Theorem zlmodzxzldeplem 48887

Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5421	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 3⟩ ∈ V
2		opex 5421	. . . . 5 ⊢ ⟨1, 6⟩ ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
4		opex 5421	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 2⟩ ∈ V
5		opex 5421	. . . . 5 ⊢ ⟨1, 4⟩ ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
8		2re 12233	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		2lt3 12326	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
10	8, 9	gtneii 11259	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 2
11	10	olci 867	. . . . . 6 ⊢ (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2)
12		c0ex 11140	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
13		3ex 12241	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ V
14	12, 13	opthne 5440	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2))
15	11, 14	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩
16		0ne1 12230	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
17	16	orci 866	. . . . . 6 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4)
18	12, 13	opthne 5440	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4))
19	17, 18	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩
20	15, 19	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
21	20	orci 866	. . 3 ⊢ ((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
22		prneimg 4812	. . 3 ⊢ (((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
23	7, 21, 22	mp2 9	. 2 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
24		zlmodzxzldep.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
25		zlmodzxzldep.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
26	24, 25	neeq12i 2999	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
27	23, 26	mpbir 231	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442  {cpr 4584  ⟨cop 4588  (class class class)co 7370  0cc0 11040  1c1 11041  2c2 12214  3c3 12215  4c4 12216  6c6 12218  ℤ_ringczring 21418   freeLMod cfrlm 21718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-2 12222  df-3 12223

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  48889  zlmodzxzldeplem3  48891  zlmodzxzldeplem4  48892  ldepsnlinc  48897