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∣ 𝑞𝑇𝑝} ⊆ ∪ 𝑠 ∈ ({𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟𝑅(𝐹‘𝑝)} ∪ {(𝐹‘𝑝)})⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
61	32, 60	ssexd 5269	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∣ 𝑞𝑇𝑝} ∈ V)
62	61	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵{𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∣ 𝑞𝑇𝑝} ∈ V)
63		df-se 5578	. 2 ⊢ (𝑇 Se ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵{𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∣ 𝑞𝑇𝑝} ∈ V)
64	62, 63	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑇 Se ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  {crab 3399  Vcvv 3440  ⦋csb 3849   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ∪ ciun 4946   class class class wbr 5098  {copab 5160   ↦ cmpt 5179   Se wse 5575   We wwe 5576  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  ℩crio 7314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7315

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