Theorem 2logb9irrALT 15106

Description: Alternate proof of 2logb9irr 15103: The logarithm of nine to base two is not rational. (Contributed by AV, 31-Dec-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irrALT	⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem 2logb9irrALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3 10707	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
2	1	eqcomi 2197	. . . 4 ⊢ 9 = (3↑2)
3	2	oveq2i 5929	. . 3 ⊢ (2 logb 9) = (2 logb (3↑2))
4		2rp 9724	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5		1re 8018	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		2re 9052	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		1lt2 9151	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
8	5, 6, 7	gtapii 8653	. . . . 5 ⊢ 2 # 1
9	4, 8	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ+ ∧ 2 # 1)
10		3rp 9725	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ+
11		2z 9345	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		rplogbzexp 15086	. . . 4 ⊢ (((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 # 1) ∧ 3 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3)))
13	9, 10, 11, 12	mp3an 1348	. . 3 ⊢ (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3))
14	3, 13	eqtri 2214	. 2 ⊢ (2 logb 9) = (2 · (2 logb 3))
15		2cn 9053	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		rplogbcl 15078	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 # 1 ∧ 3 ∈ ℝ+) → (2 logb 3) ∈ ℝ)
17	4, 8, 10, 16	mp3an 1348	. . . . 5 ⊢ (2 logb 3) ∈ ℝ
18	17	recni 8031	. . . 4 ⊢ (2 logb 3) ∈ ℂ
19	15, 18	mulcomi 8025	. . 3 ⊢ (2 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 2)
20		2logb3irr 15105	. . . 4 ⊢ (2 logb 3) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
21		zq 9691	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
22	11, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℚ
23		2ne0 9074	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
24		irrmul 9712	. . . 4 ⊢ (((2 logb 3) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 logb 3) · 2) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
25	20, 22, 23, 24	mp3an 1348	. . 3 ⊢ ((2 logb 3) · 2) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
26	19, 25	eqeltri 2266	. 2 ⊢ (2 · (2 logb 3)) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
27	14, 26	eqeltri 2266	1 ⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   ∖ cdif 3150   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   · cmul 7877   # cap 8600  2c2 9033  3c3 9034  9c9 9040  ℤcz 9317  ℚcq 9684  ℝ⁺crp 9719  ↑cexp 10609   log_b clogb 15075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-pre-suploc 7993  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-er 6587  df-map 6704  df-pm 6705  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-ioo 9958  df-ico 9960  df-icc 9961  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-bc 10819  df-ihash 10847  df-shft 10959  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-ef 11791  df-e 11792  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-ntr 14264  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-tx 14421  df-cncf 14726  df-limced 14810  df-dvap 14811  df-relog 14993  df-rpcxp 14994  df-logb 15076

This theorem is referenced by: (None)