Theorem zlmodzxzldep 49538

Description: { A , B } is a linearly dependent set within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldep	⊢ {𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍

Proof of Theorem zlmodzxzldep

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2		zlmodzxzldep.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3		zlmodzxzldep.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
5	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem1 49534	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
6	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem2 49535	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0
7	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem3 49536	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)
8	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem4 49537	. . . 4 ⊢ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0
9	6, 7, 8	3pm3.2i 1358	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)
10		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥 finSupp 0 ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0))
11		oveq1 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}))
12	11	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)))
13		fveq1 6872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥‘𝑦) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦))
14	13	neeq1d 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥‘𝑦) ≠ 0 ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0))
15	14	rexbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0))
16	10, 12, 15	3anbi123d 1464	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0) ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)))
17	16	rspcev 3576	. . 3 ⊢ (({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0))
18	5, 9, 17	mp2an 705	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0)
19		ovex 7441	. . . 4 ⊢ (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ V
20	1, 19	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
21		3z 12699	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
22		6nn 12402	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12690	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
24	1	zlmodzxzel 49389	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
25	21, 23, 24	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
26	2, 25	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
27		2z 12698	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
28		4z 12700	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
29	1	zlmodzxzel 49389	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
30	27, 28, 29	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
31	3, 30	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
32		prelpwi 5414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍))
33	26, 31, 32	mp2an 705	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)
34		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
35		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
36	1	zlmodzxzlmod 49388	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
37	36	simpri 491	. . . 4 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
38		zringbas 21721	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
39		zring0 21726	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
40	34, 35, 37, 38, 39	islindeps 49487	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)) → ({𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍 ↔ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0)))
41	20, 33, 40	mp2an 705	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍 ↔ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0))
42	18, 41	mpbir 234	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4556  {cpr 4585  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825   finSupp cfsupp 9331  0cc0 11172  1c1 11173  -cneg 11514  2c2 12367  3c3 12368  4c4 12369  6c6 12371  ℤcz 12663  Basecbs 17349  Scalarcsca 17393  0_gc0g 17572  LModclmod 21097  ℤ_ringczring 21714   freeLMod cfrlm 22014   linC clinc 49438   linDepS clindeps 49475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-addf 11251  ax-mulf 11252

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-hash 14443  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-starv 17405  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-unif 17413  df-hom 17414  df-cco 17415  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-prds 17580  df-pws 17582  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-acs 17721  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-mulg 19240  df-subg 19295  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-ring 20423  df-cring 20424  df-subrng 20760  df-subrg 20784  df-lmod 21099  df-lss 21169  df-sra 21410  df-rgmod 21411  df-cnfld 21641  df-zring 21715  df-dsmm 22000  df-frlm 22015  df-linc 49440  df-lininds 49476  df-lindeps 49478

This theorem is used by:  ldepsnlinc  49542