Theorem sge0ssre 46426

Description: If a sum of nonnegative extended reals is real, than any subsum is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0less.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0less.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0ssre.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0ssre	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem sge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0less.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		inex1g 5289	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
4		sge0less.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5		fresin 6747	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
7	3, 6	sge0xrcl 46414	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ*)
8		sge0ssre.re	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
9		mnfxr 11292	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
11		0xr 11282	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
13		mnflt0 13141	. . . 4 ⊢ -∞ < 0
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < 0)
15	3, 6	sge0ge0 46413	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)))
16	10, 12, 7, 14, 15	xrltletrd 13177	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)))
17	1, 4	sge0less 46421	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
18		xrre 13185	. 2 ⊢ ((((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∧ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ)
19	7, 8, 16, 17, 18	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∩ cin 3925   class class class wbr 5119   ↾ cres 5656  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  +∞cpnf 11266  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  [,]cicc 13365  Σ^{^}csumge0 46391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703  df-sumge0 46392

This theorem is referenced by:  sge0ssrempt  46434  sge0resplit  46435  sge0split  46438