Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2logb9irrALT GIF version

Theorem 2logb9irrALT 13230
 Description: Alternate proof of 2logb9irr 13227: The logarithm of nine to base two is not rational. (Contributed by AV, 31-Dec-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
2logb9irrALT (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem 2logb9irrALT
StepHypRef Expression
1 sq3 10493 . . . . 5 (3↑2) = 9
21eqcomi 2158 . . . 4 9 = (3↑2)
32oveq2i 5825 . . 3 (2 logb 9) = (2 logb (3↑2))
4 2rp 9543 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
5 1re 7856 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
6 2re 8882 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 1lt2 8981 . . . . . 6 1 < 2
85, 6, 7gtapii 8488 . . . . 5 2 # 1
94, 8pm3.2i 270 . . . 4 (2 ∈ ℝ+ ∧ 2 # 1)
10 3rp 9544 . . . 4 3 ∈ ℝ+
11 2z 9174 . . . 4 2 ∈ ℤ
12 rplogbzexp 13210 . . . 4 (((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 # 1) ∧ 3 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3)))
139, 10, 11, 12mp3an 1316 . . 3 (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3))
143, 13eqtri 2175 . 2 (2 logb 9) = (2 · (2 logb 3))
15 2cn 8883 . . . 4 2 ∈ ℂ
16 rplogbcl 13202 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 # 1 ∧ 3 ∈ ℝ+) → (2 logb 3) ∈ ℝ)
174, 8, 10, 16mp3an 1316 . . . . 5 (2 logb 3) ∈ ℝ
1817recni 7869 . . . 4 (2 logb 3) ∈ ℂ
1915, 18mulcomi 7863 . . 3 (2 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 2)
20 2logb3irr 13229 . . . 4 (2 logb 3) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
21 zq 9513 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
2211, 21ax-mp 5 . . . 4 2 ∈ ℚ
23 2ne0 8904 . . . 4 2 ≠ 0
24 irrmul 9534 . . . 4 (((2 logb 3) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 logb 3) · 2) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
2520, 22, 23, 24mp3an 1316 . . 3 ((2 logb 3) · 2) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
2619, 25eqeltri 2227 . 2 (2 · (2 logb 3)) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
2714, 26eqeltri 2227 1 (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   ≠ wne 2324   ∖ cdif 3095   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814  ℝcr 7710  0cc0 7711  1c1 7712   · cmul 7716   # cap 8435  2c2 8863  3c3 8864  9c9 8870  ℤcz 9146  ℚcq 9506  ℝ+crp 9538  ↑cexp 10396   logb clogb 13199 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831  ax-pre-suploc 7832  ax-addf 7833  ax-mulf 7834 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-disj 3939  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-of 6022  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-2o 6354  df-oadd 6357  df-er 6469  df-map 6584  df-pm 6585  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-sup 6916  df-inf 6917  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-5 8874  df-6 8875  df-7 8876  df-8 8877  df-9 8878  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-xneg 9657  df-xadd 9658  df-ioo 9774  df-ico 9776  df-icc 9777  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-fl 10147  df-mod 10200  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-fac 10577  df-bc 10599  df-ihash 10627  df-shft 10692  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228  df-ef 11522  df-e 11523  df-dvds 11661  df-gcd 11803  df-prm 11956  df-rest 12292  df-topgen 12311  df-psmet 12326  df-xmet 12327  df-met 12328  df-bl 12329  df-mopn 12330  df-top 12335  df-topon 12348  df-bases 12380  df-ntr 12435  df-cn 12527  df-cnp 12528  df-tx 12592  df-cncf 12897  df-limced 12964  df-dvap 12965  df-relog 13118  df-rpcxp 13119  df-logb 13200 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator