MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2monolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2monolem2 25501
Description: Lemma for itg2mono 25503. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
itg2mono.2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ MblFn)
itg2mono.3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2mono.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
itg2mono.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
itg2mono.6 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∘r ≀ 𝐺)
itg2monolem2.9 (πœ‘ β†’ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
itg2monolem2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑛,𝐹,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑛,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem2
StepHypRef Expression
1 itg2mono.6 . . 3 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < )
2 itg2mono.3 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞))
3 icossicc 13417 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
4 fss 6733 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
52, 3, 4sylancl 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
6 itg2cl 25482 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
87fmpttd 7115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))):β„•βŸΆβ„*)
98frnd 6724 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ*)
10 supxrcl 13298 . . . 4 (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ* β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
119, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
121, 11eqeltrid 2835 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
13 itg2monolem2.7 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ dom ∫1)
14 itg1cl 25434 . . 3 (𝑃 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
16 mnfxr 11275 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
1716a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
18 fveq2 6890 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜1))
1918feq1d 6701 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞) ↔ (πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞)))
205ralrimiva 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
21 1nn 12227 . . . . . 6 1 ∈ β„•
2221a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
2319, 20, 22rspcdva 3612 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞))
24 itg2cl 25482 . . . 4 ((πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ℝ*)
26 itg2ge0 25485 . . . . 5 ((πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
2723, 26syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
28 mnflt0 13109 . . . . 5 -∞ < 0
29 0xr 11265 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
30 xrltletr 13140 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ℝ*) β†’ ((-∞ < 0 ∧ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1))) β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1))))
3116, 29, 25, 30mp3an12i 1463 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((-∞ < 0 ∧ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1))) β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1))))
3228, 31mpani 692 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1))))
3327, 32mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
34 2fveq3 6895 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
35 eqid 2730 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
36 fvex 6903 . . . . . . . 8 (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ V
3734, 35, 36fvmpt 6997 . . . . . . 7 (1 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) = (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
3821, 37ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) = (∫2β€˜(πΉβ€˜1))
398ffnd 6717 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) Fn β„•)
40 fnfvelrn 7081 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) Fn β„• ∧ 1 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
4139, 21, 40sylancl 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
4238, 41eqeltrrid 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
43 supxrub 13307 . . . . 5 ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ* ∧ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ))
449, 42, 43syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ))
4544, 1breqtrrdi 5189 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ≀ 𝑆)
4617, 25, 12, 33, 45xrltletrd 13144 . 2 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑆)
4715rexrd 11268 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ*)
48 itg2monolem2.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆)
49 xrltnle 11285 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ*) β†’ (𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ) ↔ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆))
5012, 47, 49syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ) ↔ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆))
5148, 50mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ))
5212, 47, 51xrltled 13133 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ (∫1β€˜π‘ƒ))
53 xrre 13152 . 2 (((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ (∫1β€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
5412, 15, 46, 52, 53syl22anc 835 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘r cofr 7671  supcsup 9437  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  [,)cico 13330  [,]cicc 13331  MblFncmbf 25363  βˆ«1citg1 25364  βˆ«2citg2 25365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-xmet 21137  df-met 21138  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370
This theorem is referenced by:  itg2monolem3  25502
  Copyright terms: Public domain W3C validator