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Theorem weiunse 36436
Description: The relation constructed in weiunpo 36433, weiunso 36434, weiunfr 36435, and weiunwe 36437 is set-like if all members of the indexed union are sets. (Contributed by Matthew House, 23-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
weiun.1 𝐹 = (𝑤 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝑢 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
weiun.2 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑧 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑧) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑦(𝐹𝑦) / 𝑥𝑆𝑧)))}
Assertion
Ref Expression
weiunse ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → 𝑇 Se 𝑥𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑤,𝑥   𝑦,𝐴,𝑧,𝑥   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑤   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem weiunse
Dummy variables 𝑡 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1192 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑅 Se 𝐴)
2 weiun.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑤 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝑢 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
3 weiun.2 . . . . . . . . . 10 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑧 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑧) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑦(𝐹𝑦) / 𝑥𝑆𝑧)))}
4 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑅 We 𝐴)
52, 3, 4, 1weiunlem2 36431 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → (𝐹: 𝑥𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑡 𝑥𝐴 𝐵𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵 ∧ ∀𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥𝐵 ¬ 𝑠𝑅(𝐹𝑡)))
65simp1d 1142 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐹: 𝑥𝐴 𝐵𝐴)
7 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑝 𝑥𝐴 𝐵)
86, 7ffvelcdmd 7121 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → (𝐹𝑝) ∈ 𝐴)
9 seex 5659 . . . . . . 7 ((𝑅 Se 𝐴 ∧ (𝐹𝑝) ∈ 𝐴) → {𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∈ V)
101, 8, 9syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → {𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∈ V)
11 snex 5451 . . . . . 6 {(𝐹𝑝)} ∈ V
12 unexg 7780 . . . . . 6 (({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∈ V ∧ {(𝐹𝑝)} ∈ V) → ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 585 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)}) ∈ V)
14 ssrab2 4103 . . . . . . . 8 {𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ⊆ 𝐴
1514a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → {𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ⊆ 𝐴)
168snssd 4834 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → {(𝐹𝑝)} ⊆ 𝐴)
1715, 16unssd 4215 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)}) ⊆ 𝐴)
18 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
19 elex 3509 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑉𝐵 ∈ V)
2019ralimi 3089 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
22 nfv 1913 . . . . . . . 8 𝑠 𝐵 ∈ V
23 nfcsb1v 3946 . . . . . . . . 9 𝑥𝑠 / 𝑥𝐵
2423nfel1 2925 . . . . . . . 8 𝑥𝑠 / 𝑥𝐵 ∈ V
25 csbeq1a 3935 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠𝐵 = 𝑠 / 𝑥𝐵)
2625eleq1d 2829 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑠 → (𝐵 ∈ V ↔ 𝑠 / 𝑥𝐵 ∈ V))
2722, 24, 26cbvralw 3312 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V ↔ ∀𝑠𝐴 𝑠 / 𝑥𝐵 ∈ V)
2821, 27sylib 218 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → ∀𝑠𝐴 𝑠 / 𝑥𝐵 ∈ V)
29 ssralv 4077 . . . . . 6 (({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)}) ⊆ 𝐴 → (∀𝑠𝐴 𝑠 / 𝑥𝐵 ∈ V → ∀𝑠 ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)})𝑠 / 𝑥𝐵 ∈ V))
3017, 28, 29sylc 65 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → ∀𝑠 ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)})𝑠 / 𝑥𝐵 ∈ V)
31 iunexg 8006 . . . . 5 ((({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)}) ∈ V ∧ ∀𝑠 ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)})𝑠 / 𝑥𝐵 ∈ V) → 𝑠 ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)})𝑠 / 𝑥𝐵 ∈ V)
3213, 30, 31syl2anc 583 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑠 ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)})𝑠 / 𝑥𝐵 ∈ V)
3363ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞𝑇𝑝) → 𝐹: 𝑥𝐴 𝐵𝐴)
34 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞𝑇𝑝) → 𝑞 𝑥𝐴 𝐵)
3533, 34ffvelcdmd 7121 . . . . . . . 8 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞𝑇𝑝) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐴)
36 breq1 5169 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝐹𝑞) → (𝑟𝑅(𝐹𝑝) ↔ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑝)))
3736elrab 3708 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑞) ∈ {𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ↔ ((𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑝)))
38 elun1 4205 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑞) ∈ {𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} → (𝐹𝑞) ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)}))
3937, 38sylbir 235 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑝)) → (𝐹𝑞) ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)}))
4035, 39sylan 579 . . . . . . 7 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞𝑇𝑝) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑝)) → (𝐹𝑞) ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)}))
41 fvex 6935 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑞) ∈ V
4241elsn 4663 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑞) ∈ {(𝐹𝑝)} ↔ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑝))
43 elun2 4206 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑞) ∈ {(𝐹𝑝)} → (𝐹𝑞) ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)}))
4442, 43sylbir 235 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑝) → (𝐹𝑞) ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)}))
4544ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞𝑇𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑝) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑝)) → (𝐹𝑞) ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)}))
462, 3weiunlem1 36430 . . . . . . . . 9 (𝑞𝑇𝑝 ↔ ((𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑝 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑝) ∨ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑝) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑝))))
4746simprbi 496 . . . . . . . 8 (𝑞𝑇𝑝 → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑝) ∨ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑝) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑝)))
48473ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞𝑇𝑝) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑝) ∨ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑝) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑝)))
4940, 45, 48mpjaodan 959 . . . . . 6 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞𝑇𝑝) → (𝐹𝑞) ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)}))
50 id 22 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑞𝑡 = 𝑞)
51 fveq2 6922 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑞 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑞))
5251csbeq1d 3925 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑞(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵 = (𝐹𝑞) / 𝑥𝐵)
5350, 52eleq12d 2838 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑞 → (𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝐵))
545simp2d 1143 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → ∀𝑡 𝑥𝐴 𝐵𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵)
55543ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞𝑇𝑝) → ∀𝑡 𝑥𝐴 𝐵𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵)
5653, 55, 34rspcdva 3636 . . . . . 6 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞𝑇𝑝) → 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝐵)
57 csbeq1 3924 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐹𝑞) → 𝑠 / 𝑥𝐵 = (𝐹𝑞) / 𝑥𝐵)
5857eliuni 5021 . . . . . 6 (((𝐹𝑞) ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)}) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝐵) → 𝑞 𝑠 ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)})𝑠 / 𝑥𝐵)
5949, 56, 58syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞𝑇𝑝) → 𝑞 𝑠 ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)})𝑠 / 𝑥𝐵)
6059rabssdv 4098 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → {𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞𝑇𝑝} ⊆ 𝑠 ∈ ({𝑟𝐴𝑟𝑅(𝐹𝑝)} ∪ {(𝐹𝑝)})𝑠 / 𝑥𝐵)
6132, 60ssexd 5342 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵) → {𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞𝑇𝑝} ∈ V)
6261ralrimiva 3152 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → ∀𝑝 𝑥𝐴 𝐵{𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞𝑇𝑝} ∈ V)
63 df-se 5653 . 2 (𝑇 Se 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑝 𝑥𝐴 𝐵{𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞𝑇𝑝} ∈ V)
6462, 63sylibr 234 1 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → 𝑇 Se 𝑥𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  {crab 3443  Vcvv 3488  csb 3921  cun 3974  wss 3976  {csn 4648   ciun 5015   class class class wbr 5166  {copab 5228  cmpt 5249   Se wse 5650   We wwe 5651  wf 6571  cfv 6575  crio 7405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7772
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-fv 6583  df-riota 7406
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