Theorem itg2monolem2 25720

Description: Lemma for itg2mono 25722. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mono.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
itg2mono.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
itg2mono.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mono.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
itg2mono.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
itg2mono.6	⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
itg2monolem2.9	⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
itg2monolem2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mono.6	. . 3 ⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
2		itg2mono.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
3		icossicc 13364	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
4		fss 6686	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
5	2, 3, 4	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
6		itg2cl 25701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
8	7	fmpttd 7069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))):ℕ⟶ℝ*)
9	8	frnd 6678	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ*)
10		supxrcl 13242	. . . 4 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12	1, 11	eqeltrid 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
13		itg2monolem2.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
14		itg1cl 25654	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
16		mnfxr 11201	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
18		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
19	18	feq1d 6652	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞)))
20	5	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
21		1nn 12168	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
23	19, 20, 22	rspcdva 3579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞))
24		itg2cl 25701	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
26		itg2ge0 25704	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
27	23, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
28		mnflt0 13051	. . . . 5 ⊢ -∞ < 0
29		0xr 11191	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
30		xrltletr 13083	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1))) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
31	16, 29, 25, 30	mp3an12i 1468	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1))) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
32	28, 31	mpani 697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
33	27, 32	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1)))
34		2fveq3 6847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) = (∫2‘(𝐹‘1)))
35		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))
36		fvex 6855	. . . . . . . 8 ⊢ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ V
37	34, 35, 36	fvmpt 6949	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1)))
38	21, 37	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1))
39	8	ffnd 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ)
40		fnfvelrn 7034	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
41	39, 21, 40	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
42	38, 41	eqeltrrid 2842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
43		supxrub 13251	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))) → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
44	9, 42, 43	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
45	44, 1	breqtrrdi 5142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ 𝑆)
46	17, 25, 12, 33, 45	xrltletrd 13087	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑆)
47	15	rexrd 11194	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*)
48		itg2monolem2.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)
49		xrltnle 11211	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*) → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
50	12, 47, 49	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
51	48, 50	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (∫1‘𝑃))
52	12, 47, 51	xrltled 13076	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ (∫1‘𝑃))
53		xrre 13096	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1‘𝑃) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ (∫1‘𝑃))) → 𝑆 ∈ ℝ)
54	12, 15, 46, 52, 53	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632  ran crn 5633   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_r cofr 7631  supcsup 9355  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  +∞cpnf 11175  -∞cmnf 11176  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  [,)cico 13275  [,]cicc 13276  MblFncmbf 25583  ∫₁citg1 25584  ∫₂citg2 25585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xadd 13039  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-xmet 21314  df-met 21315  df-ovol 25433  df-vol 25434  df-mbf 25588  df-itg1 25589  df-itg2 25590

This theorem is referenced by:  itg2monolem3  25721