Theorem 2ne0 12007

Description: The number 2 is nonzero. (Contributed by NM, 9-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
2ne0	⊢ 2 ≠ 0

Proof of Theorem 2ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11977	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2pos 12006	. 2 ⊢ 0 < 2
3	1, 2	gt0ne0ii 11441	1 ⊢ 2 ≠ 0

Syntax hints:   ≠ wne 2942  0cc0 10802  2c2 11958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-2 11966

This theorem is referenced by:  2div2e1  12044  4d2e2  12073  0ne2  12110  2cnne0  12113  2rene0  12114  halfre  12117  halfcn  12118  halfpm6th  12124  2muline0  12127  halfcl  12128  rehalfcl  12129  half0  12130  2halves  12131  halfaddsub  12136  subhalfhalf  12137  xp1d2m1eqxm1d2  12157  div4p1lem1div2  12158  zneo  12333  nneo  12334  zeo  12336  zeo2  12337  halfthird  12509  2tnp1ge0ge0  13477  zesq  13869  discr  13883  prprrab  14115  crre  14753  addcj  14787  absmax  14969  rddif  14980  abs3lemi  15050  iseralt  15324  arisum  15500  arisum2  15501  geo2sum  15513  geo2lim  15515  geoihalfsum  15522  bpoly2  15695  bpoly3  15696  bpoly4  15697  ege2le3  15727  efgt0  15740  tanval2  15770  tanval3  15771  efi4p  15774  efival  15789  sinhval  15791  tanhlt1  15797  cosadd  15802  sinmul  15809  cos01bnd  15823  sin02gt0  15829  sqrt2irrlem  15885  sqrt2irr  15886  mod2eq1n2dvds  15984  evend2  15994  oddp1d2  15995  ltoddhalfle  15998  nn0enne  16014  nn0o  16020  flodddiv4  16050  flodddiv4t2lthalf  16053  bitsp1e  16067  bitsp1o  16068  bitsfzo  16070  bitsmod  16071  bitsinv1lem  16076  bitsuz  16109  3lcm2e6woprm  16248  6lcm4e12  16249  pythagtriplem12  16455  pythagtriplem14  16457  pythagtriplem15  16458  pythagtriplem16  16459  pythagtriplem17  16460  iserodd  16464  prmreclem5  16549  prmreclem6  16550  4sqlem7  16573  4sqlem10  16576  4sqlem19  16592  smndex2dlinvh  18471  ablsimpgfindlem2  19626  zringndrg  20602  metnrmlem3  23930  htpycc  24049  pcoval2  24085  pcocn  24086  pcohtpylem  24088  pcopt  24091  pcopt2  24092  pcoass  24093  pcorevlem  24095  minveclem2  24495  ovolunlem1a  24565  ovolunlem1  24566  uniioombl  24658  dyaddisjlem  24664  mbfi1fseqlem6  24790  dvmptre  25038  dvsincos  25050  lhop1  25083  coscn  25509  sinhalfpilem  25525  cospi  25534  sincosq3sgn  25562  sincosq4sgn  25563  tangtx  25567  sinq12gt0  25569  sincosq1eq  25574  sincos4thpi  25575  tan4thpi  25576  sincos6thpi  25577  sincos3rdpi  25578  pige3ALT  25581  abssinper  25582  sineq0  25585  coseq1  25586  efeq1  25589  eflogeq  25662  cosargd  25668  tanarg  25679  cxpsqrtlem  25762  cxpsqrt  25763  logsqrt  25764  dvcnsqrt  25802  root1eq1  25813  2logb9irrALT  25853  sqrt2cxp2logb9e3  25854  ang180lem2  25865  ang180lem3  25866  ssscongptld  25877  chordthmlem  25887  chordthmlem2  25888  chordthmlem4  25890  heron  25893  quad2  25894  1cubrlem  25896  dcubic2  25899  dcubic1  25900  dcubic  25901  mcubic  25902  cubic2  25903  cubic  25904  dquartlem1  25906  dquartlem2  25907  dquart  25908  quart1lem  25910  quart1  25911  quartlem4  25915  quart  25916  asinsin  25947  cosasin  25959  atancj  25965  efiatan  25967  efiatan2  25972  2efiatan  25973  tanatan  25974  cosatan  25976  atantan  25978  atanbndlem  25980  dvatan  25990  atantayl  25992  atantayl2  25993  atantayl3  25994  leibpilem2  25996  log2cnv  25999  log2tlbnd  26000  birthday  26009  cxp2limlem  26030  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem3  26085  lgamucov  26092  ftalem2  26128  basellem3  26137  chtub  26265  mersenne  26280  bcmax  26331  bclbnd  26333  bposlem6  26342  bposlem8  26344  bposlem9  26345  lgslem1  26350  lgsqrlem2  26400  gausslemma2dlem1a  