Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem 43312
Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem 𝐴𝐵

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem
StepHypRef Expression
1 opex 5166 . . . . 5 ⟨0, 3⟩ ∈ V
2 opex 5166 . . . . 5 ⟨1, 6⟩ ∈ V
31, 2pm3.2i 464 . . . 4 (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
4 opex 5166 . . . . 5 ⟨0, 2⟩ ∈ V
5 opex 5166 . . . . 5 ⟨1, 4⟩ ∈ V
64, 5pm3.2i 464 . . . 4 (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
73, 6pm3.2i 464 . . 3 ((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
8 2re 11453 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
9 2lt3 11558 . . . . . . . 8 2 < 3
108, 9gtneii 10490 . . . . . . 7 3 ≠ 2
1110olci 855 . . . . . 6 (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2)
12 c0ex 10372 . . . . . . 7 0 ∈ V
13 3ex 11462 . . . . . . 7 3 ∈ V
1412, 13opthne 5184 . . . . . 6 (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2))
1511, 14mpbir 223 . . . . 5 ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩
16 0ne1 11450 . . . . . . 7 0 ≠ 1
1716orci 854 . . . . . 6 (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4)
1812, 13opthne 5184 . . . . . 6 (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4))
1917, 18mpbir 223 . . . . 5 ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩
2015, 19pm3.2i 464 . . . 4 (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
2120orci 854 . . 3 ((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
22 prneimg 4618 . . 3 (((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
237, 21, 22mp2 9 . 2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
24 zlmodzxzldep.a . . 3 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
25 zlmodzxzldep.b . . 3 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
2624, 25neeq12i 3035 . 2 (𝐴𝐵 ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
2723, 26mpbir 223 1 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  Vcvv 3398  {cpr 4400  cop 4404  (class class class)co 6924  0cc0 10274  1c1 10275  2c2 11434  3c3 11435  4c4 11436  6c6 11438  ringzring 20218   freeLMod cfrlm 20493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-2 11442  df-3 11443
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  43314  zlmodzxzldeplem3  43316  zlmodzxzldeplem4  43317  ldepsnlinc  43322
  Copyright terms: Public domain W3C validator