Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0ssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0ssre 43500
Description: If a sum of nonnegative extended reals is real, than any subsum is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0less.x (𝜑𝑋𝑉)
sge0less.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0ssre.re (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0ssre (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem sge0ssre
StepHypRef Expression
1 sge0less.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
2 inex1g 5188 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝑋𝑌) ∈ V)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ V)
4 sge0less.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5 fresin 6548 . . . 4 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
73, 6sge0xrcl 43488 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ∈ ℝ*)
8 sge0ssre.re . 2 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
9 mnfxr 10779 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
11 0xr 10769 . . . 4 0 ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
13 mnflt0 12606 . . . 4 -∞ < 0
1413a1i 11 . . 3 (𝜑 → -∞ < 0)
153, 6sge0ge0 43487 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (Σ^‘(𝐹𝑌)))
1610, 12, 7, 14, 15xrltletrd 12640 . 2 (𝜑 → -∞ < (Σ^‘(𝐹𝑌)))
171, 4sge0less 43495 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
18 xrre 12648 . 2 ((((Σ^‘(𝐹𝑌)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (Σ^‘(𝐹𝑌)) ∧ (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ∈ ℝ)
197, 8, 16, 17, 18syl22anc 838 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2114  Vcvv 3399  cin 3843   class class class wbr 5031  cres 5528  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7173  cr 10617  0cc0 10618  +∞cpnf 10753  -∞cmnf 10754  *cxr 10755   < clt 10756  cle 10757  [,]cicc 12827  Σ^csumge0 43465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-inf2 9180  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-sup 8982  df-oi 9050  df-card 9444  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-rp 12476  df-ico 12830  df-icc 12831  df-fz 12985  df-fzo 13128  df-seq 13464  df-exp 13525  df-hash 13786  df-cj 14551  df-re 14552  df-im 14553  df-sqrt 14687  df-abs 14688  df-clim 14938  df-sum 15139  df-sumge0 43466
This theorem is referenced by:  sge0ssrempt  43508  sge0resplit  43509  sge0split  43512
  Copyright terms: Public domain W3C validator