MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2monolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2monolem2 25787
Description: Lemma for itg2mono 25789. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
itg2mono.2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ MblFn)
itg2mono.3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mono.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
itg2mono.5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
itg2mono.6 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7 (𝜑𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8 (𝜑𝑃r𝐺)
itg2monolem2.9 (𝜑 → ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
itg2monolem2 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem2
StepHypRef Expression
1 itg2mono.6 . . 3 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < )
2 itg2mono.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
3 icossicc 13477 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
4 fss 6751 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
52, 3, 4sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
6 itg2cl 25768 . . . . . . 7 ((𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ*)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ*)
87fmpttd 7134 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))):ℕ⟶ℝ*)
98frnd 6743 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ*)
10 supxrcl 13358 . . . 4 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
121, 11eqeltrid 2844 . 2 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
13 itg2monolem2.7 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ dom ∫1)
14 itg1cl 25721 . . 3 (𝑃 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑃) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . 2 (𝜑 → (∫1𝑃) ∈ ℝ)
16 mnfxr 11319 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
18 fveq2 6905 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝐹𝑛) = (𝐹‘1))
1918feq1d 6719 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ((𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞)))
205ralrimiva 3145 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
21 1nn 12278 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
2319, 20, 22rspcdva 3622 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞))
24 itg2cl 25768 . . . 4 ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
26 itg2ge0 25771 . . . . 5 ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
2723, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
28 mnflt0 13168 . . . . 5 -∞ < 0
29 0xr 11309 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
30 xrltletr 13200 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1))) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
3116, 29, 25, 30mp3an12i 1466 . . . . 5 (𝜑 → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1))) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
3228, 31mpani 696 . . . 4 (𝜑 → (0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
3327, 32mpd 15 . . 3 (𝜑 → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1)))
34 2fveq3 6910 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (∫2‘(𝐹𝑛)) = (∫2‘(𝐹‘1)))
35 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))
36 fvex 6918 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ V
3734, 35, 36fvmpt 7015 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1)))
3821, 37ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1))
398ffnd 6736 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) Fn ℕ)
40 fnfvelrn 7099 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))))
4139, 21, 40sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))))
4238, 41eqeltrrid 2845 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))))
43 supxrub 13367 . . . . 5 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))) → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ))
449, 42, 43syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ))
4544, 1breqtrrdi 5184 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ 𝑆)
4617, 25, 12, 33, 45xrltletrd 13204 . 2 (𝜑 → -∞ < 𝑆)
4715rexrd 11312 . . 3 (𝜑 → (∫1𝑃) ∈ ℝ*)
48 itg2monolem2.9 . . . 4 (𝜑 → ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
49 xrltnle 11329 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1𝑃) ∈ ℝ*) → (𝑆 < (∫1𝑃) ↔ ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆))
5012, 47, 49syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 < (∫1𝑃) ↔ ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆))
5148, 50mpbird 257 . . 3 (𝜑𝑆 < (∫1𝑃))
5212, 47, 51xrltled 13193 . 2 (𝜑𝑆 ≤ (∫1𝑃))
53 xrre 13212 . 2 (((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1𝑃) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑆𝑆 ≤ (∫1𝑃))) → 𝑆 ∈ ℝ)
5412, 15, 46, 52, 53syl22anc 838 1 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  wss 3950   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  ran crn 5685   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  r cofr 7697  supcsup 9481  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  +∞cpnf 11293  -∞cmnf 11294  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  cn 12267  [,)cico 13390  [,]cicc 13391  MblFncmbf 25650  1citg1 25651  2citg2 25652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xadd 13156  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-xmet 21358  df-met 21359  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655  df-itg1 25656  df-itg2 25657
This theorem is referenced by:  itg2monolem3  25788
  Copyright terms: Public domain W3C validator