Theorem sge0ssre 45820

Description: If a sum of nonnegative extended reals is real, than any subsum is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0less.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0less.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0ssre.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0ssre	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem sge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0less.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		inex1g 5312	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
4		sge0less.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5		fresin 6759	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
7	3, 6	sge0xrcl 45808	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ*)
8		sge0ssre.re	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
9		mnfxr 11299	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
11		0xr 11289	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
13		mnflt0 13135	. . . 4 ⊢ -∞ < 0
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < 0)
15	3, 6	sge0ge0 45807	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)))
16	10, 12, 7, 14, 15	xrltletrd 13170	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)))
17	1, 4	sge0less 45815	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
18		xrre 13178	. 2 ⊢ ((((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∧ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ)
19	7, 8, 16, 17, 18	syl22anc 837	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∩ cin 3938   class class class wbr 5141   ↾ cres 5672  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  ℝcr 11135  0cc0 11136  +∞cpnf 11273  -∞cmnf 11274  ℝ^*cxr 11275   < clt 11276   ≤ cle 11277  [,]cicc 13357  Σ^{^}csumge0 45785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-sumge0 45786

This theorem is referenced by:  sge0ssrempt  45828  sge0resplit  45829  sge0split  45832