Theorem mulneg2 11662

Description: The product with a negative is the negative of the product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulneg1 11661	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-𝐵 · 𝐴) = -(𝐵 · 𝐴))
2	1	ancoms 464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐵 · 𝐴) = -(𝐵 · 𝐴))
3		negcl 11468	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
4		mulcom 11197	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = (-𝐵 · 𝐴))
5	3, 4	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = (-𝐵 · 𝐴))
6		mulcom 11197	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
7	6	negeqd 11462	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 · 𝐵) = -(𝐵 · 𝐴))
8	2, 5, 7	3eqtr4d 2810	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℂcc 11109   · cmul 11116  -cneg 11453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11454  df-neg 11455

This theorem is used by:  mulneg12  11663  submul2  11665  mulsub  11668  mulneg2i  11672  mulneg2d  11679  mulle0b  12097  zmulcl  12654  binom2sub  14269  cjreb  15193  recj  15194  reneg  15195  imcj  15202  imneg  15203  ipcnval  15213  cjneg  15217  cnpart  15310  efexp  16174  efmival  16226  tanhbnd  16234  sinsub  16241  cossub  16242  odd2np1  16416  itgneg  25992  dvsincos  26169  sinperlem  26674  efimpi  26685  dcubic2  27038  dcubic  27040  dquart  27047  quartlem1  27051  asinlem2  27063  asinneg  27080  sinasin  27083  cosasin  27098  atanneg  27101  atanlogadd  27108  atanlogsub  27110  cosatan  27115  atantan  27117  atans2  27125  rpvmasum2  27705  ipasslem2  31213  dvasin  38388  pell1234qrdich  43621  rmxm1  43694