Theorem zlmodzxzldeplem 47132

Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5463	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 3⟩ ∈ V
2		opex 5463	. . . . 5 ⊢ ⟨1, 6⟩ ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
4		opex 5463	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 2⟩ ∈ V
5		opex 5463	. . . . 5 ⊢ ⟨1, 4⟩ ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ ((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
8		2re 12282	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		2lt3 12380	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
10	8, 9	gtneii 11322	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 2
11	10	olci 864	. . . . . 6 ⊢ (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2)
12		c0ex 11204	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
13		3ex 12290	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ V
14	12, 13	opthne 5481	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2))
15	11, 14	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩
16		0ne1 12279	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
17	16	orci 863	. . . . . 6 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4)
18	12, 13	opthne 5481	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4))
19	17, 18	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩
20	15, 19	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
21	20	orci 863	. . 3 ⊢ ((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
22		prneimg 4854	. . 3 ⊢ (((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
23	7, 21, 22	mp2 9	. 2 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
24		zlmodzxzldep.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
25		zlmodzxzldep.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
26	24, 25	neeq12i 3007	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
27	23, 26	mpbir 230	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474  {cpr 4629  ⟨cop 4633  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  6c6 12267  ℤ_ringczring 21009   freeLMod cfrlm 21292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-2 12271  df-3 12272

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  47134  zlmodzxzldeplem3  47136  zlmodzxzldeplem4  47137  ldepsnlinc  47142