Theorem zlmodzxzldeplem 49813

Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5436	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 3⟩ ∈ V
2		opex 5436	. . . . 5 ⊢ ⟨1, 6⟩ ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
4		opex 5436	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 2⟩ ∈ V
5		opex 5436	. . . . 5 ⊢ ⟨1, 4⟩ ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
8		2re 12441	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		2lt3 12540	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
10	8, 9	gtneii 11446	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 2
11	10	olci 880	. . . . . 6 ⊢ (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2)
12		c0ex 11324	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
13		3ex 12449	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ V
14	12, 13	opthne 5455	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2))
15	11, 14	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩
16		0ne1 12438	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
17	16	orci 879	. . . . . 6 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4)
18	12, 13	opthne 5455	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4))
19	17, 18	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩
20	15, 19	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
21	20	orci 879	. . 3 ⊢ ((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
22		prneimg 4812	. . 3 ⊢ (((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
23	7, 21, 22	mp2 9	. 2 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
24		zlmodzxzldep.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
25		zlmodzxzldep.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
26	24, 25	neeq12i 3025	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
27	23, 26	mpbir 234	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  {cpr 4590  ⟨cop 4838  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225  2c2 12421  3c3 12422  4c4 12423  6c6 12425  ℤ_ringczring 21779   freeLMod cfrlm 22079

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-2 12429  df-3 12430

This theorem is used by:  zlmodzxzldeplem1  49815  zlmodzxzldeplem3  49817  zlmodzxzldeplem4  49818  ldepsnlinc  49823