Theorem zlmodzxzldeplem 44907

Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5321	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 3⟩ ∈ V
2		opex 5321	. . . . 5 ⊢ ⟨1, 6⟩ ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
4		opex 5321	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 2⟩ ∈ V
5		opex 5321	. . . . 5 ⊢ ⟨1, 4⟩ ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ ((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
8		2re 11699	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		2lt3 11797	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
10	8, 9	gtneii 10741	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 2
11	10	olci 863	. . . . . 6 ⊢ (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2)
12		c0ex 10624	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
13		3ex 11707	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ V
14	12, 13	opthne 5339	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 3 ≠ 2))
15	11, 14	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩
16		0ne1 11696	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
17	16	orci 862	. . . . . 6 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4)
18	12, 13	opthne 5339	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 3 ≠ 4))
19	17, 18	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩
20	15, 19	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
21	20	orci 862	. . 3 ⊢ ((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
22		prneimg 4745	. . 3 ⊢ (((⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 3⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, 3⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, 6⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, 6⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
23	7, 21, 22	mp2 9	. 2 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
24		zlmodzxzldep.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
25		zlmodzxzldep.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
26	24, 25	neeq12i 3053	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
27	23, 26	mpbir 234	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  {cpr 4527  ⟨cop 4531  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  6c6 11684  ℤ_ringzring 20163   freeLMod cfrlm 20435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-2 11688  df-3 11689

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  44909  zlmodzxzldeplem3  44911  zlmodzxzldeplem4  44912  ldepsnlinc  44917