MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulneg2 11076
Description: The product with a negative is the negative of the product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
mulneg2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg2
StepHypRef Expression
1 mulneg1 11075 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-𝐵 · 𝐴) = -(𝐵 · 𝐴))
21ancoms 461 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐵 · 𝐴) = -(𝐵 · 𝐴))
3 negcl 10885 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
4 mulcom 10622 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = (-𝐵 · 𝐴))
53, 4sylan2 594 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = (-𝐵 · 𝐴))
6 mulcom 10622 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
76negeqd 10879 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 · 𝐵) = -(𝐵 · 𝐴))
82, 5, 73eqtr4d 2866 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  (class class class)co 7155  cc 10534   · cmul 10541  -cneg 10870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-sub 10871  df-neg 10872
This theorem is referenced by:  mulneg12  11077  submul2  11079  mulsub  11082  mulneg2i  11086  mulneg2d  11093  mulle0b  11510  zmulcl  12030  binom2sub  13580  cjreb  14481  recj  14482  reneg  14483  imcj  14490  imneg  14491  ipcnval  14501  cjneg  14505  cnpart  14598  efexp  15453  efmival  15505  tanhbnd  15513  sinsub  15520  cossub  15521  odd2np1  15689  itgneg  24403  dvsincos  24577  sinperlem  25065  efimpi  25076  dcubic2  25421  dcubic  25423  dquart  25430  quartlem1  25434  asinlem2  25446  asinneg  25463  sinasin  25466  cosasin  25481  atanneg  25484  atanlogadd  25491  atanlogsub  25493  cosatan  25498  atantan  25500  atans2  25508  rpvmasum2  26087  ipasslem2  28608  dvasin  34977  pell1234qrdich  39456  rmxm1  39529
  Copyright terms: Public domain W3C validator