![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulneg2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The product with a negative is the negative of the product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulneg2 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท -๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulneg1 11650 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง ๐ด โ โ) โ (-๐ต ยท ๐ด) = -(๐ต ยท ๐ด)) | |
2 | 1 | ancoms 460 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (-๐ต ยท ๐ด) = -(๐ต ยท ๐ด)) |
3 | negcl 11460 | . . 3 โข (๐ต โ โ โ -๐ต โ โ) | |
4 | mulcom 11196 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง -๐ต โ โ) โ (๐ด ยท -๐ต) = (-๐ต ยท ๐ด)) | |
5 | 3, 4 | sylan2 594 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท -๐ต) = (-๐ต ยท ๐ด)) |
6 | mulcom 11196 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)) | |
7 | 6 | negeqd 11454 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ -(๐ด ยท ๐ต) = -(๐ต ยท ๐ด)) |
8 | 2, 5, 7 | 3eqtr4d 2783 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท -๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7409 โcc 11108 ยท cmul 11115 -cneg 11445 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-po 5589 df-so 5590 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-ltxr 11253 df-sub 11446 df-neg 11447 |
This theorem is referenced by: mulneg12 11652 submul2 11654 mulsub 11657 mulneg2i 11661 mulneg2d 11668 mulle0b 12085 zmulcl 12611 binom2sub 14183 cjreb 15070 recj 15071 reneg 15072 imcj 15079 imneg 15080 ipcnval 15090 cjneg 15094 cnpart 15187 efexp 16044 efmival 16096 tanhbnd 16104 sinsub 16111 cossub 16112 odd2np1 16284 itgneg 25321 dvsincos 25498 sinperlem 25990 efimpi 26001 dcubic2 26349 dcubic 26351 dquart 26358 quartlem1 26362 asinlem2 26374 asinneg 26391 sinasin 26394 cosasin 26409 atanneg 26412 atanlogadd 26419 atanlogsub 26421 cosatan 26426 atantan 26428 atans2 26436 rpvmasum2 27015 ipasslem2 30085 dvasin 36572 pell1234qrdich 41599 rmxm1 41673 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |