Theorem itg2monolem2 25659

Description: Lemma for itg2mono 25661. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mono.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
itg2mono.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
itg2mono.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mono.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
itg2mono.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
itg2mono.6	⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
itg2monolem2.9	⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
itg2monolem2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mono.6	. . 3 ⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
2		itg2mono.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
3		icossicc 13404	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
4		fss 6707	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
6		itg2cl 25640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
8	7	fmpttd 7090	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))):ℕ⟶ℝ*)
9	8	frnd 6699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ*)
10		supxrcl 13282	. . . 4 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12	1, 11	eqeltrid 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
13		itg2monolem2.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
14		itg1cl 25593	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
16		mnfxr 11238	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
18		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
19	18	feq1d 6673	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞)))
20	5	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
21		1nn 12204	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
23	19, 20, 22	rspcdva 3592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞))
24		itg2cl 25640	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
26		itg2ge0 25643	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
27	23, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
28		mnflt0 13092	. . . . 5 ⊢ -∞ < 0
29		0xr 11228	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
30		xrltletr 13124	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1))) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
31	16, 29, 25, 30	mp3an12i 1467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1))) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
32	28, 31	mpani 696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
33	27, 32	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1)))
34		2fveq3 6866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) = (∫2‘(𝐹‘1)))
35		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))
36		fvex 6874	. . . . . . . 8 ⊢ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ V
37	34, 35, 36	fvmpt 6971	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1)))
38	21, 37	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1))
39	8	ffnd 6692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ)
40		fnfvelrn 7055	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
41	39, 21, 40	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
42	38, 41	eqeltrrid 2834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
43		supxrub 13291	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))) → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
44	9, 42, 43	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
45	44, 1	breqtrrdi 5152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ 𝑆)
46	17, 25, 12, 33, 45	xrltletrd 13128	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑆)
47	15	rexrd 11231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*)
48		itg2monolem2.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)
49		xrltnle 11248	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*) → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
50	12, 47, 49	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
51	48, 50	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (∫1‘𝑃))
52	12, 47, 51	xrltled 13117	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ (∫1‘𝑃))
53		xrre 13136	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1‘𝑃) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ (∫1‘𝑃))) → 𝑆 ∈ ℝ)
54	12, 15, 46, 52, 53	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ran crn 5642   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_r cofr 7655  supcsup 9398  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  +∞cpnf 11212  -∞cmnf 11213  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  [,)cico 13315  [,]cicc 13316  MblFncmbf 25522  ∫₁citg1 25523  ∫₂citg2 25524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xadd 13080  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-xmet 21264  df-met 21265  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-mbf 25527  df-itg1 25528  df-itg2 25529

This theorem is referenced by:  itg2monolem3  25660