Theorem 2logb9irrALT 14263

Description: Alternate proof of 2logb9irr 14260: The logarithm of nine to base two is not rational. (Contributed by AV, 31-Dec-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irrALT	⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem 2logb9irrALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3 10611	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
2	1	eqcomi 2181	. . . 4 ⊢ 9 = (3↑2)
3	2	oveq2i 5883	. . 3 ⊢ (2 logb 9) = (2 logb (3↑2))
4		2rp 9654	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5		1re 7953	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		2re 8985	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		1lt2 9084	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
8	5, 6, 7	gtapii 8587	. . . . 5 ⊢ 2 # 1
9	4, 8	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ+ ∧ 2 # 1)
10		3rp 9655	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ+
11		2z 9277	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		rplogbzexp 14243	. . . 4 ⊢ (((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 # 1) ∧ 3 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3)))
13	9, 10, 11, 12	mp3an 1337	. . 3 ⊢ (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3))
14	3, 13	eqtri 2198	. 2 ⊢ (2 logb 9) = (2 · (2 logb 3))
15		2cn 8986	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		rplogbcl 14235	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 # 1 ∧ 3 ∈ ℝ+) → (2 logb 3) ∈ ℝ)
17	4, 8, 10, 16	mp3an 1337	. . . . 5 ⊢ (2 logb 3) ∈ ℝ
18	17	recni 7966	. . . 4 ⊢ (2 logb 3) ∈ ℂ
19	15, 18	mulcomi 7960	. . 3 ⊢ (2 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 2)
20		2logb3irr 14262	. . . 4 ⊢ (2 logb 3) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
21		zq 9622	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
22	11, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℚ
23		2ne0 9007	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
24		irrmul 9643	. . . 4 ⊢ (((2 logb 3) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 logb 3) · 2) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
25	20, 22, 23, 24	mp3an 1337	. . 3 ⊢ ((2 logb 3) · 2) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
26	19, 25	eqeltri 2250	. 2 ⊢ (2 · (2 logb 3)) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
27	14, 26	eqeltri 2250	1 ⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   ∖ cdif 3126   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872  ℝcr 7807  0cc0 7808  1c1 7809   · cmul 7813   # cap 8534  2c2 8966  3c3 8967  9c9 8973  ℤcz 9249  ℚcq 9615  ℝ⁺crp 9649  ↑cexp 10514   log_b clogb 14232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927  ax-caucvg 7928  ax-pre-suploc 7929  ax-addf 7930  ax-mulf 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-disj 3980  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-isom 5224  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-of 6080  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-irdg 6368  df-frec 6389  df-1o 6414  df-2o 6415  df-oadd 6418  df-er 6532  df-map 6647  df-pm 6648  df-en 6738  df-dom 6739  df-fin 6740  df-sup 6980  df-inf 6981  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-5 8977  df-6 8978  df-7 8979  df-8 8980  df-9 8981  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-q 9616  df-rp 9650  df-xneg 9768  df-xadd 9769  df-ioo 9888  df-ico 9890  df-icc 9891  df-fz 10005  df-fzo 10138  df-fl 10265  df-mod 10318  df-seqfrec 10441  df-exp 10515  df-fac 10699  df-bc 10721  df-ihash 10749  df-shft 10817  df-cj 10844  df-re 10845  df-im 10846  df-rsqrt 11000  df-abs 11001  df-clim 11280  df-sumdc 11355  df-ef 11649  df-e 11650  df-dvds 11788  df-gcd 11936  df-prm 12100  df-rest 12678  df-topgen 12697  df-psmet 13316  df-xmet 13317  df-met 13318  df-bl 13319  df-mopn 13320  df-top 13367  df-topon 13380  df-bases 13412  df-ntr 13467  df-cn 13559  df-cnp 13560  df-tx 13624  df-cncf 13929  df-limced 13996  df-dvap 13997  df-relog 14150  df-rpcxp 14151  df-logb 14233

This theorem is referenced by: (None)