MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2monolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2monolem2 25139
Description: Lemma for itg2mono 25141. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
itg2mono.2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ MblFn)
itg2mono.3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2mono.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
itg2mono.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
itg2mono.6 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∘r ≀ 𝐺)
itg2monolem2.9 (πœ‘ β†’ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
itg2monolem2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑛,𝐹,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑛,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem2
StepHypRef Expression
1 itg2mono.6 . . 3 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < )
2 itg2mono.3 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞))
3 icossicc 13362 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
4 fss 6689 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
52, 3, 4sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
6 itg2cl 25120 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
87fmpttd 7067 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))):β„•βŸΆβ„*)
98frnd 6680 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ*)
10 supxrcl 13243 . . . 4 (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ* β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
119, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
121, 11eqeltrid 2838 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
13 itg2monolem2.7 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ dom ∫1)
14 itg1cl 25072 . . 3 (𝑃 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
16 mnfxr 11220 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
1716a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
18 fveq2 6846 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜1))
1918feq1d 6657 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞) ↔ (πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞)))
205ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
21 1nn 12172 . . . . . 6 1 ∈ β„•
2221a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
2319, 20, 22rspcdva 3584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞))
24 itg2cl 25120 . . . 4 ((πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ℝ*)
26 itg2ge0 25123 . . . . 5 ((πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
2723, 26syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
28 mnflt0 13054 . . . . 5 -∞ < 0
29 0xr 11210 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
30 xrltletr 13085 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ℝ*) β†’ ((-∞ < 0 ∧ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1))) β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1))))
3116, 29, 25, 30mp3an12i 1466 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((-∞ < 0 ∧ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1))) β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1))))
3228, 31mpani 695 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1))))
3327, 32mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ -∞ < (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
34 2fveq3 6851 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
35 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
36 fvex 6859 . . . . . . . 8 (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ V
3734, 35, 36fvmpt 6952 . . . . . . 7 (1 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) = (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
3821, 37ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) = (∫2β€˜(πΉβ€˜1))
398ffnd 6673 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) Fn β„•)
40 fnfvelrn 7035 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) Fn β„• ∧ 1 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
4139, 21, 40sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
4238, 41eqeltrrid 2839 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
43 supxrub 13252 . . . . 5 ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ* ∧ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ))
449, 42, 43syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ))
4544, 1breqtrrdi 5151 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ≀ 𝑆)
4617, 25, 12, 33, 45xrltletrd 13089 . 2 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑆)
4715rexrd 11213 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ*)
48 itg2monolem2.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆)
49 xrltnle 11230 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ*) β†’ (𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ) ↔ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆))
5012, 47, 49syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ) ↔ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆))
5148, 50mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ))
5212, 47, 51xrltled 13078 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ (∫1β€˜π‘ƒ))
53 xrre 13097 . 2 (((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ (∫1β€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
5412, 15, 46, 52, 53syl22anc 838 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  ran crn 5638   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘r cofr 7620  supcsup 9384  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  +∞cpnf 11194  -∞cmnf 11195  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  [,)cico 13275  [,]cicc 13276  MblFncmbf 25001  βˆ«1citg1 25002  βˆ«2citg2 25003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-xmet 20812  df-met 20813  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008
This theorem is referenced by:  itg2monolem3  25140
  Copyright terms: Public domain W3C validator