Theorem mulneg2 11792

Description: The product with a negative is the negative of the product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulneg1 11791	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -𝐵 · 𝐴) = -(𝐵 · 𝐴))
2	1	ancoms 464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ( -𝐵 · 𝐴) = -(𝐵 · 𝐴))
3		negcl 11596	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
4		mulcom 11325	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = ( -𝐵 · 𝐴))
5	3, 4	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = ( -𝐵 · 𝐴))
6		mulcom 11325	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
7	6	negeqd 11590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 · 𝐵) = -(𝐵 · 𝐴))
8	2, 5, 7	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237   · cmul 11244   -cneg 11581

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by:  mulneg12  11793  submul2  11795  mulsub  11798  mulneg2i  11802  mulneg2d  11809  mulle0b  12228  zmulcl  12785  binom2sub  14405  cjreb  15333  recj  15334  reneg  15335  imcj  15342  imneg  15343  ipcnval  15353  cjneg  15357  cnpart  15450  efexp  16313  efmival  16365  tanhbnd  16373  sinsub  16380  cossub  16381  odd2np1  16555  itgneg  26179  dvsincos  26356  sinperlem  26866  efimpi  26877  dcubic2  27229  dcubic  27231  dquart  27238  quartlem1  27242  asinlem2  27254  asinneg  27271  sinasin  27274  cosasin  27289  atanneg  27292  atanlogadd  27299  atanlogsub  27301  cosatan  27306  atantan  27308  atans2  27316  rpvmasum2  27896  ipasslem2  31491  dvasin  38890  pell1234qrdich  44134  rmxm1  44207  sinhneg  51242  sinhsub  51256  coshsub  51257