Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem 47132
Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem 𝐴𝐵

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem
StepHypRef Expression
1 opex 5463 . . . . 5 ⟨0, 3⟩ ∈ V
2 opex 5463 . . . . 5 ⟨1, 6⟩ ∈ V
31, 2pm3.2i 471 . . . 4 (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
4 opex 5463 . . . . 5 ⟨0, 2⟩ ∈ V
5 opex 5463 . . . . 5 ⟨1, 4⟩ ∈ V
64, 5pm3.2i 471 . . . 4 (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
73, 6pm3.2i 471 . . 3 ((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
8 2re 12282 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
9 2lt3 12380 . . . . . . . 8 2 < 3
108, 9gtneii 11322 . . . . . . 7 3 ≠ 2
1110olci 864 . . . . . 6 (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2)
12 c0ex 11204 . . . . . . 7 0 ∈ V
13 3ex 12290 . . . . . . 7 3 ∈ V
1412, 13opthne 5481 . . . . . 6 (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2))
1511, 14mpbir 230 . . . . 5 ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩
16 0ne1 12279 . . . . . . 7 0 ≠ 1
1716orci 863 . . . . . 6 (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4)
1812, 13opthne 5481 . . . . . 6 (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4))
1917, 18mpbir 230 . . . . 5 ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩
2015, 19pm3.2i 471 . . . 4 (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
2120orci 863 . . 3 ((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
22 prneimg 4854 . . 3 (((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
237, 21, 22mp2 9 . 2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
24 zlmodzxzldep.a . . 3 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
25 zlmodzxzldep.b . . 3 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
2624, 25neeq12i 3007 . 2 (𝐴𝐵 ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
2723, 26mpbir 230 1 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  Vcvv 3474  {cpr 4629  cop 4633  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  6c6 12267  ringczring 21009   freeLMod cfrlm 21292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-2 12271  df-3 12272
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  47134  zlmodzxzldeplem3  47136  zlmodzxzldeplem4  47137  ldepsnlinc  47142
  Copyright terms: Public domain W3C validator