MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2monolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2monolem2 25269
Description: Lemma for itg2mono 25271. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
itg2mono.2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ MblFn)
itg2mono.3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2mono.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
itg2mono.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
itg2mono.6 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∘r ≀ 𝐺)
itg2monolem2.9 (πœ‘ β†’ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
itg2monolem2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑛,𝐹,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑛,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem2
StepHypRef Expression
1 itg2mono.6 . . 3 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < )
2 itg2mono.3 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞))
3 icossicc 13413 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
4 fss 6735 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
52, 3, 4sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
6 itg2cl 25250 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
87fmpttd 7115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))):β„•βŸΆβ„*)
98frnd 6726 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ*)
10 supxrcl 13294 . . . 4 (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ* β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
119, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
121, 11eqeltrid 2838 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
13 itg2monolem2.7 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ dom ∫1)
14 itg1cl 25202 . . 3 (𝑃 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
16 mnfxr 11271 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
1716a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
18 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜1))
1918feq1d 6703 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞) ↔ (πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞)))
205ralrimiva 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
21 1nn 12223 . . . . . 6 1 ∈ β„•
2221a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
2319, 20, 22rspcdva 3614 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞))
24 itg2cl 25250 . . . 4 ((πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ℝ*)
26 itg2ge0 25253 . . . . 5 ((πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
2723, 26syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
28 mnflt0 13105 . . . . 5 -∞ < 0
29 0xr 11261 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
30 xrltletr 13136 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ℝ*) β†’ ((-∞ < 0 ∧ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1))) β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1))))
3116, 29, 25, 30mp3an12i 1466 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((-∞ < 0 ∧ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1))) β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1))))
3228, 31mpani 695 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1))))
3327, 32mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
34 2fveq3 6897 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
35 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
36 fvex 6905 . . . . . . . 8 (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ V
3734, 35, 36fvmpt 6999 . . . . . . 7 (1 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) = (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
3821, 37ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) = (∫2β€˜(πΉβ€˜1))
398ffnd 6719 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) Fn β„•)
40 fnfvelrn 7083 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) Fn β„• ∧ 1 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
4139, 21, 40sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
4238, 41eqeltrrid 2839 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
43 supxrub 13303 . . . . 5 ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ* ∧ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ))
449, 42, 43syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ))
4544, 1breqtrrdi 5191 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ≀ 𝑆)
4617, 25, 12, 33, 45xrltletrd 13140 . 2 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑆)
4715rexrd 11264 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ*)
48 itg2monolem2.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆)
49 xrltnle 11281 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ*) β†’ (𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ) ↔ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆))
5012, 47, 49syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ) ↔ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆))
5148, 50mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ))
5212, 47, 51xrltled 13129 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ (∫1β€˜π‘ƒ))
53 xrre 13148 . 2 (((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ (∫1β€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
5412, 15, 46, 52, 53syl22anc 838 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘r cofr 7669  supcsup 9435  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  [,)cico 13326  [,]cicc 13327  MblFncmbf 25131  βˆ«1citg1 25132  βˆ«2citg2 25133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138
This theorem is referenced by:  itg2monolem3  25270
  Copyright terms: Public domain W3C validator