Theorem zlmodzxzldeplem 48974

Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5416	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 3⟩ ∈ V
2		opex 5416	. . . . 5 ⊢ ⟨1, 6⟩ ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
4		opex 5416	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 2⟩ ∈ V
5		opex 5416	. . . . 5 ⊢ ⟨1, 4⟩ ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
8		2re 12255	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		2lt3 12348	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
10	8, 9	gtneii 11258	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 2
11	10	olci 867	. . . . . 6 ⊢ (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2)
12		c0ex 11138	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
13		3ex 12263	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ V
14	12, 13	opthne 5435	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2))
15	11, 14	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩
16		0ne1 12252	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
17	16	orci 866	. . . . . 6 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4)
18	12, 13	opthne 5435	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4))
19	17, 18	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩
20	15, 19	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
21	20	orci 866	. . 3 ⊢ ((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
22		prneimg 4797	. . 3 ⊢ (((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
23	7, 21, 22	mp2 9	. 2 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
24		zlmodzxzldep.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
25		zlmodzxzldep.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
26	24, 25	neeq12i 2998	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
27	23, 26	mpbir 231	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  Vcvv 3429  {cpr 4569  ⟨cop 4573  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  6c6 12240  ℤ_ringczring 21426   freeLMod cfrlm 21726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-2 12244  df-3 12245

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  48976  zlmodzxzldeplem3  48978  zlmodzxzldeplem4  48979  ldepsnlinc  48984