MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2monolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2monolem2 25268
Description: Lemma for itg2mono 25270. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
itg2mono.2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ MblFn)
itg2mono.3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2mono.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
itg2mono.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
itg2mono.6 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∘r ≀ 𝐺)
itg2monolem2.9 (πœ‘ β†’ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
itg2monolem2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑛,𝐹,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑛,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem2
StepHypRef Expression
1 itg2mono.6 . . 3 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < )
2 itg2mono.3 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞))
3 icossicc 13412 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
4 fss 6734 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
52, 3, 4sylancl 586 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
6 itg2cl 25249 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
87fmpttd 7114 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))):β„•βŸΆβ„*)
98frnd 6725 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ*)
10 supxrcl 13293 . . . 4 (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ* β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
119, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
121, 11eqeltrid 2837 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
13 itg2monolem2.7 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ dom ∫1)
14 itg1cl 25201 . . 3 (𝑃 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
16 mnfxr 11270 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
1716a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
18 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜1))
1918feq1d 6702 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞) ↔ (πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞)))
205ralrimiva 3146 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
21 1nn 12222 . . . . . 6 1 ∈ β„•
2221a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
2319, 20, 22rspcdva 3613 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞))
24 itg2cl 25249 . . . 4 ((πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ℝ*)
26 itg2ge0 25252 . . . . 5 ((πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
2723, 26syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
28 mnflt0 13104 . . . . 5 -∞ < 0
29 0xr 11260 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
30 xrltletr 13135 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ℝ*) β†’ ((-∞ < 0 ∧ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1))) β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1))))
3116, 29, 25, 30mp3an12i 1465 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((-∞ < 0 ∧ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1))) β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1))))
3228, 31mpani 694 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1))))
3327, 32mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
34 2fveq3 6896 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
35 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
36 fvex 6904 . . . . . . . 8 (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ V
3734, 35, 36fvmpt 6998 . . . . . . 7 (1 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) = (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
3821, 37ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) = (∫2β€˜(πΉβ€˜1))
398ffnd 6718 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) Fn β„•)
40 fnfvelrn 7082 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) Fn β„• ∧ 1 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
4139, 21, 40sylancl 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
4238, 41eqeltrrid 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
43 supxrub 13302 . . . . 5 ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ* ∧ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ))
449, 42, 43syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ))
4544, 1breqtrrdi 5190 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ≀ 𝑆)
4617, 25, 12, 33, 45xrltletrd 13139 . 2 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑆)
4715rexrd 11263 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ*)
48 itg2monolem2.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆)
49 xrltnle 11280 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ*) β†’ (𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ) ↔ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆))
5012, 47, 49syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ) ↔ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆))
5148, 50mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ))
5212, 47, 51xrltled 13128 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ (∫1β€˜π‘ƒ))
53 xrre 13147 . 2 (((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ (∫1β€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
5412, 15, 46, 52, 53syl22anc 837 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘r cofr 7668  supcsup 9434  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  +∞cpnf 11244  -∞cmnf 11245  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•cn 12211  [,)cico 13325  [,]cicc 13326  MblFncmbf 25130  βˆ«1citg1 25131  βˆ«2citg2 25132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xadd 13092  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-xmet 20936  df-met 20937  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136  df-itg2 25137
This theorem is referenced by:  itg2monolem3  25269
  Copyright terms: Public domain W3C validator