Theorem sge0ssre 47188

Description: If a sum of nonnegative extended reals is real, than any subsum is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0less.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0less.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0ssre.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0ssre	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem sge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0less.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		inex1g 5290	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
4		sge0less.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5		fresin 6751	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
7	3, 6	sge0xrcl 47176	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ*)
8		sge0ssre.re	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
9		mnfxr 11285	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
11		0xr 11275	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
13		mnflt0 13170	. . . 4 ⊢ -∞ < 0
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < 0)
15	3, 6	sge0ge0 47175	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)))
16	10, 12, 7, 14, 15	xrltletrd 13206	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)))
17	1, 4	sge0less 47183	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
18		xrre 13215	. 2 ⊢ ((((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∧ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ)
19	7, 8, 16, 17, 18	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∩ cin 3905   class class class wbr 5111   ↾ cres 5665  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11118  0cc0 11119  +∞cpnf 11259  -∞cmnf 11260  ℝ^*cxr 11261   < clt 11262   ≤ cle 11263  [,]cicc 13395  Σ^{^}csumge0 47153

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-rp 13037  df-ico 13398  df-icc 13399  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-seq 14060  df-exp 14120  df-hash 14389  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-clim 15567  df-sum 15766  df-sumge0 47154

This theorem is used by:  sge0ssrempt  47196  sge0resplit  47197  sge0split  47200