Theorem zlmodzxzldep 49312

Description: { A , B } is a linearly dependent set within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldep	⊢ {𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍

Proof of Theorem zlmodzxzldep

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2		zlmodzxzldep.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3		zlmodzxzldep.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
5	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem1 49308	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
6	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem2 49309	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0
7	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem3 49310	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)
8	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem4 49311	. . . 4 ⊢ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0
9	6, 7, 8	3pm3.2i 1357	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)
10		breq1 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥 finSupp 0 ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0))
11		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}))
12	11	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)))
13		fveq1 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥‘𝑦) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦))
14	13	neeq1d 3016	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥‘𝑦) ≠ 0 ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0))
15	14	rexbidv 3188	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0))
16	10, 12, 15	3anbi123d 1463	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0) ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)))
17	16	rspcev 3580	. . 3 ⊢ (({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0))
18	5, 9, 17	mp2an 704	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0)
19		ovex 7445	. . . 4 ⊢ (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ V
20	1, 19	eqeltri 2858	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
21		3z 12633	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
22		6nn 12336	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12624	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
24	1	zlmodzxzel 49163	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
25	21, 23, 24	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
26	2, 25	eqeltri 2858	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
27		2z 12632	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
28		4z 12634	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
29	1	zlmodzxzel 49163	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
30	27, 28, 29	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
31	3, 30	eqeltri 2858	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
32		prelpwi 5427	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍))
33	26, 31, 32	mp2an 704	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)
34		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
35		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
36	1	zlmodzxzlmod 49162	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
37	36	simpri 490	. . . 4 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
38		zringbas 21614	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
39		zring0 21619	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
40	34, 35, 37, 38, 39	islindeps 49261	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)) → ({𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍 ↔ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0)))
41	20, 33, 40	mp2an 704	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍 ↔ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0))
42	18, 41	mpbir 234	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  Vcvv 3454  𝒫 cpw 4561  {cpr 4590  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8822   finSupp cfsupp 9319  0cc0 11106  1c1 11107  -cneg 11448  2c2 12301  3c3 12302  4c4 12303  6c6 12305  ℤcz 12597  Basecbs 17275  Scalarcsca 17319  0_gc0g 17498  LModclmod 20992  ℤ_ringczring 21607   freeLMod cfrlm 21907   linC clinc 49212   linDepS clindeps 49249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-cnfld 21534  df-zring 21608  df-dsmm 21893  df-frlm 21908  df-linc 49214  df-lininds 49250  df-lindeps 49252

This theorem is used by:  ldepsnlinc  49316