26418  gausslemma2dlem3  26421  lgseisenlem1  26428  lgseisenlem2  26429  lgseisenlem3  26430  lgsquadlem1  26433  lgsquadlem2  26434  lgsquad2lem1  26437  lgsquad2lem2  26438  lgsquad3  26440  m1lgs  26441  2lgslem1a1  26442  2lgslem1a2  26443  2lgslem1b  26445  2lgslem1c  26446  2lgslem3a  26449  2lgslem3b  26450  2lgslem3c  26451  2lgslem3d  26452  chebbnd1lem2  26523  chebbnd1lem3  26524  chebbnd1  26525  dchrisum0fno1  26564  logdivsum  26586  mulog2sumlem3  26589  vmalogdivsum2  26591  selberg4lem1  26613  selberg3r  26622  selberg4r  26623  selberg34r  26624  pntpbnd1a  26638  pntibndlem2  26644  pntlemg  26651  axlowdimlem13  27225  usgrexmpldifpr  27528  usgrexmplef  27529  upgrwlkdvdelem  28005  rusgrnumwwlkl1  28234  upgr4cycl4dv4e  28450  konigsberglem1  28517  ex-hash  28718  ipdirilem  29092  minvecolem2  29138  norm3lem  29412  normpar2i  29419  mayete3i  29991  nmcexi  30289  opsqrlem6  30408  threehalves  31091  sqsscirc1  31760  dya2icoseg  32144  dya2iocucvr  32151  omssubadd  32167  oddpwdc  32221  coinfliplem  32345  itgexpif  32486  hgt750lemd  32528  logdivsqrle  32530  umgracycusgr  33016  problem5  33527  quad3  33528  circum  33532  knoppndvlem1  34619  knoppndvlem2  34620  knoppndvlem7  34625  knoppndvlem8  34626  knoppndvlem9  34627  knoppndvlem10  34628  knoppndvlem14  34632  knoppndvlem15  34633  knoppndvlem16  34634  knoppndvlem17  34635  cnndvlem1  34644  irrdifflemf  35423  sin2h  35694  cos2h  35695  tan2h  35696  poimirlem29  35733  mblfinlem1  35741  mblfinlem2  35742  itg2addnclem  35755  areacirclem1  35792  areacirc  35797  isbnd2  35868  dvrelog2b  40002  dffltz  40387  flt4lem5e  40409  jm2.22  40733  jm2.23  40734  proot1ex  40942  areaquad  40963  sqrtcval  41138  resqrtvalex  41142  isosctrlem1ALT  42443  sineq0ALT  42446  suplesup  42768  sumnnodd  43061  0ellimcdiv  43080  coseq0  43295  sinmulcos  43296  sinaover2ne0  43299  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  stoweidlem62  43493  wallispilem4  43499  wallispilem5  43500  wallispi  43501  wallispi2  43504  stirlinglem1  43505  stirlinglem7  43511  dirker2re  43523  dirkerdenne0  43524  dirkerre  43526  dirkerper  43527  dirkertrigeqlem2  43530  dirkertrigeqlem3  43531  dirkertrigeq  43532  dirkeritg  43533  dirkercncflem1  43534  dirkercncflem2  43535  fourierdlem43  43581  fourierdlem44  43582  fourierdlem56  43593  fourierdlem57  43594  fourierdlem58  43595  fourierdlem62  43599  fourierdlem66  43603  fourierdlem68  43605  fourierdlem72  43609  fourierdlem76  43613  fourierdlem78  43615  fourierdlem79  43616  fourierdlem80  43617  fourierdlem83  43620  fourierdlem95  43632  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fouriercnp  43657  fourierswlem  43661  sge0ad2en  43859  ovnsubaddlem1  43998  fmtnorec1  44877  fmtnoprmfac2lem1  44906  sfprmdvdsmersenne  44943  proththd  44954  41prothprmlem1  44957  quad1  44960  requad01  44961  requad1  44962  dfodd6  44977  dfeven4  44978  enege  44985  onego  44986  oddflALTV  45003  0evenALTV  45028  nn0onn0exALTV  45039  nn0enn0exALTV  45040  nnennexALTV  45041  6even  45051  8even  45053  0nodd  45252  2nodd  45254  2zrngnmlid  45395  zlmodzxzldeplem4  45732  pw2m1lepw2m1  45749  nn0onn0ex  45757  nn0enn0ex  45758  nnennex  45759  nnpw2even  45763  fldivexpfllog2  45799  nnlog2ge0lt1  45800  nnpw2blen  45814  blen1  45818  blen2  45819  blennnt2  45823  nnolog2flm1  45824  blennn0em1  45825  dig2nn1st  45839  dig2nn0  45845  0dig2nn0o  45847  dig2bits  45848  dignn0flhalflem1  45849  dignn0flhalflem2  45850  dignn0ehalf  45851  nn0sumshdiglemA  45853  nn0sumshdiglemB  45854  itcoval2  45898  itsclc0yqsol  45998  sinhpcosh  46328