Theorem xrge0adddi 33101

Description: Left-distributivity of extended nonnegative real multiplication over addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0adddi	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +𝑒 (𝐶 ·e 𝐵)))

Proof of Theorem xrge0adddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0adddir 33100	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
2		iccssxr 13346	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
4	2, 3	sselid 3931	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6	2, 5	sselid 3931	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7	4, 6	xaddcld 13216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
8		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
9	2, 8	sselid 3931	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
10		xmulcom 13181	. . 3 ⊢ (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)))
11	7, 9, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)))
12		xmulcom 13181	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐴))
13	4, 9, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐴))
14		xmulcom 13181	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
15	6, 9, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
16	13, 15	oveq12d 7376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +𝑒 (𝐶 ·e 𝐵)))
17	1, 11, 16	3eqtr3d 2779	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +𝑒 (𝐶 ·e 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  0cc0 11026  +∞cpnf 11163  ℝ^*cxr 11165   +_𝑒 cxad 13024   ·_e cxmu 13025  [,]cicc 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ico 13267  df-icc 13268

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  33429