Theorem mulneg2 11549

Description: The product with a negative is the negative of the product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulneg1 11548	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-𝐵 · 𝐴) = -(𝐵 · 𝐴))
2	1	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐵 · 𝐴) = -(𝐵 · 𝐴))
3		negcl 11355	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
4		mulcom 11087	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = (-𝐵 · 𝐴))
5	3, 4	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = (-𝐵 · 𝐴))
6		mulcom 11087	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
7	6	negeqd 11349	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 · 𝐵) = -(𝐵 · 𝐴))
8	2, 5, 7	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  ℂcc 10999   · cmul 11006  -cneg 11340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146  df-sub 11341  df-neg 11342

This theorem is referenced by:  mulneg12  11550  submul2  11552  mulsub  11555  mulneg2i  11559  mulneg2d  11566  mulle0b  11988  zmulcl  12516  binom2sub  14122  cjreb  15025  recj  15026  reneg  15027  imcj  15034  imneg  15035  ipcnval  15045  cjneg  15049  cnpart  15142  efexp  16005  efmival  16057  tanhbnd  16065  sinsub  16072  cossub  16073  odd2np1  16247  itgneg  25727  dvsincos  25907  sinperlem  26411  efimpi  26422  dcubic2  26776  dcubic  26778  dquart  26785  quartlem1  26789  asinlem2  26801  asinneg  26818  sinasin  26821  cosasin  26836  atanneg  26839  atanlogadd  26846  atanlogsub  26848  cosatan  26853  atantan  26855  atans2  26863  rpvmasum2  27445  ipasslem2  30804  dvasin  37744  pell1234qrdich  42894  rmxm1  42967