Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0adddi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0adddi 30673
Description: Left-distributivity of extended nonnegative real multiplication over addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrge0adddi ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +𝑒 (𝐶 ·e 𝐵)))

Proof of Theorem xrge0adddi
StepHypRef Expression
1 xrge0adddir 30672 . 2 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
2 iccssxr 12811 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3 simp1 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
42, 3sseldi 3963 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simp2 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
62, 5sseldi 3963 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
74, 6xaddcld 12686 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
8 simp3 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
92, 8sseldi 3963 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
10 xmulcom 12651 . . 3 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)))
117, 9, 10syl2anc 586 . 2 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)))
12 xmulcom 12651 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐴))
134, 9, 12syl2anc 586 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐴))
14 xmulcom 12651 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
156, 9, 14syl2anc 586 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
1613, 15oveq12d 7166 . 2 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +𝑒 (𝐶 ·e 𝐵)))
171, 11, 163eqtr3d 2862 1 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +𝑒 (𝐶 ·e 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7148  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  *cxr 10666   +𝑒 cxad 12497   ·e cxmu 12498  [,]cicc 12733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ico 12736  df-icc 12737
This theorem is referenced by:  xrge0slmod  30910
  Copyright terms: Public domain W3C validator