Theorem zlmodzxzldep 49251

Description: { A , B } is a linearly dependent set within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldep	⊢ {𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍

Proof of Theorem zlmodzxzldep

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2		zlmodzxzldep.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3		zlmodzxzldep.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
5	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem1 49247	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
6	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem2 49248	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0
7	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem3 49249	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)
8	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem4 49250	. . . 4 ⊢ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0
9	6, 7, 8	3pm3.2i 1356	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)
10		breq1 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥 finSupp 0 ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0))
11		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}))
12	11	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)))
13		fveq1 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥‘𝑦) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦))
14	13	neeq1d 3015	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥‘𝑦) ≠ 0 ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0))
15	14	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0))
16	10, 12, 15	3anbi123d 1462	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0) ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)))
17	16	rspcev 3580	. . 3 ⊢ (({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0))
18	5, 9, 17	mp2an 704	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0)
19		ovex 7443	. . . 4 ⊢ (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ V
20	1, 19	eqeltri 2857	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
21		3z 12626	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
22		6nn 12329	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12617	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
24	1	zlmodzxzel 49102	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
25	21, 23, 24	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
26	2, 25	eqeltri 2857	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
27		2z 12625	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
28		4z 12627	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
29	1	zlmodzxzel 49102	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
30	27, 28, 29	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
31	3, 30	eqeltri 2857	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
32		prelpwi 5428	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍))
33	26, 31, 32	mp2an 704	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)
34		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
35		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
36	1	zlmodzxzlmod 49101	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
37	36	simpri 490	. . . 4 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
38		zringbas 21582	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
39		zring0 21587	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
40	34, 35, 37, 38, 39	islindeps 49200	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)) → ({𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍 ↔ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0)))
41	20, 33, 40	mp2an 704	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍 ↔ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0))
42	18, 41	mpbir 234	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  Vcvv 3453  𝒫 cpw 4561  {cpr 4590  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8823   finSupp cfsupp 9320  0cc0 11099  1c1 11100  -cneg 11441  2c2 12294  3c3 12295  4c4 12296  6c6 12298  ℤcz 12590  Basecbs 17268  Scalarcsca 17312  0_gc0g 17491  LModclmod 20960  ℤ_ringczring 21575   freeLMod cfrlm 21875   linC clinc 49151   linDepS clindeps 49188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-cnfld 21502  df-zring 21576  df-dsmm 21861  df-frlm 21876  df-linc 49153  df-lininds 49189  df-lindeps 49191

This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  49255